几何体体积计算常见的两种策略——“加法”和“减法” 讲义-2024届高三数学二轮复习专题

几何体体积计算常见的两种策略---“加法”和“减法” 在立体几何的学习中,经常需要计算几何体的体积.对于较为复杂的几何体体积问题经常采用“加法”和“减法”两种求解策略. “加法”就是将该几何体分割成若干个规则几何体,然后将这个几个几何体的体积相加; “减法”就是将所求几何体放置于某个大几何体中,用大几何体的体积减去其余几何体的体积. 策略1: “加法” 例1.已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图(1)所示,则该几何体的体积是_____ 图(1) 图(2) 图(3) 解析:如图(2)所示,在正方体的基础上,用平面去截,截去的部分是左边的几何体,剩下的部分是右边的几何体.其中,分别,是中点. 如图(3)所示,连接,,则截去的几何体被分割成三棱锥和四棱锥.分别求出这两个锥体的体积,再相加. . 这样,剩下几何体的体积为. 评析:对于本题,采用分割法求被截去几何体的体积,作出两条辅助线,将几何体分割成三棱锥和四棱锥.事实上如果能够观察出几何体是一个三棱台,也可以借助台体的体积公式求解. 例2.在四面体中, ,,求四面体的体积. 图(4) 解析:如图(4)所示,取中点,连接,则,,所以面. 四面体被分割成三棱锥和. . 评析:对于本题,采用分割法求四面体的体积,作出两条辅助线,将四面体分割成三棱锥和. 例3.已知正方体棱长为,分别为,中点.求四棱锥的体积. 图(5) 解析:如图(5)所示,连接,四棱锥被分割成三棱锥和,且这两个三棱锥等体积.. 评析:对于本题,采用分割法求四棱锥的体积,作出一条辅助线,将四棱锥分割成两个等体积的三棱锥. 策略2: “减法” 例4.如图(6),在直三棱柱中,,是的中点,,.求四棱锥的体积. 图(6) 解析:. ,. 作,则面,所以点到面的距离,易求得. 故.所以. 评析:对于本题,四棱锥的体积可以看成是整个直三棱柱的体积减去两个小三棱锥的体积.事实上,也可以直接利用锥体的体积公式求解.显然四边形为梯形,面积为.作.由于面面,交线为,故面,即面,所以点到面的距离,易求得. 所以. 例5.如图(7),在四棱锥中,面,,面为矩形,为线段中点,, ,,与面所成的角为,则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积是 图(7) 解析:设,,连接,则几何体为两个棱锥的公共部分.因为为线段中点,, ,所以 , . 取中点,中点,则 , 面. 由于面,所以点到面的距离等于点到面的距离,等于 . 故. 因为与面所成的角为,所以,,连接. 易知,所以. 故 . . 评析:先结合图形找出四棱锥与三棱锥的公共部分,为几何体.其体积为三棱锥的体积减去三棱锥的体积. 例6.如图(8),已知长方体中,,,. 求三棱锥的体积. 图(8) 解析:.设长方体的长宽高分别为,易求得,,. 所以. 练习: 1 如图(9),《九章算术》中,将如图所示的几何体称为刍甍,底面为矩形,且面.到面的距离为,,,,则时, 图(9) 解析:.由得. 由,得. 所以. 由得,解得. 2如图(10),空间几何体中,四边形是梯形,四边形是矩形,且面 面,,,.是线段上的动点.(1)求证.(2)试确定点的位置,使面,并说明理由.(3)在(2)的条件下,求空间几何体的体积. 图(10) 解析:由(2)可知,点为的中点.将几何体补形成三棱柱.由题目条件易证两两垂直.. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$