精品解析：湖南省永州市冷水滩区李达中学2023-2024学年七年级下册数学课后练习

李达中学2024年上期课后服务质量检测七年级数学试卷 满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案；请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 3. 解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A. ①③，①② B. ①③，③② C. ②①，②③ D. ①②，①③ 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 计算（﹣）2019×（）2020的结果是（　　） A. 1 B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣1 6. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 8. 如右图，其中①②中天平保持左右平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ） A. 30克 B. 25克 C. 20克 D. 50克 9. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 10. （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果是二元一次方程，则_____，_____． 12. 若，则m=__________． 13. 已知是完全平方式，则______． 14. 已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________． 15. 已知xm＝2，xn＝5，则x3m＋n＝___． 16. 探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几______． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 解下列方程组： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中x＝－1，y＝－2． 20. 已知：，，求： （1）； （2）的值 21. 如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划将这块空地四周均留出2米宽修道路，中间用来绿化． （1）求出绿地的面积；（用含a、b的代数式表示） （2）若a=2b，且道路的面积为224米2，求原长方形空地的宽． 22. 甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确解得方程组的解为．乙因抄错了方程中的系数c，得到的解为，若乙没有再发生其他错误，试求a、b、c的值． 23. 某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．” 小明：“我们七年级师生共336人．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？ 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）； （2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______； （3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． 25. 定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； （2）因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 李达中学2024年上期课后服务质量检测七年级数学试卷 满分120分，考试时量120分钟． 一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案；请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置，每小题3分，共30分） 1. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，积的乘方，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 2. 下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】将4个算式进行变形，看那个算式符合（a+b）（a﹣b）的形式，由此即可得出结论． 【详解】解：①（x﹣2y）（2y+x）=（x﹣2y）（x+2y）=x2﹣4y2； ②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）=﹣（x﹣2y）（x+2y）=4y2﹣x2； ③（﹣x﹣2y）（x+2y）=﹣（x+2y）（x+2y）=﹣（x+2y）2； ④（x﹣2y）（﹣x+2y）=﹣（x﹣2y）（x﹣2y）=﹣（x﹣2y）2； ∴能用平方差公式计算的是①②． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是将四个算式进行变形，再与平方差公式进行比对．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，牢记平分差公式是解题的关键． 3. 解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为（　　） A. ①③，①② B. ①③，③② C. ②①，②③ D. ①②，①③ 【答案】C 【解析】 【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去． 【详解】解：解三元一次方程组， 得： 得： 方程组变形为，刚好消去z， 故选：C． 【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键，根据系数的特征灵活应用加减消元法． 4. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有个，甜果有个，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：设苦果有个，甜果有个，由题意可得， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的有关知识，正确找到相等关系是解决本题的关键． 5. 计算（﹣）2019×（）2020的结果是（　　） A. 1 B. ﹣ C. ﹣ D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则的逆用计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，积的乘方，等于每个因式乘方的积，． 6. 如果与的乘积中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项求字母的值，先根据多项式乘以多项式的运算法则求出乘积，再根据乘积中不含的一次项，可得一次项系数为，据此解答即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故选：． 7. 已知，则代数式的值是（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用．根据题意先将代数式整理成，再将题干已知代入代数式即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 又∵，即， ∴， 故选：D． 8. 如右图，其中①②中天平保持左右平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码的克数为（ ） A. 30克 B. 25克 C. 20克 D. 50克 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意和图形可知，求天平右盘中放入多少克的砝码，应先求出球和三角砝码分别代表的砝码的质量，根据图①，②可得：3个三角砝码的质量+2个球砝码的质量=80；3个球砝码的质量+2个三角砝码的质量=70，只要设出一个三角砝码的质量和一个球砝码的质量，根据上面两个相等关系，列方程即可求解． 【详解】设一个三角砝码的质量为x克，一个球砝码的质量是y克，根据题意，得. ， 解得x+y=30， 即一个三角砝码和一个球砝码的质量和是30克， 故选A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的未知数及相等关系，列方程组求解． 9. 计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． 根据平方差公式和完全平方公式即可解答． 【详解】解： 故选：D． 10. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 如果是二元一次方程，则_____，_____． 【答案】 ①. 3 ②. 0 【解析】 【分析】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 故答案为：3，0． 12. 若，则m=__________． 【答案】2 【解析】 【分析】把左边先逆用幂的乘方法则变形，再根据同底数幂的乘法计算，然胡两边比较即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴5m+1=11， ∴m=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、以及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘． 13. 已知是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算即可确定k的值，熟记完全平方公式对解题的关键． 【详解】∵是完全平方式， ∴，解得， 故答案为：． 14. 已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________． 【答案】5 【解析】 【分析】①+②可得x+y=2-a，然后列出关于a的方程求解即可． 【详解】解：， ①+②，得 3x+3y=6-3a， ∴x+y=2-a， ∵， ∴2-a=-3， ∴a=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 15. 已知xm＝2，xn＝5，则x3m＋n＝___． 【答案】 【解析】 【分析】根据逆用幂的乘法与积的乘方进行计算即可． 【详解】 xm＝2，xn＝5， x3m＋n 故答案为： 【点睛】本题考查了幂的乘法与积的乘方，掌握幂的乘法与积的乘方是解题的关键． 16. 探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 三、解答题（本大题共10个小题，共72分解答题要求写出证明步骤或解答过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先根据积的乘方和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再进行计算即可； （2）先根据积的乘方，同底数幂的乘方运算法则，将各项化简，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入消元法求解； （2）先将方程整理为一般形式，再利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解：， 由①得， 将代入②，得， 解得， 因此， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：原方程组化简整理，得， ①②，得， 解得， 把代入②，， 解得， 所以原方程组的解为． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法和加减消元法． 19. 先化简，再求值：，其中x＝－1，y＝－2． 【答案】，-23 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式和多项式乘多项式可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题 【详解】解：原式= = 将x＝－1，y＝－2代入，得： ==-23． 【点睛】本题考查了整式的混合运算中的化简求值问题，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法：先化简题目中的式子，然后代入求值 20. 已知：，，求： （1）； （2）的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查野运用完全平方公式求代数式的值，熟练运用完全平方公式是正确解决本题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答． （2）根据完全平方公式，即可解答． 【小问1详解】 解：由，， ∴，① ，② 得：， ． 【小问2详解】 解，由，， ∴，① ，② 得：，． ， 的值为． 21. 如图，有一块长为a米、宽为b米的长方形空地，现计划将这块空地四周均留出2米宽修道路，中间用来绿化． （1）求出绿地的面积；（用含a、b的代数式表示） （2）若a=2b，且道路的面积为224米2，求原长方形空地的宽． 【答案】（1）；（2）20米 【解析】 【分析】根据长方形列出表示绿地的面积的代数式，再根据已知道路的面积列方程计算即可； 【详解】（1）依题意得，， ∴绿地的面积是； （2）依题意得， ， ∵， ∴原式， ∴， 解得：． 答：原长方形空地的宽为20米． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解一元一次方程，准确计算是解题的关键． 22. 甲，乙两位同学在解方程组时，甲正确解得方程组的解为．乙因抄错了方程中的系数c，得到的解为，若乙没有再发生其他错误，试求a、b、c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，根据题意可得和，解方程组可得原方程组中a、b、c的值． 【详解】解：代入到原方程组中，得，解得， 乙仅因抄错了c而求得，但它仍是方程的解， 所以把代入到中得， 由，解得， 所以，，． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组解的定义以及解二元一次方程组的基本方法． 23. 某中学拟组织七年级师生去张家界森林公园春游．下面是李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话： 李老师：“客运公司有45座和33座两种型号的客车可供租用，45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元．” 小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆45座和2辆33座的客车到张家界森林公园春游，一天的租金共计4400元．” 小明：“我们七年级师生共336人．” 根据以上对话，解答下列问题： （1）客运公司45座和33座的客车每辆每天的租金分别是多少元？ （2）七年级师生到该公司租车一天，如何才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算？ 【答案】（1）客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元； （2）租用45座客车6辆，33座客车2辆． 【解析】 【分析】（1）设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元，根据“45座客车每辆每天的租金比33座的贵200元，且租用4辆45座和2辆33座的客车一天的租金共计4400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆，根据租用的客车正好乘坐336人，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为自然数，即可得出租车方案． 【小问1详解】 解：设客运公司45座客车每辆每天的租金是x元，33座的客车每辆每天的租金是y元， 依题意得： 解得：， 答：客运公司45座客车每辆每天的租金是800元，33座的客车每辆每天的租金是600元． 【小问2详解】 设租用45座的客车m辆，33座的客车n辆， 依题意得：45m+33n=336， 解得： 又∵m，n均为自然数， 解得：， 答：应该租用45座客车6辆，33座客车2辆，才能保证每辆车恰好坐满又能使租金合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24. 学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）选取1张A型卡片，6张C型卡片，则应取______张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是______（请用含a，b的代数式表示）； （2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可验证的等量关系为______； （3）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重叠地放在长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则a与b有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）9，； （2）； （3），理由： 设长为x， 由题意得，若S为定值，则S将不随x的变化而变化， 可知当时，即时，为定值， 即时，S为定值． 【解析】 【分析】（1）根据卡片的面积结合完全平方公式即可得出答案； （2）根据大正方形的面积=小正方形的面积+4个长方形的面积，即可得出答案； （3）设长为x，利用x、a、b表示出，再根据，S为定值，即可得出答案． 【详解】解：（1）A型卡片的面积为a2，B型卡片的面积为b2，C型卡片的面积为ab， 题中已经选择1张A型卡片，6张C型卡片，面积之和为a2+6ab， 由完全平方公式的几何背景可知一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式，可以很轻易得知a2+6ab+9b2=（a+3b）2， 故应取9张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，新的正方形的边长是a+3b， 故答案为：9；a+3b （2）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为（a+b）的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为（a+b）的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：（a+b）2-4ab， 由图可得D型卡片是一个边长为（a-b）的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：（a-b）2=（a+b）2-4ab 故答案为：（a-b）2=（a+b）2-4ab； （3）略 【点睛】此题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景，题目新颖独特，难度中等． 25. 定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； （2）因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴多项式的值一定恒为正数； ； （2）最小值为，或． 【解析】 【分析】（）根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证； 将配方成，即可确定最小值； （ ）根据，（当时，且是定值时，有最小值是），即可确定S最小值，然后解方程即可求出的值； 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的应用． 【小问1详解】 略 ②解： ， ∴最小值为； 【小问2详解】 解：， ∴最小值为，此时有， ∴， ∴， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $