运用梅涅劳斯定理证明直线过定点问题 讲义-2024届高三数学二轮专题复习

运用梅涅劳斯定理证明直线过定点问题 在高中圆锥曲线的学习中,经常需要证明某条直线经过定点.此类问题题型多变,解决的方法也不尽相同.从实际教学情况来看,不管采用什么方法,学生往往不知如何寻找突破口,且容易陷入繁琐的计算.在长期的教学实践中,笔者探索出用梅涅劳斯定理解决此类直线过定点问题的证明,可以降低思维难度,简化运算. 1. 梅涅劳斯定理 如图1所示,若不经过顶点的一条直线与其三边,,或其延长线分别交于,,,则. 图1 证明:作,则,. 两式相乘得. 所以. 即. 2. 识记技巧 该定理从图形上看,较为复杂,涉及到三角形的三条边以及一条与这三边都相交的直线. 从表达式上看,是三个比值之积为1,不容易记住.可以按照以下方法识记(观察图1进行说明). ①首先确定三角形,然后寻找一条线段,这条线段与三角形的三边都有交点. ②找出其中一个落在线段外的交点,比如点,寻找与点距离比较远的点,构成线段,再寻找与点距离比较近的点,构成线段,此时得到. ③从点出发,确定. ④从点出发,确定. ⑤三个比值之积为1. 三.举例 例1： 已知抛物线C:,直线交抛物线C于,两点,且的面积为.(1)求.(2)过点作直线交抛物线C于,两点,点关于轴的对称点为,证明直线过定点. 图2 思路分析:观察图2,首先确定和轴所在直线,发现轴所在直线与的三条边分别相交于点,,.点位于线段的外部,故根据梅涅劳斯定理有 解析: (1) (2)设,,. 设直线与轴交于. 在中,由…..① 得, 整理得. 设直线方程为,代入得 ,所以,. 因此. 所以直线过定点. 简评:首先观察图2,猜想直线所过的定点在轴上,设出.然后借助梅涅劳斯定理得到①式,再将线段之比转化为点的坐标之比,最后借助根与系数的关系解出,从而求出定点坐标. 例2: 已知,分别为椭圆:()的左右顶点,为的上顶点,,为直线上的动点,与的另一个交点为,与的另一个交点为,(1)求的方程;(2)证明:直线过定点. 图3 思路分析:观察图3,首先确定和直线,发现直线与的三条边分别相交于点,,.点位于线段的外部,故根据梅涅劳斯定理有. 解析:(1). (2)设,,, 直线与轴交于,. 直线方程为,代入, 得. 由于,所以.同理.. 在中,….② 则, 故,解得, 因此直线过定点. 简评:首先观察图3,猜想直线所过的定点在轴上,设出.然后借助梅涅劳斯定理得到②式,再将线段之比转化为点的坐标之比,最后解出,从而求出定点坐标. 例3 ： 已知椭圆E:()经过点,且焦距,线段,分别是它的长轴和短轴.(1)求椭圆E的方程;(2)若是平面上的动点，从下面两个条件中选一个,证明:直线经过定点.①,,直线,与椭圆E的另一交点分别为,;②,,直线,与椭圆E的另一交点分别为,; 图4 图5 思路分析:观察图4,首先确定和直线,发现直线与的三条边分别相交于点,,.点位于线段的外部,故根据梅涅劳斯定理有.观察图5,首先确定和直线,发现直线与的三条边分别相交于点,,.点位于线段的外部,故根据梅涅劳斯定理有. 解析:(1)椭圆E的方程为; (2) 选择①.,,,直线与轴交于点. 直线方程为,代入,得 ,则, 同理有. 在中,….③ ,, 所以,故,则. 故,此时直线经过定点. 选择②,, ,,直线与轴交于点. 直线方程为,代入,得 ,则, 同理有. 在中,….④ ,,, 所以,故. 故,此时直线经过定点. 简评:首先观察图4,猜想直线所过的定点在轴上,设出.然后借助梅涅劳斯定理得到③式,再将线段之比转化为点的坐标之比,最后解出,从而求出定点坐标.首先观察图5,猜想直线所过的定点在轴上,设出.然后借助梅涅劳斯定理得到④式,再将线段之比转化为点的坐标之比,最后解出,从而求出定点坐标. 例4 ：已知双曲线C的渐近线方程为,且过点.（1）求C的方程;（2）设,直线不经过点且与C相交于两点,若直线与C交于另一点,求证:直线过定点. 图6 思路分析:观察图6,首先确定和轴所在直线,发现轴所在直线与的三条边分别相交于点,,.点位于线段的外部,故根据梅涅劳斯定理有 解析:（1）. （2） 显然直线斜率存在且不为0, 设直线方程为,代入,得 . 设,,. 则,, 设直线与轴交于点, 在中,…⑤ ,, 故,解得. 则,所以 所以直线过定点. 简评:首先观察图6,猜想直线所过的定点在轴上,设出.然后借助梅涅劳斯定理得到⑤式,再将线段之比转化为点的坐标之比,最后借助根与系数的关系 解出,从而求出定点坐标. 四教学反思 显然,运用梅涅劳斯定理解决直线过定点问题的关键在于确定一个基本的模型---一个三角形以及一条与该三角形三边都相交的直线.其基本思想在于将线段之比转化成点坐标之比,其优点是可以极大地降低思维量,简化运算,这其实是模型化思想的应用.但是如果题目中无法找出这个基本模型就不能采用梅涅劳斯定理解决问题,所以该法并不能适用所有证明直线过定点问题.高考注重考查学生的基本知识,基本方法,强调通性通法,淡化特殊技巧.因此,解决直线过定点问题应该以常规解法为主,本文所讲方法可以作为课后的补充.值得一提的是,本文所举例子当中,直线所过定点均在坐标轴上,对于定点不是在坐标轴上的类型,可否采用该法解决?这是个值得探索的问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$