三次函数的性质及其应用讲义-2025届高三数学一轮复习

三次函数的性质及其应用 三次函数是一类重要的函数,以三次函数为载体的试题经常出现在高考以及各级各类高三综合卷当中,内容主要涉及借助导数研究三次函数的图像,性质等等. 1、 知识点 设三次函数为,其中,.,为二次函数.令. 1.图像及其单调性 当时,若,则在上单调递增,无极值.若,则令,解得极值点为(设),则在上单调递增,在单调递减,在单调递增,极大值为,极小值为. 当时,若,则在上单调递减,无极值;若,则令,解得极值点为(设),则在上单调递减,在单调递增,在单调递减,极小值为,极大值为. 2.一个重要结论 若三次函数有极值,则必有一个极大值,一个极小值. 3.对称中心 任何三次函数都有对称中心,且对称中心在图像上.若三次函数有极值,则两个极值点关于对称中心是对称的.三次函数的对称中心坐标为. 2、 应用 题型1:三次函数的零点问题 此类题型主要以三次函数为载体,告知零点情况,求参数的值或者取值范围,需要借助导数运算考查其单调性,结合题意求解,往往伴随着对参数的分类讨论. 例1.若函数()在内有且只有一个零点,则在上的最大值与最小值的和为 解析:显然.. 令得. 若,则,在上单调递增.故当时.此时在上无零点. 若,则,在上单调递增.故当时.此时在上无零点. 若,则,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.由已知有,解得. 此时数,在上的最大值与最小值的和为. 例2.已知函数,若存在唯一的零点,且,则的取值范围是 解析:显然.. 令得. 若,则,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.由已知有,解得. 若,则,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.此时在上存在零点,不符合题意. 综上,. 题型2:三次函数的图像问题 此类题型经常需要画出三次函数的图像,结合图像进行求解,主要考查考生的数形结合能力,推理论证能力. 例3.设,其中均为实数.下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是(1);(2);(3);(4);(5) 解析:对于(3),当时,有. 令,令,得,. 易知在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增. ,,如图(1)所示,此时只有一个零点,符合题意. 图(1) 因此正确答案是(1),(3),(4),(5)正确. 例4. 已知函数,若存在实数,使函数两个零点,则的取值范围是 解析:函数两个零点等价于与的图像有两个交点. 图(2) 画出函数的图像,该图像随着的变化而变化.如图(2)所示,易知当时,不存在直线使得两者的图像有两个交点.因此符合题意的的取值范围是. 例5.设函数, (1)若,则的最大值为 (2)若无最大值,则实数的取值范围是 解析:(1)当,画出的图像,如图(3)所示. 图(3) 图(4) 此时的最大值为2. (2) 的图像随着实数的变化而变化,如图(4)所示,观察图像的变化可知当时,无最大值. 题型3:已知恒成立求参数取值范围 此类题型一般以含参三次函数为载体,告知该三次函数在某个区间上恒大于零或恒小于零,要求参数的取值范围.一般采取分离变量转化为求新函数最值的方法求解. 例6. 当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 解析:当时,有. 当时,有.令,则且. 令,只需.,令,得. 易知当时,单调递减;当时,单调递增. 故当时有最小值,所以. 当时,有.令,则且. 令,只需. 由于在恒成立. 所以在上单调递减,故当时有最大值,所以. 综上有. 题型4:三次函数的对称性问题 此类题型主要围绕三次函数的对称中心展开试题的命制,需要综合运用导数,不等式等相关知识求解. 例7.函数与的图像交点的横坐标之和为,则 解析:令,则有. 由于函数的图像对称中心是,且图像交点的横坐标之和为,如图(5)所示,因此函数的对称中心也是.故有. 图(5) 例8.若曲线上存在三点,使得,则称曲线有“中位点”,下列曲线(1) (2) (3) (4)有中位点的是 解析:若给出的曲线是中心对称图形且对称中心在图像上,则此曲线一定有中位点,则(1)(3)(4)符合题意. 例9.已知直线:与函数的图像交于三点,其横坐标分别是.若对任意的,恒成立,则实数的取值范围是 解析:对于,的对称中心,显然直线过对称中心.假设其个交点分别为,则有,.则必有恒成立. 联立,解得.则有. 题型5:三次函数的综合性问题 例10.若函数有极值点,且,则关于的方程的不同实根个数是 解析:由已知有是方程的两个不同实根.结合题意有,或者.问题转化成直线与跟图像交点的个数. 若,如图(6)所示,此时有三个交点;若,如图(7)所示,此时有三个交点; 图(6) 图(7) 因此,不同实根个数是三个. 例11.已知函数在上的值域为,则的取值范围是 解析:对于函数,即,即 ,令,得,. 极大值为,极小值为. 结合图(8)可得,. 图(8) 例12:设函数,若存在唯一的正整数,使得,则的取值范围是 解析:由已知令,得. 令,,显然直线过定点. 由题意得存在唯一的正整数,使得. ,令得. ,,,,,. 图(9) 如图(9)所示,画出和的图象,可得不等式组,解得. 练习1:已知函数,有两个零点,求的取值范围. 解析:,由已知可得有两个不等实根,设为,() 易知.结合可知. 由得.令得. 此时. 记,. ,在单调递减,所以. 故 练习2:已知函数,若有三个互不相同的零点,,,其中.若对任意都有成立,求实数的最小值. 解析:,由已知可得有两个不等实根,.不妨设.结合可知.因此有.在单调递增,在单调递减,在单调递增.当时,,所以有....(1).又,所以.代入得(1)得,即,,,所以.因此.所以实数的最小值为. 练习3:已知函数在区间上单调递增,求的最大值. 解析:令,得,即.令,得.代入得.令,得.此时,符合题意.综上,的最大值为. 练习4:已知函数（）的图像如图所示，则下列判断正确的个数是 （1） （2） （3） （4） 解析：（1）由，得，所以（1）正确。 （2） 由，得。结合图形可知。，易知 ，，故，所以，（2）错误。 （3） ，，（3）正确 （4） ，，，， ，（4）正确。 综上，正确的个数是3个。 练习5:若函数有四个不同的零点，则的取值范围是 解析：显然，所以还有3个不同的零点。当时，令，；当时，令，；故 。问题转化成直线与曲线图像有3个交点。 当时，有三个交点。故 不难发现,三次函数试题综合性强,融函数,导数,不等式等于一体,能够较好地考查考生的数形结合能力,推理论证能力,计算求解能力,因而备受命题者青睐.在实际解题中,我们要在掌握好三次函数基本知识,基本方法的基础上根据题目条件灵活转化,将未知转向已知,化抽象为具体,化繁为简,从而真正提高解题能力,实现高效复习备考. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$