精品解析：上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期中考数学考前最后一卷

上海彭浦三中2023－2024学年九下中考考前最后一卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 已知，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化简为，再将选项逐个化简即可判断. 【详解】∵的两内项是y、3，两外项是x、4， ∴． A、由原式得，4（x+y）＝7y，即3y＝4x，故本选项正确； B、由原式得，3（x﹣y）＝x，即2x＝3y，故本选项错误； C、由原式得，10x＝3（x+2y），即6y＝7x，故本选项错误； D、由原式得，4（x﹣y）＝y，即3x＝5y，故本选项错误． 故选A． 【点睛】本题考查分式的化简，难度不大，熟练掌握分式化简方法是解题关键. 2. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( 　　) A. AP2＝AB·PB ； B. AB2＝AP·PB ； C. PB2＝AP·AB ； D. AP2＋BP2＝AB2. 【答案】C 【解析】 【详解】∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB， 根据黄金分割的定义得PB2=AP•AB． 故选C． 点睛：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 3. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 在抛物线对称轴左侧，随增大而减小 D. 抛物线顶点到轴的距离是2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质可进行求解． 【详解】解：由抛物线可知：，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，，所以顶点坐标为，故抛物线顶点到x轴的距离是2； 综上所述只有D选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4. 下列说法错误的是(　 　 ) A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 B. 在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案． 【详解】A、如果两条直线平行时，被第三条直线所截时，内错角才会是相等，故A选项错误，符合题意； B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意； D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意； 故选A． 【点睛】考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键． 5. 顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可知每个角都是直角，说明每组邻边互相垂直，进而可判断出四边形ABCD的对角线互相垂直，由此结合选项即可得出正确答案． 【详解】如图， ∵四边形EFGH是矩形， ， ． ∵点E,F,H分别为AB,BC,AD中点， ∴ ， ， 而四个选项中只有菱形的对角线互相垂直， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形，菱形的性质，三角形中位线的性质，掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 6. 如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（ ） A. rB = B. 4 < rB ≤ C. rB = 或4 < rB ≤ D. rB为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】作BD⊥AC于D，如图，利用勾股定理计算出BC＝4，再利用面积法计算出BD＝2，讨论：当⊙B与AC相切时得到r＝2；当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，BA＜r≤CB． 【详解】解：作CD⊥AB于D，如图， 在Rt△ABC中，BC＝， ∵BD•AC＝AB•BC， ∴CD＝ 当⊙C与AB相切时，r＝2； 当直线AC与⊙B相交，且边AB与⊙O只有一个交点时，4＜r≤4．， 综上所述，当r＝2或4＜r≤4 故选C． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 二．填空题（共48分） 7. 若，，则_________． 【答案】±6 【解析】 【分析】先利用幂的乘方公式的逆运算，求出an=±2，bn=±3，再利用积的乘方公式，求解即可． 【详解】∵，， ∴，， ∴an=±2，bn=±3， ∴=±6， 故答案是：±6 【点睛】本题主要考查幂的乘方公式和积的乘方公式，熟练掌握上述公式，是解题的关键． 8. 方程组的解是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先将用含的式子表示，再代入解一元二次方程即可． 【详解】 由①得：③ 将③代入②得： 解得： ，将代入③得： ∴或 故答案为：或 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，掌握代入消元是解题关键． 9. 写出二次根式的一个有理化因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是． 【详解】解：×＝（）2＝x＋y， 故的一个有理化因式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式． 10. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________． 【答案】(3＋x)(4－0.5x)＝15 【解析】 【分析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程． 【详解】解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15． 故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键． 11. 近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动．根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图（1）中从左到右各矩形的高度之比为2 : 8 : 9 : 7 : 3 : 1，那么在下图（2）中碳排放值5≤x＜7（千克/平方米·月）部分的圆心角为________度. 【答案】48° 【解析】 【分析】根据直方图得到碳排放值5≤x＜7的数量与比例，再乘以360°即可求解. 【详解】依据矩形的高度比可以得出碳排放值5≤x＜7的比例是， 则角度为 故填：48 【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意找到对应的频数值. 12. 已知正三角形ABC外接圆的半径长为R，那么的周长是________．（用含R的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理以及相关角度求算边长，再算周长． 【详解】 如图：作于 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴周长为： 故答案为： 【点睛】本题考查三角形的外接圆，掌握相关的角度转化是解题关键． 13. 线段b是线段a和线段c的比例中项，若a1cm， b 3cm，则c_____ cm. 【答案】9 【解析】 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出c的值，注意线段不能为负． 【详解】∵线段 b 是线段a和线段c的比例中项， ∴ ∵a=1，b=3， ∴ 故答案为9. 【点睛】考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键. 14. 在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解． 【详解】根据题意可得 所以 故答案为： 【点睛】考查锐角三角函数的定义， 坐标与图形性质， 勾股定理，掌握余弦定理的概念是解题的关键. 15. 已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是_______ 【答案】5 【解析】 【详解】解：根据内角和与外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可： 设该多边形的边数为n则（n﹣2）×180=×360．解得：n=5． 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，点B的坐标为，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，我们称点P为点A关于点B的“正伴随点”．已知点，则点A关于点B的“正伴随点”的坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】考查全等三角形的判定与性质，作轴于M，则，证明，，则即可得到点P的坐标． 【详解】解：如图，作轴于M. ∵， ∴， ∴， 由旋转可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 故答案为： 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】易知所有白色部分的小直角三角形都与阴影部分的三角形相似，那么它们的面积比应该等于相似比的平方，它们的相似比为AC：CD，AC的长已知，根据直角三角形面积的不同表示方法可求得CD，由此求得阴影部分占△ABC面积的比例大小，从而可求得阴影部分的面积和． 【详解】∵DC1∥AC， ∴Rt△ACD∽△CDC1，同理可证：Rt△C1D1D∽Rt△C1D1C2，…； 即白色部分的小直角三角形与阴影部分的小直角三角形逐一对应相似， ∵如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2， ∴AB=2AC=4，BC= 在Rt△ABC中，CD⊥AB， 由S=AC•BC=AB•CD，故CD= ∴AC：CD=2： ∴白色部分小直角三角形的面积和：阴影部分小直角三角形的面积和=AC2：CD2=4：3， 故S阴影=S△ABC=××2×2=． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定和性质，注意整体思想在此题中的应用． 18. 在中，，，为斜边上的高，为的平分线，且交于点F，点M为上一点，连结并延长，交边于点N，已知， ，那么的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质等，综合性比较强，熟练运用锐角三角函数是解题的关键. 根据锐角三角函数可得，根据直角三角形的性质得到为斜边上的高,可得为的平分线，则 即可求出根据勾股定理求出根据三角形的内角和求出 即可求出,代入计算即可. 【详解】解：根据锐角三角函数,可得 则 ∵为斜边上的高， ∴为斜边上的高, ∴ ∵为的平分线， ∴ 根据勾股定理求出 ∴ 根据三角形的内角和求出 ∴等腰直角三角形， ∴ 故答案为： 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】解： 20. 再求值： ，其中x=2sin60°-（）-2． 【答案】； 【解析】 【详解】试题分析：先进行分式的乘除法运算，然后再进行加减法运算，最后代入求值即可. 试题解析：原式== ， 当x=2sin60°- 时，原式． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，连接GE．已知DE=10，cos∠BAG=，．求： （1）⊙A的半径AD的长； （2）∠EGC的余切值． 【答案】（1）13．（2）． 【解析】 【分析】（1）由在⊙A中，AF⊥DE，DE=10，由垂径定理可求得DF的长，又由cos∠DAF=，利用勾股定理即可求得AD的长； （2）由AB=AC，AD=AE，易证得△ADE∽△ABC，∠AGC=∠FEG，然后由相似三角形对应高的比等于相似比，求得FG的长，继而求得∠EGC的余切值． 【详解】（1）在⊙A中， ∵AF⊥DE，DE=10， ∴DF=EF=DE=×10=5． 在Rt△ADF中，由cos∠DAF=， 设AF=12k，AD=13k． 利用勾股定理，得AF2+DF2=AD2． ∴（12k）2+52=（13k）2． 解得：k=1． ∴AD=13． （2）由（1），可知FE=12k=12． ∵ ∴ 在⊙A中，AD=AE． 又∵AB=AC， ∴． ∴DE∥BC． ∴△ADE∽△ABC，∠EGC=∠FEG， ∵AF⊥DE， ∴AG⊥BC， ∴． ∴AG=36． ∴AF=12， ∴FG=AG-AF=24． 在Rt△EFG中，cot∠FEG= 即得cot∠EGC=． 22. 小丁的奶奶想用铁丝网在自家门前围一块面积为4平方米的矩形菜园，并且用最少的铁丝网，因此小丁进行了如下探究活动． 活动一：（1）设矩形菜园的一边长为x米，铁丝网长为y米． ①用含x的代数式表示矩形菜园另一边长为_____________米； ②y关于x的函数解析式是______________ 活动二：（2）①列表：根据（1）中所求的函数关系式计算并补全下表． （y精确到0.1） /米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 /米 17.0 10.0 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6 ②描点：根据表中数值，在平面直角坐标系中描出①中剩下的两个点（x，y）． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． 数学思考：（3）①请你根据函数图象，写出该函数的两条性质或结论． ②根据以上信息可得，当_____________时，y有最小值．由此可知，小丁的奶奶至少需要买_____________米的铁丝网． 【答案】（1）①，②； （2）①当时，；当时，，补全图表： x/米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y/米 17.0 10.0 8.3 8.0 8.2 8.7 9.3 10.0 10.8 11.6 ②描点如图： ③作图如下 （3）①性质1：函数值y有最小值，性质2：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，②2， 【解析】 【分析】本题主要考查函数图象和性质，掌握函数图象的画法及数形结合是解题的关键． （1）①直接利用矩形的面积公式即可求解； ②利用①中的结论和矩形的周长=（长+宽）×2即可找到y关于x的函数解析式； （2）①根据（1）②中求出的函数关系式，令和求出相应的y值即可补全图表； ②将两个点描出即可； ③用平滑的曲线连接各点即可得到函数的图象； （3）①根据图象即可得出函数的两条性质； ②找到函数图像中的最低点，即可确定答案． 【详解】解：（1）①根据矩形的面积可知，矩形菜园另一边长为米； ②利用矩形的周长=（长+宽）×2，有 ；即； 故答案为：， （2）略 (3)①性质1：函数值y有最小值． 性质2：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； ②由图象可知，当时，y有最小值，最小值为，所以小丁的奶奶至少需要买米的铁丝网． 故答案为：， 23. 如图，分别是正方形的边的中点，以为边作正方形 ，与交于点，联结． （1）求证：； （2）设，求证． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90° 在△ADE和△DCF中 ∴△ADE≌△DCF（SAS） ∴∠EAD=∠CDF ∵∠AED+∠EAD=90° ∴∠AED+∠CDF=90° ∴AE⊥DF； （2）∵∠ADE=∠C，∠CEQ=∠EAD， ∴△ADE∽△ECQ ∵E是CD的中点 ∴， ∵∠ADE=∠C=90° ∴△AEQ∽△ADE∽△ECQ 设CE，则AD=2a，AE= ∴，， ∴． 【解析】 【分析】（1）先说明△ADE≌△DCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定义即可证明； （2）先证△ADE∽△ECQ，得出，进而可得△AEQ∽△ADE∽△ECQ，然后根据相似三角形的性质即可证明． 【详解】略． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，灵活应用全等三角形、相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 24. 如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”． （1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ； （2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式． （3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由. 【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20） 【解析】 【分析】（1）根据“关于y轴对称二次函数”的定义即可求解； （2）根据“关于y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与y轴的交点，根据待定系数法，可得答案； （3）根据题意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分别联立函数求解即可. 【详解】（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = 2（x - 2）2 + 1；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = a（x + h）2 + k， 故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ； （2）由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8， ∴A点坐标为（0，8）， ∵菱形ABOC ∴ - xB = xC yB = yA ∴B点的坐标为（-3，4）， 设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得9a+4=8， 解得a=， ∴y=（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y=（x-3）2+4． （3）①若AO∥CM，则xM = xC = 3， 把xM = 3代入上述两个抛物线解析式，解得y1 = 20， y2 = 4 ∵C（3,4），∴y2 = 4舍去， ∴M1（3,20） ②若AC∥OM， ∵lAC：，∴lOM： 与抛物线联立方程或 或无解 ∵B（-3,4），∴舍去， ∴M2（-6,8） ③若OC∥AM ∵lOC：，∴lAM： 同②解得 ∵A（0，8） ∴M3（9,20） 综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20） 【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知新定义的函数性质及菱形、梯形的性质. 25. 如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD． （1）求证：EO＝OF； （2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长； （3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论． 【答案】 （1）证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示： 则CH＝DH， ∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD， ∴EC∥OH∥FD， ∵CH＝DH， ∴EO＝FO； （2）线段EF的长等于或； （3）四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量， ． 【解析】 【分析】（1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH＝DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，由平行线的性质得出∠ECO＝∠COH≠45°；分两种情况讨论： ①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m，EO＝OM＝m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出，即可得出，EF＝． ②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，．得出即可． （3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面积公式得出S＝（EC+FD）•CD＝OH•CD＝244×6＝24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得 ，得出四边形CDFE周长l＝EF+EC+CD+FD＝． 【详解】（1）略 （2）解：∵OH⊥CD，， ∴， ∴， ∵EC∥OH， ∴∠ECO＝∠COH≠45°； ①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M， 则△OEM是等腰直角三角形， ∴EM＝OM， ∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°， ∴△ECM∽△COH， ∴EM：CM＝CH：OH＝3：4． 在Rt△ECM中，设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m， ， ∵CM+OM＝OC， ∴4m+3m＝5， 解得： ， ∴， ． ②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；． 在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4． 在Rt△EON中，． ∴． 综上所述，线段EF的长等于或． （3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量； 四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下： 由①得：EO＝FO，CH＝DH， ∴OH是梯形EFDC的中位线， ∴EC+FD＝2OH＝8， ∴四边形CDFE面积为（是一个常值函数）； 作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6， ∴EG＝EC﹣GC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8， ∴， ∴四边形CDFE周长 ， 即． 【点睛】本题是圆的综合题目，考查了垂径定理、勾股定理、平行线的性质、梯形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、梯形面积的计算，解题关键在于作辅助线和灵活运用各性质定义，本题综合性强，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海彭浦三中2023－2024学年九下中考考前最后一卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 已知，那么下列各式中正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则( 　　) A. AP2＝AB·PB ； B. AB2＝AP·PB ； C. PB2＝AP·AB ； D. AP2＋BP2＝AB2. 3. 关于抛物线的判断，下列说法正确的是（ ）． A. 抛物线的开口方向向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 在抛物线对称轴左侧，随增大而减小 D. 抛物线顶点到轴的距离是2 4. 下列说法错误的是(　 　 ) A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等 B. 在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直 C. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 5. 顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 6. 如图，已知Rt△ABC，AC=8，AB=4，以点B为圆心作圆，当⊙B与线段AC只有一个交点时，则⊙B的半径的取值范围是（ ） A. rB = B. 4 < rB ≤ C. rB = 或4 < rB ≤ D. rB为任意实数 二．填空题（共48分） 7. 若，，则_________． 8. 方程组的解是_______． 9. 写出二次根式的一个有理化因式是________． 10. 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________． 11. 近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动．根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图（1）中从左到右各矩形的高度之比为2 : 8 : 9 : 7 : 3 : 1，那么在下图（2）中碳排放值5≤x＜7（千克/平方米·月）部分的圆心角为________度. 12. 已知正三角形ABC外接圆的半径长为R，那么的周长是________．（用含R的式子表示） 13. 线段b是线段a和线段c的比例中项，若a1cm， b 3cm，则c_____ cm. 14. 在以 O 为坐标原点的直角平面内有一点 A 2, 4 ，如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角为 ， 那么 的余弦值为_____. 15. 已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是_______ 16. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，点B的坐标为，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，我们称点P为点A关于点B的“正伴随点”．已知点，则点A关于点B的“正伴随点”的坐标为_________ 17. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2．作△ABC的高CD，作△CDB的高DC1，作△DC1B的高C1D1，……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为__________. 18. 在中，，，为斜边上的高，为的平分线，且交于点F，点M为上一点，连结并延长，交边于点N，已知， ，那么的值为_______________． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 再求值： ，其中x=2sin60°-（）-2． 21. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AB上，以点A为圆心，线段AD的长为半径的⊙A与边AC相交于点E，AF⊥DE，垂足为点F，AF的延长线与边BC相交于点G，连接GE．已知DE=10，cos∠BAG=，．求： （1）⊙A的半径AD的长； （2）∠EGC的余切值． 22. 小丁的奶奶想用铁丝网在自家门前围一块面积为4平方米的矩形菜园，并且用最少的铁丝网，因此小丁进行了如下探究活动． 活动一：（1）设矩形菜园的一边长为x米，铁丝网长为y米． ①用含x的代数式表示矩形菜园另一边长为_____________米； ②y关于x的函数解析式是______________ 活动二：（2）①列表：根据（1）中所求的函数关系式计算并补全下表． （y精确到0.1） /米 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 /米 17.0 10.0 8.3 8.2 8.7 9.3 10.8 11.6 ②描点：根据表中数值，在平面直角坐标系中描出①中剩下的两个点（x，y）． ③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象． 数学思考：（3）①请你根据函数图象，写出该函数的两条性质或结论． ②根据以上信息可得，当_____________时，y有最小值．由此可知，小丁的奶奶至少需要买_____________米的铁丝网． 23. 如图，分别是正方形的边的中点，以为边作正方形 ，与交于点，联结． （1）求证：； （2）设，求证． 24. 如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”． （1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ； （2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式． （3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由. 25. 如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD． （1）求证：EO＝OF； （2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长； （3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $