（小升初高频易错）多次相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

多次相遇问题 第一部分【知识考点归纳】 【知识点归纳】 多次相遇的基本公式和方法计算： 距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量． 还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲×T甲，S乙=V乙×T乙，有如下关系： （1）当时间相同即T甲=T乙时，有S甲：S乙=V甲：V乙； （2）当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙； （3）当路程相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲． 在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果． 【注意事项】 1、理解相遇次数与路程和的关系 第一次相遇，两人合走一个全程。 第二次相遇，两人合走三个全程。 第三次相遇，两人合走五个全程。 以此类推，第 n 次相遇，两人合走 (2n - 1) 个全程。 2、、明确速度和时间的影响 两人的速度不变时，相遇时间与路程和成正比。 注意题目中是否有速度或时间的变化。 3、画图辅助理解 画出线段图可以更直观地展示两人的运动过程和位置关系。 标注出每次相遇的地点和对应的路程。 4、确定起始位置和运动方向 清楚两人是同地出发还是异地出发。 是相向而行还是同向而行。 5、计算要仔细 在计算路程、速度和时间时，要注意单位的统一。 进行乘法、除法运算时要认真，避免出错。 6、考虑多种情况 例如，可能存在中途停留、折返等特殊情况。 7、检查答案的合理性 将计算得出的结果代入原题，看是否符合所有条件。 第二部分【经典例题分析】 【典例1】甲、乙两列火车同时分别从A、B两地相对开出，甲车的速度是58千米／小时，乙车的速度是46千米／小时，甲、乙两车相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，立即按原路返回，两车从开始到第二次相遇共用9小时，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】312千米 【分析】甲、乙两车从开始出发到第一次相遇共同行完一个A、B间的路程，当甲到达B地，乙到达A地时，共同行完两个A、B间的路程．甲、乙分别从B地、A地返回到第二次相遇时，又共同行完一个A、B间的路程，则从开始到两车第二次相遇，9个小时，两车共同行驶了A、B间路程的3倍． 【详解】甲、乙两车的速度和：58+46=104（千米／小时） 3个A、B间的路程：104×9=936（千米） A、B间的距离：936÷3=312（千米） 答：A、B两地相距312千米． 【典例2】A、B两地相距1000米，甲从地、乙从地同时出发，在、两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇（含追及）时距B地最近？最近距离是多少？ 【答案】第3次    米 【详解】画出“折线示意图”，判断哪一次相遇距B地最近． 甲乙行程的折线示意图如下，图中实线表示乙，虚线表示甲． 由图可知，第3次相遇时距离B地最近． 此时两人共走了：（米） 用时：（分钟） 相遇地点距离B地：（米）． 【典例3】铁路旁一条小路，一列长为110米的火车以每小时30千米的速度向南驶去，8点时追上向南行走的一名军人，15秒后离他而去，8点6分迎面遇到一个向北行走的农民，12秒后离开这个农民，问：军人与农民何时相遇？ 【答案】8点30分 【分析】涉及火车的行程问题中，火车的长度不能忽略，解题关键是找出15秒（12秒）内，火车行驶和人步行与火车车长之间的数量关系。 【详解】火车速度：30×1000÷60＝500（米/分） 火车速度与军人速度的差为：110÷（15÷60）＝440（米/分） 军人的速度：500－440＝＝60（米/分） 农民的速度：110÷（12÷60）－500＝50（米/分） 8点时火车头与农民的距离为：（500＋50）×6＝3300（米） 军人与农民相遇：3300÷（60＋50）＝30（分） 此时的时间为8点30分。 答：军人与农民8点30分相遇。 【名师点评】1、此题中有着三个基本问题。火车追及军人，火车农民相遇，军人和农民相遇，找到三者之间的关系就是解决题目的关键。 