精品解析：新疆生产建设兵团第二师八一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

八一中学2023—2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.66 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线与平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 点到直线的距离为（ ） A B. 2 C. D. 1 3. 圆 的圆心和半径分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. 4. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 6. 将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 10. 设为不同的平面，为不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 著，，，，则 D. 若，，，则 11. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 12. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 不是函数的极值点 C. 上单调递增 D. 存在两个零点 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，，若，则mn的值为______. 14. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是______. 15. 求圆上动点到直线距离的最大值_________． 16. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______． 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包的侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 18. 一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90. （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少? （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少? （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）? 19. 已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，底面ABCD，，E为PB中点． （1）求证：； （2）求平面EAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 21. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八一中学2023—2024学年第一学期高二年级期末考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 预测难度系数：0.66 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 直线与平行，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解. 【详解】直线与平行，且的斜率为2， 它们在轴上的截距不相等，且直线的斜率也为2， 即. 故选：D. 2. 点到直线的距离为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解. 【详解】点到直线的距离. 故选：D 3. 圆 的圆心和半径分别为（ ） A. ，2 B. ， C. ，2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可. 【详解】由可得，， 所以圆心为，半径为， 故选:B. 4. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，，一辆车从甲地到乙地，恰好没有遇到红灯的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合对立事件概率，由独立事件的概率公式计算． 【详解】由题意各路口没有遇到红灯的概率分别为， 所以经过三个路口没有遇到红灯的概率是． 故选：A． 5. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 对函数求导，并令代入可求得.将的值代入可得导函数，即可求得的值. 【详解】函数，则， 令代入上式可得，则， 所以， 则， 故选：A. 【点睛】本题考查了导数的定义与运算法则，在求导过程中注意为常数，属于基础题. 6. 将半径为3，圆心角为的扇形卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 扇形的弧长为，则，母线， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积. 故选：B 7. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案； 【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为， 根据题意，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，直线的斜率为1， 故直线为， 由，解得，， 所以， 故， 故选：A. 【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 8. 如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（ ） A. B. 2 C. 或 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】利用线线角以及余弦定理求得. 【详解】设是的中点，连接， 由于，分别为棱，的中点， 所以, 所以是异面直线与所成的角或其补角， 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 当时，在三角形中， 由余弦定理得. 所以为或. 故选：C 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线C的方程为，则（ ） A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】CD 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确. 故选：CD 10. 设为不同的平面，为不同的直线，下列命题不正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 著，，，，则 D. 若，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由正方体模型举例说明ABD错误，由面面垂直的性质定理知C正确. 【详解】A项，若，， 与可能异面. 例如，如图长方体中， 平面，平面， 但与异面，不平行，故A错误； B项，若，，，与可能异面， 例如，如图长方体中， 平面平面，平面，平面， 但与不平行，二者异面，故B错误； C项，根据面面垂直的性质定理可得，故C正确； D项，若，，，则与不一定垂直. 例如，如图长方体中， 平面平面，平面，平面， 但，不与垂直，故D错误. 故选：ABD. 11. 已知事件满足，，则下列结论正确的是（    ） A. B. 如果，那么 C. 如果与互斥，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可 【详解】对于选项A，，故选项A错误； 对于选项B，如果 ， 那么，选项B正确； 对于选项C， 如果与互斥，那么 ， 所以选项C正确； 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确. 故选：BCD 12. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 不是函数的极值点 C. 在上单调递增 D. 存在两个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据奇函数的定义判断A，求导得函数的单调性判断BC，根据零点存在性定理和单调性判断D. 【详解】函数的定义域为R，又，， 则，所以不是奇函数，故选项A错误； 因为，所以在上单调递增，所以函数不存在极值点，故选项B与C正确； 因为，，又在上单调递增，且， 所以仅有一个零点0，故选项D错误. 故选：BC 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知向量，，若，则mn的值为______. 【答案】-2 【解析】 【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可. 【详解】∵， ∴，解得：，， ∴. 故答案为：. 14. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的方程即可求解. 【详解】若方程表示双曲线，显然， 则由可得， 故, 故答案为： 15. 求圆上的动点到直线距离的最大值_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线距离的最大值为. 故答案为：. 16. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合常变最分离法、反比例函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意得，， 则由题意可知在上，恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为在上，，所以． 故答案为： 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． （1）求该蒙古包侧面积． （2）求该蒙古包的体积． 【答案】（1）平方米 （2）立方米 【解析】 【分析】（1）先求出圆锥和圆柱的侧面积，再求和即可； （2）先求出圆锥和圆柱的体积，再求和即可. 【小问1详解】 依题意得米，米，米， 所以米， 所以圆锥的侧面积为平方米， 圆柱的侧面积为平方米， 所以该蒙古包的侧面积为平方米. 【小问2详解】 圆锥的体积为立方米， 圆柱的体积为立方米， 所以该蒙古包的体积为立方米. 18. 一组学生参加了一次考试，他们的分数分布如下：80 85 90 75 88 92 78 82 85 90. （1）随机选择一个学生，他得到85分的概率是多少? （2）这组学生中，得分超过80分的概率是多少? （3）选择两个学生，他们的分数都在80分以上的概率是多少（学生得分相互不影响）? 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合古典摡型概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，得到85分的学生有2人，所以概率为，即概率为. 【小问2详解】 解：由题意，得分超过80分学生有7人，所以概率为. 【小问3详解】 解：由题意，分数都在80分以上的学生有7人（得分为85、90、88、92、82、85、90）， 所以概率为. 19. 已知在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】确立圆的方程需要三个独立的变量，求解时，可以先确定圆心的坐标，再求圆的半径，也可以运用圆的一般方程，通过待定系数法求得. 【小问1详解】 设圆的方程为，因为点在圆上， 所以，解得，， 所以圆的方程为， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为； 若直线的斜率存在，设其为，则直线的方程为, 所以，解得，,所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】对于本题而言，选择圆的一般式方程方程求解较易，求直线方程时要防止漏掉斜率不存在的情况，重视数形结合的运用. 20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，底面ABCD，，E为PB中点． （1）求证：； （2）求平面EAD与平面PCD所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法解决问题. 【小问1详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，，，，,，,所以. 【小问2详解】 设平面的法向量为，,, ,所以 设平面的法向量为，，， ,，所以， 所以. 21. 已知椭圆：的长轴长是短轴长的倍. （1）求的方程； （2）若倾斜角为的直线与交于，两点，线段的中点坐标为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件确定的值，即得椭圆的标准方程； （2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题. 【小问1详解】 由题意可得，得，所以的方程为. 小问2详解】 由题意得. 设，，依题意可得，且， 由得， 则，解得. 经检验，点在椭圆内. 所以为所求. 22. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，讨论函数在上的单调性. 【答案】（1） （2）单调递增 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式得切线方程； （2）研究函数在上的单调性，先求解，因不易判断符号，由构造局部函数，再继续求解，分析得出，由此逐步分析出符号，从而得出的单调性. 【小问1详解】 ， ，即切点坐标为， 又， 切线斜率， 则切线方程为，即：； 【小问2详解】 ， ， 令， 则， 在上单调递增， ， 在上恒成立， 在上单调递增. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$