两相交直线与圆锥曲线构成的二次曲线系方程专题讲义-2025届高三数学二轮复习

两相交直线与圆锥曲线构成的二次曲线系方程 在圆锥曲线压轴试题中,经常会出现一类有两条相交直线与某个圆锥曲线相交于四个点,外加一些辅助条件,证明定值或定点问题的题型.学生在处理这类问题上往往思维混乱,找不到方向,不知从何下手,如果能够采用二次曲线系方程的解法则思路十分清楚,方向明确,容易掌握. 如图(1)所示,设直线方程为,方程为,方程为,方程为.直线,与某个圆锥曲线相交于,,,四点.则直线,与圆锥曲线构成的二次曲线系方程可设为.另一方面,过,,,四点的二次曲线方程可以设成.于是求解此类问题有两种解题思路: 思路1:设出直线,与圆锥曲线构成的二次曲线系方程 ,再与直线构成的方程比较系数. 思路2:设出过,,,四点的二次曲线方程,再与 比较系数. 图(1) 图(2) 图(3) 例1.如图(2),已知椭圆方程为,.过其焦点的直线与椭圆交于,两点,并与轴交于点(异于,两点).直线与直线交于点.证明为定值. 解析:设直线方程为,直线方程为,直线方程为,直线方程为.则,.. 思路1: 两相交直线,与椭圆构成的二次曲线系方程为. 展开得. 直线,的方程为, 展开得. 比较系数得,即. 故为定值. 思路2: 过,,,四点的二次曲线方程可以设成. 展开得. 与比较系数得,即. 即. 故为定值. 例2.如图(3),已知椭圆方程为,,直线(为常数,).为直线上的一个动点,,为椭圆与轴的两个交点.,与椭圆的另一个交点分别为,.求证:直线经过定点,并求出定点坐标. 解析:设,,. 直线方程为,直线方程为,直线方程为,直线方程为. 思路1: 两相交直线,与椭圆构成的二次曲线系方程为 , 展开得. 直线,的方程为, 展开得. 比较系数有,即. 故直线方程为,过定点. 思路2: 过,,,四点的二次曲线方程可以设成 . 展开得. 与比较系数得,即. 故直线方程为,过定点. 图(4) 图(5) 例3.如图(4),椭圆,中,右焦点为.分别过,的两条弦,相交于点,且.证明,斜率之和为定值. 解析:由得直线,的倾斜角互补,斜率互为相反数. 设直线的方程为,直线的方程为,直线方程为,直线方程为. 思路1: 两相交直线,与椭圆组成的二次曲线系方程为 ,展开得 . 直线,的方程为,展开得 . 比较系数有. 两边同时除以,得,即. 因此直线,的斜率之和为定值. 思路2: 过,,,四点的二次曲线方程可以设成 , 展开得 . 与比较系数,有. 两边同时除以,得,即. 因此直线,的斜率之和为定值. 例4.如图(5),已知椭圆方程为,.左右顶点分别为,.过点的直线与椭圆交于,两点.直线,相交于点.证明点在一条定直线上. 解析:设,,. 直线方程为,直线方程为,直线方程为,直线方程为. 思路1: 两相交直线,与椭圆构成的二次曲线系方程为 , 展开得. 直线,的方程为, 展开得. 比较系数有,即. 故.所以点在定直线上. 思路2: 过,,,四点的二次曲线方程可以设成 . 展开得. 与比较系数得,即. 故.所以点在定直线上. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$