2、解决行程问题的关键是三步： a：正确画出示意图； b：把复杂的行程问题分解为每一个基本的相遇或追及问题； c：找到这些相遇或追及问题之间的数量关系，包括路程关系，时间关系与速度关系。 【典例4】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，往返跑步．甲每秒跑3米，乙每秒跑7米．如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A、B两点间的距离为多少米？ 【答案】250米 【详解】假设A、B两地相距单位“1”， 甲乙两人第四次相遇时共行程2×4-1=7，第五次相遇时共行程2×5-1=9． 第四次相遇时甲走了：， 第五次相遇时甲走了， 可见两次相遇地点相距：， 所以全程AB为（米）． 第三部分【高频考题巩固】 1．甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地5千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离？ 2．甲，乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒。如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？ 3．童童和乐乐是医院疫情期间新引进的两款智能机器人，每天早上童童和乐乐“唱着歌”穿梭在104米长的病区走廊上，童童负责配送药物，只要护士下单，它就能准确的送达。乐乐负责卫生，保证病区干干净净，不留卫生死角。童童与乐乐分别从东、西两地同时相向出发。规定：童童从东边A点出发，跑到西边B点马上返回，跑到起点又返回，……，如此继续下去，当乐乐从西边B点打扫到东边A点时，它们同时停止运动。已知童童每秒跑10.2米，乐乐每秒跑0.2米。问 （1）第三次相遇距离B点多远？ （2）若乐乐打扫到60米处时，它们共相遇了多少次？ 4．A，B两地相距105千米，甲、乙两人分别骑车从A，B两地同时相向出发，甲速度为每小时40千米，出发后1小时45分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇3分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在C地追上乙。若甲以每小时20千米的速度，乙以每小时比原速度快2千米的车速，两人同时分别从A，B出发相向而行，则甲、乙二人在C点相遇，问丙的车速是多少？ 5．快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。求甲、乙两地间的路程。 6．甲、乙、丙三人，甲每分钟走20米，乙每分钟走22.5米，丙每分钟走25米。甲、乙从东镇，丙从西镇，同时相向出发，丙遇乙后10分钟再遇甲，求两镇相距多少米？ 7．如图，在一个周长为400米的圆形跑道上等距离分布着A、B、C、D四点，甲从点C出发，以5米/秒的速度顺时针跑向点D，到点D后转向跑回点C；乙从点B出发，以3米/秒的速度逆时针跑向点A，到达点A后转向跑回点B。甲与乙同时起跑，各自的速度不变，且不计转身时间。 （1）甲与乙第一次相遇时距离点D多少米？ （2）甲与乙第二次相遇（追上也算相遇）时距离点D多少米？ 8．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，他们在距中点160米处相遇。出发时，甲看了下手表，当时是下午六点多，时针与分针的夹角为；相遇时，甲又看了下手表，还没有到下午七点，但时针与分针的夹角仍然为。如果甲出发后在途中某地停留了一段时间，两人还是在距中点160米处相遇，且已知甲的速度为80米/分钟，问甲在途中停留了多少分钟？ 9．△ABC是一个等边三角形跑道，D在A、B之间，且有AD：BD＝2：3，某日甲、乙、丙三人从A、B、C同时出发（如图所示），甲、乙按顺时针方向跑步，丙按逆时针跑步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第二次相遇是在D时，甲走了2012米，那么，△ABC的周长是多少米. 10．一口枯井，一只蜗牛上午9时从井底开始爬向井口，在井口停30分钟又从井口爬到井底，停留30分钟后，又从井底爬到井口，……，如此不断地爬上爬下，每爬一个单程都用 45分钟。另有一只蚂蚁，上午9时从井底出发沿井壁不间断地上下爬行，如果它每爬行一个单程都用15分钟，那么，到当日下午4时，它们一共相遇了多少次（不包括开始的一次）？ 11．小王和小李同时从东、西两村出发，相向而行，当他们第一次相遇时，离开东村1.8千米，然后他们各以原速继续前进，小王到达西村后立即返回，小李到达东村后也立即返回，当他们第二次相遇时，相遇点离开西村1.2千米，那么东西二村相距多少千米？ 12．一条公路上顺次分布着A、B、C、D、E五个休息区，其中C恰好处于AE中点，而AB段由于道路泥泞，车速在此均只能降低到原来的一半，甲、乙两车分别在A、E两地同时出发相向而行，在C点第一次相遇，之后分别到达对方出发点并调头继续行驶，在B处第二次相遇。若AB段长度为90km，则AE全长为多少km？ 13．客、货两车同时从甲、乙两地相对开出，在途中相遇后继续前进，各自到达对方出发地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇地点相距120千米。客车每小时行60千米，货车每小时行48千米。问甲、乙两地的距离。 14．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B相距多少千米？ 15．甲、乙分别从A和B两地同时出发，相向而行，往返运动。两人在中途的C加油站处第一次迎面相遇，相遇后，两人继续行进并在D加油站处第二次迎面相遇。若甲速度提升一倍，那么当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，已知CD之间距离为60千米，则从A地到B地的全程为多少千米？ 16．甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是乙的速度的2倍，二人相遇后继续行进，甲到B地，乙到A地后都立即返回。已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地的距离。 17．汽车从A地出发，到B地去，一人骑自行车同时从B地出发到A地去，当汽车与骑自行车人第一次相遇时，距B地12.8千米，自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回，第二次相遇时，距A地0.24千米，求AB两地间的路程是多少千米？ 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米，则A、B相距多少千米？ 19．二人同时从AB两地出发相向而行，当他们第一次相遇时，离开A地1.62千米，然后他们以不变的速度不停地往前走，各自到达目的地后立即返回，第二次相遇时，距B地1.12千米，求AB两地间的路程是多少？ 20．大宝和小宝两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，第一次相遇时大宝比小宝多走了80米，求第二次相遇地点距离中点多少米？ 21．甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出（甲从A地，乙从B地），第一次相遇后两车继续前进，第二次相遇时乙车离A地120千米，已知甲、乙两车速度比为5∶4，求AB两地路程。 22．如图，喜羊羊和美羊羊两只羊为防备灰太狼的攻击，在森林公园建一正方形训练场练习跑步，并标明A，B，C，D四个顶点。它们沿着正方形的边长练习跑步，美羊羊从A处沿顺时针方向跑，喜羊羊从C处沿逆时针方向跑。若喜羊羊的速度是美羊羊的4倍，则它们第2009次相遇在什么位置？ 23．甲乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶，与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶，当丙行了30千米时与甲相遇，相遇后甲立即掉头，并且将速度提高到原来的2倍，当甲乙两车相遇时，丙行驶了40千米。当乙丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么AB两地的距离是多少千米？ 24．如图，AC，CD，DE和EB的长度都是30米。甲、乙二人分别在A，B两处进行折返跑练习。甲从A出发先到C，然后返回到A，再到D，又返回A，再到E，返回到A，最后到B并返回到A。乙练习的方法和甲一样。已知甲、乙二人的速度分别是每秒4米和每秒6米。如果不计两人调头时间，问： （1）如果两人同时开始练习，那么出发多长时间后，甲、乙二人第一次相遇？ （2）如果甲比乙提前9秒开始练习，那么两人在练习的过程中一共相遇了多少次？（追上也认为是相遇。） 25．成才和许三多两人在钢七连军训场的同一条环形跑道上进行跑步训练。他们同时同地出发，沿相反方向开始跑步，开始时许三多的速度是成才的。每人跑完一圈后，都立即回头加速跑下一圈，成才的速度比前一圈提高，许三多的速度比前一圈提高。两人每相遇两次，就以其中第二次的相遇点作为新的出发点，跑步规则不变（第一圈仍回到原速，第二圈加速），如此持续跑下去。 记他们最初的出发点为，第一次相遇点为，第二次相遇点为。已知和在环形跑道上的最短距离为190米。 （1）求这条环形跑道的长度。 （2）他们能否同时回到最初的出发点？如果能，这时成才和许三多两人各跑了多少米？如果不能，说明理由。 26．甲、乙两地相距216千米，客货两车同时从甲、乙两地相向而行。已知客车每小时行58千米，货车每小时行50千米，各自到达对方出发地点后立即返回，两车第二次相遇时，客车比货车多行多少千米？ 27．小乌龟和小兔赛跑，比赛场地从起点到插小红旗处为104米。比赛规定：小兔从起点出发跑到小红旗处立即返回，跑到起点处再立即返回……已知小兔每秒跑10.2米，小乌龟每秒爬0.2米。如果从起点同时出发算它们第1次相遇（同时到达同一地点就叫相遇），那么： （1）出发后多长时间它们第2次相遇？ （2）它们第3次相遇时距起点有多远？ 28．A、B、C三位好朋友沿着小区的环形跑道匀速慢跑锻炼，他们同时从跑道一固定点出发，B、C两人同向，A与B、C反向。A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C，再经过2.5分钟第二次遇上B。已知A的速度与B的速度的比是3∶2，环形跑道的周长是1100米，求B、C两人的速度每分钟各是多少米。 29．张华和李冰分别从A、B两地同时出发相向而行，张华的速度是李冰的，两人分别到达B地与A地后，立即返回各自的出发地。返回时，张华的速度比原来增加了，李冰比原来增加了。已知两人第一次相遇处距返回途中第二次相遇处35千米，A，B两地相距多少千米？ 30．李想和朱朱两人同时分别从甲、乙两地相对出发，各自到达对方地点后立即返回，两人第二次相遇时，李想比朱朱多行了210米。求李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点多少米？ 31．快、慢两车同时从甲、乙两车站迎面开来，快车每小时行驶100km，慢车每小时行驶65km．两车到达车站后立即往回开，第二次相遇时快车比慢车多行驶了210km．求甲、乙两车站间的距离． 32．客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米．求甲乙两站相距多少千米？ 33．甲、乙两车同时从东城出发，开往相距750千米的西城，甲车每小时行68千米，乙车每小时行57千米，甲车到达西城后立刻返回．两车从出发到相遇一共经过多长时间？ 34．小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立即以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？ 35．甲、乙两车同时从相距300km的两站相向开出，到达对方站后立即返回．经过5小时甲、乙两车在途中相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了120km．求两车的速度． 36．甲、乙两人在相距90米的直路上来回的跑步，甲的速度是每秒钟3米，乙的速度是每秒钟2米，如果他们分别在直路的两端出发，跑了12分钟，共相遇多少次？ 37．赵老师和王老师每天早晨都要在长600米的一条路上练习长跑，赵老师每分钟跑110米，王老师每分钟跑90米，他们每天都是分别从路的两端出发，跑到另一端后再返回继续跑．他们第二次相遇时，已经跑了几分钟？ 38．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇．求A、B两地间的路程． 39．甲、乙二人分别从A、B同时出发，相向而行。乙的速度是甲的，二人相遇后继续前进。甲到B地乙到A地都立即返回。已知他们两次相遇的地点之间相距3000米。求A、B两地的距离。 40．小华、小明、小丽三人步行，小明每分钟走50米，小华每分钟比小明快10米，小丽每分钟比小明慢10米，小华从甲地，小明、小丽从乙地同时出发相向而行，小华和小明相遇后，过了15分钟又和小丽相遇，求甲、乙两地间的距离？ 41．李明和王华步行同时从A、B两地出发，相向而行，第一次在距离A地520米处相遇，相遇后继续前进，到对方出发点后立即原速返回，第二次在距离A地440米处相遇，计算A、B两地之间距离． 42．快、慢两辆汽车同时从A、B两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小时行30千米．两车不断往返于A、B两地运送货物．当两车第三次相遇后，快车又行了270千米才与慢车相遇．求A、B两地间的距离． 43．小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去.他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？ 44．环形跑道400米，小百小合背向而行，小百6米/秒，小合4米/秒，当小百正面和小合相遇时，立刻转向跑．当小百追上小合时，小合立即转向跑，两人第11次碰头时离起点多少米？（按较短计算） 45．客车和货车分别从甲、乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进．客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇．求甲、乙两站之间的距离． 46．快车和慢车分别从A，B两地同时开出，相向而行.经过5小时两车相遇.已知慢车从B到A用了12.5小时，慢车到A停留半小时后返回.快车到B停留1小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？ 47．甲、乙两名同学在周长300米的圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒跑3.5米，乙每秒跑4米，他们第十次相遇时，甲还跑多少米才能回到出发点？ 48．电子游戏《保卫家园》中有两个警卫兵每天在乐乐家门前一条长20厘米的路上巡逻，大警卫每秒走0.5厘米，小警卫每秒走0.3厘米，每天早晨俩人同时从路的两段相向走来，走到对方出发地点再向后转接着走．当他们第三次相遇时，大警卫走了多少厘米？ 49．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,在A、B两地之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3:7,并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇).那么,A、B两地之间的距离是多少千米? 50．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇．求A、B两地间的路程． 51．有一队伍以1.4米/秒的速度行军，末尾有一通讯员因事要通知排头，于是以2.6米/秒的速度从末尾赶到排头并立即返回排尾，共用了10分50秒．问：队伍有多长？ 52．甲、乙两名选手在一条河中进行划船比赛，赛道是河中央的长方形ABCD，其中AD=100米，AB=80米，已知水流从左到右，速度为每秒1米，甲乙两名选手从A处同时出发，甲沿顺时针方向划行，乙沿逆时针方向划行，已知甲比乙的静水速度每秒快1米，（AB、CD边上视为静水），两人第一次相遇在CD边上的P点，4CP=CD，那么在比赛开始的5分钟内，两人一共相遇几次？ 53．甲、乙、丙三人在学校到体育场的路上练习竞走，甲每分比乙多走10米，比丙多走31米．上午9点三人同时从学校出发，上午10点甲到达体育场后立即返回学校，在距体育场310米处遇到乙． 问：（1）从学校到体育场的距离是多少？ （2）甲与丙何时相遇（精确到秒）？ 54．A、B两地相距24千米，甲和乙两人分别由A、B两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地．途中两人第一次相遇于C点，第二次相遇于点D．CD相距6千米，则甲、乙两人的速度比是为多少？ 55．苏步青是我国著名的数学家，他小时候，有人曾给他出了这样一道数学题：甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离是1000米，甲每分钟走120米，乙每分钟走80米，甲带着一只狗，狗每分钟走500米，这只狗与甲一道出发，碰到乙的时候，它又掉头朝甲这边走，碰到甲的时候，又往乙这边走，直到两人相遇，问这只狗走了多少米？你能像苏步青一样，很快说出这道题的答案吗？ 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第四部分【答案详解点评】 1．4千米 【分析】甲乙第一次相遇地点离A地7千米，即甲行了7千米。第二次相遇时，两人一共行了3个全程。则每行一个全程，甲就行了7千米，此时甲一共行了7×3＝21（千米）；距B地5千米处第二次相遇，用甲一共行的全程减去5千米就是A、B两地的距离，用两地的距离减去7千米再减去5千米，就是两次相遇地点之间的距离，可据此解答。 【详解】3×7－5 ＝21－5 ＝16（千米） 16－7－5 ＝9－5 ＝4（千米） 答：两次相遇地点之间的距离是4千米。 【名师点评】本题关键是明确两人一共行了3个全程，而每行一个全程，甲就行了7千米。 2．15次 【分析】10分钟两人共跑了：（3＋2）×60×10＝3000（米），（3000÷100＝30）个全程。我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇（不包括追上）1、3、5、7…29共15次。 【详解】（3＋2）×60×10 ＝5×60×10 ＝3000（米） 3000÷100＝30（个） 30÷2＝15（次） 答：共相遇15次。 【名师点评】要明确：在奇数个全程时相遇（不包括追上），是解答此题的关键。 3．（1）6米； （2）29次 【分析】（1）把童童和乐乐第三次相遇时的相遇时间设为未知数，童童和乐乐碰头相遇后，童童继续向B点运动，到达B点返回时此时为追及问题，速度为两者速度差，追上乐乐时算两者第二次相遇，那么第三次相遇就是童童从B点到达A点后又调头向B点运动与乐乐碰头相遇。此时两人运动过程的全长是AB两点全程的3倍，乐乐走了其中的，即可求解本题。 （2）已知乐乐打扫到离B点60米处，它用了300秒，它们共相遇的次数可求，据此解答。 【详解】（1）0.2÷（10.2+0.2）＝ 104×3×＝6（米） 答：第三次相遇距离B点6米。 （2）60÷0.2＝300（秒） 300－10＝290（秒） 290÷20＝14……10（秒） 0.2×290＝58（米） 58×2＝116（米） 10.2×10＝102（米） 102米＜116米 14×2＋1 ＝28＋1 ＝29（次） 所以，第29次相遇时，乐乐打扫到60米处。 答：它们共相遇了29次。 【名师点评】相遇几次童童和乐乐就行驶几个全程，掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 4．千米/小时 【分析】根据题意，画简单线段图如下： 第一次甲乙两人在D处相遇，相遇时甲走的路程为AD，乙走的路程为BD；甲、丙在E处相遇，此时乙已走到F处；则乙走FC用的时间与丙走EC用的时间相同。据此解答即可。 【详解】1小时45分钟＝1.75小时 乙原来的速度为：105÷1.75－40＝20（千米/小时） 甲、乙两人相遇时甲走的路程：AD＝40×1.75＝70（千米） 3分钟＝0.05小时 甲、丙相遇时甲离A地距离为：40×（1.75＋0.05） ＝40×1.8 ＝72（千米） 甲、丙相遇时甲离乙的距离为：（40＋20）×0.05 ＝60×0.05 ＝3（千米/小时） 甲、丙相遇时乙离A地为：105－20×（1.75＋0.05） ＝105－20×1.8 ＝69（千米） C点离A点的距离为：20×[105÷（20＋20＋2）] ＝20×[105÷42] ＝20×2.5 ＝50（千米） 乙从甲、丙相遇时到C地的时间为：（69－50）÷20 ＝19÷20 ＝0.95（小时） 0.95小时也就是丙追上乙的时间； 而丙追乙走的路程为＝甲、丙相遇时甲离A地距离－C地离A地的距离＝72－50＝22（千米） 丙的车速是：22÷0.95＝（千米/小时） 答：丙的车速是千米/小时。 【名师点评】乙从F到C和丙从E到C用的时间相同。 5．250千米 【分析】由题目可知快车每小时比慢车要多行（）千米，而两辆车第二次相遇时快车一共比慢车多行210千米，由此我们可以求出在第二次相遇时它们一共行了多少小时；由题目已知两车相对开出并往返行驶，因此根据它们行驶方式我们可知，它们第二次相遇时两车一共行驶了3个两地间的路程；可以利用第二次相遇时它们行驶的时间求出1个两地间的路程两车一共花费的时间，最后根据两车的速度求出甲、乙两地间的路程。 【详解】两车的速度差： ＝35（千米）； 到第二次相遇行驶的时间：210÷35＝6（小时）； 1个两地间路程所用的时间：6÷3＝2（小时）； 两地间的路程：2×（） ＝2×125 ＝250（千米）； 答：甲、乙两地间的路程是250千米。 【名师点评】这是一道典型的行程问题，里面包含路程、时间、速度三个量。而这类问题解题的关键及规律有： 同时同地相背而行：路程＝速度和×时间； 同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间； 同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差； 同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间。 6．8550米 【分析】由题干可知，丙先与乙相遇，再过10分钟与甲相遇，所以丙与乙相遇时，丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和：（20＋25）×10＝450（米），而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里，甲、乙所行的路程之差。所以从出发到乙、丙相遇所用的时间为：450÷（22.5－20）＝180（分）。所以，东、西两镇的距离为：（25＋22.5）×180＝8550（米）。 【详解】[（20＋25）×10] ÷（22.5－20） ＝[45×10]÷2.5 ＝450÷2.5 ＝180（分） （25＋22.5）×180 ＝47.5×180 ＝8550（米） 答：两镇相距8550米。 【名师点评】要明确：丙与甲的距离为甲、丙在10分钟内相向而行的路程之和，而这段路程正是从出发到乙、丙相遇这段时间里，甲、乙所行的路程之差；是解答此题的关键。 7．（1）12.5米；（2）50米 【分析】（1）A、B、C、D四点是等距离分布，则每一段的距离是100米。当甲与乙第一次相遇时，甲的路程加乙的路程等于C到B之间的路程也就是3段的路程为300米，时间＝路程÷甲和乙的速度和。得出甲和乙再37.5秒的时候相遇了，这时甲跑了187.5米，甲从C到D之间的距离是两段的距离是200米。距离D点的距离＝200－甲跑的路程。 （2）当第二次相遇时，在第一次相遇的基础上，甲到了D点回头向A跑，乙过了D点继续向A跑，这时乙跑的方向和甲跑的方向一样，这时就是一个追及的过程，甲在后面乙在前面，当甲到了D点时用了40秒，这时乙跑了120米，追及路程＝乙跑的120米－BD之间的距离。追及的时间＝追及的路程÷速度差。这时距离D点的距离就是甲从D点返回时的路程＝追及的时间×甲的速度。 【详解】（1）400÷4＝100（米） 100×3÷（5＋3） ＝300÷8 ＝37.5（秒） 37.5×5＝187.5（米） 2×100－187.5 ＝200－187.5 ＝12.5（米） 答：甲与乙第一次相遇时距离点D12.5米。 （2）100×2÷5 ＝200÷5 ＝40（秒） （40×3－100）÷（5－3） ＝（120－100）÷2 ＝20÷2 ＝10（秒） 10×5＝50（米） 答：甲与乙第二次相遇时距离点D50米。 【名师点评】行程的问题分为两种，一种是相遇，则路程＝相遇的时间×速度和；一种是追及，追及的路程（后面的人与前面人之间的距离）＝相遇的时间×速度差 8．分钟 【分析】在时钟的表盘上，有12个大格，时针走一圈是360°，则每小时时针走一个大格，也就是走30°。一小时＝60分钟，则时针每分钟走0.5°，分针转动一圈是60分钟转了360°，分针每分钟转动6°。 由题意可知，两次相遇都是距离中点160米处相遇，但是第二次是甲在停留的情况下，即甲的速度比乙的速度快。在第一次的相遇的过程中，甲行驶的路程比乙行驶的路程多320米。一小时内两次出现夹角为110°，一定是分针先落后110°，后来又超前110°，分针和时针的路程差是为220°。每一分钟，时针和分针的差是5.5°，220°就是40分钟相差的。多出的40分钟的路程差是320米，即每分钟的路程差，也就是速度差是8米。因为甲的速度为80米/分钟，即乙的速度＝甲的速度－8。 第二次相遇，两人还是在距中点160米处相遇，这时甲走的路程少，对于第一次相遇，甲走的路程是超过中点160米，第二次相遇甲走的路程是少于中点160米，则甲少走的了320米，每分钟是80米，即少走了4分钟。乙则多走了分钟。 甲在途中的停留的时间＝甲少走的时间＋乙多走的时间。 【详解】160×2＝320（米） 220÷（6－0.5） ＝220÷5.5 ＝40（分钟） 320÷40＝8（米） 80－8＝72（米） 320÷80＝4（分钟） 320÷72＝（分钟） 4＋＝（分钟） 答：甲在途中停留了分钟。 【名师点评】钟表的夹角的度数，可以将时针和分针想成一个追及的问题。追及问题中，行驶的路程差＝速度差×时间。 9．7545米 【分析】设AB长度为5k，根据相遇时时间相等列出关系式，解方程，即可求出AB的长度，因为△ABC是一个等边三角形，用AB的长度乘3就可以很容易算出周长. 【详解】甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B：＝①； 当乙、丙第二次相遇是在D时，＝②； 甲走了2012米，则＝③； 由②得：④ 把④代入①可得：⑤ 把⑤代入③可得： ，解得k=503， 所以△ABC的周长是：15k＝503×15=7545（米） 答：△ABC的周长是7545米. 【名师点评】此题解答的关键在于巧设未知数，求出三角形一条边的长度，进而得解. 10．17次 【分析】通过画柳卡图可知，以75分钟为一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次（如下图）： 上午9时到下午4时经过了7小时，也就是420分钟，然后用除法求出420里面有几个75分钟，商是5，余数是45，说明有5个周期，剩下45分钟，45分钟能够相遇2次，据此用5个周期相遇的总次数加上2即可求出相遇的总次数。 【详解】根据分析可知，75分钟一个周期，在这个周期里，两者相遇的次数为3次。 下午4时＝16时 16时－9时＝7小时 7×60＝420（分） 420÷75＝5（周期）……45（分） 45分钟两者相遇2次， 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（次） 答：到当日下午4时，它们一共相遇了17次。 【名师点评】本题考查多次相遇的行程问题，可通过画图理解问题，找到相应的周期。 11．4.2千米 【分析】第一次相遇时小王和小李共走完了1个全程。第二次相遇时，小王和小李共走了3个全程。他们第二次相遇所花的时间是它们第一次相遇所花时间的3倍。小王第一次相遇时走了1.8千米，第二次相遇走了1.8×3＝5.4（千米），小王一共走的路程是1个全程加相遇点到西村的距离，所以两村相距 5.4－1.2＝4.2（千米） 【详解】1.8×3－1.2 ＝5.4－1.2 ＝4.2（千米） 答：东西二村相距4.2千米。 【名师点评】解答此题的关键是能够明确第二次相遇时两人共行了3个路程，以及小王所行的路程包括哪些部分。 12．540km 【分析】根据题意，车速在AB段降为一半，如果不降速的话，那么汽车在AB段所花费的时间可以行驶2个AB的路程，因此，我们假设不降速行驶，延长BA到M（如图），使AM＝AB＝90km；两车在C点第一次相遇，此时两车共同行驶了一个ME，甲车行驶的路程为MC，乙车行驶的路程为CE，又因为C是AE的中点，所以AC＝CE，由此可知第一次相遇时甲车比乙车多行驶的路程为AM＝90km；从第一次相遇到第二次相遇，两车共同行驶了2个ME，甲车比乙车多行驶的路程为BC＝2AM＝2×90＝180km，AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km，因此AE＝2AC＝270×2＝540km。 【详解】假设在AB段不降速行驶，则同一时间行驶的路程是AB的2倍，延长BA至M，使AM＝AB＝90km， 因为C是AE的中点，所以AC＝AE， 第一次相遇于C点，甲车比乙车多行驶AM＝90（km）， 第一次相遇到第二次相遇，甲车比乙车多行驶BC＝90×2＝180（km）， 所以AC＝AB＋BC＝90＋180＝270km， AE＝2AC＝270×2＝540km。 答：AE全长为540km。 【名师点评】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键是将问题转化不降速处理，得出两车第一次相遇的路程差，第二次和第一次相遇点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。 13．540千米 【分析】根据题意，客车和货车的速度比为60∶48＝5∶4，那么，相同时间的路程比也为5∶4；设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份），则第一次相遇，客车和货车共行驶了1个全程，客车行驶了5份，货车行驶了4份；从出发到第二次相遇，客车和货车共行驶了3个全程，客车行驶路程是第一次相遇行驶路程的3倍，即5×3＝15（份），两次相遇相距15－9－4＝2（份），2份对应120千米，由此求出1份的路程是多少，进而求出甲、乙两地的距离。 【详解】解法1： 客、货两车速度比：60∶48＝5∶4 设甲、乙两地的距离为5＋4＝9（份）， 两相遇地的距离所对应份数为： 5×3－9－4 ＝15－9－4 ＝2（份） 甲、乙两地的距离为： 120÷2×9＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离为540千米。 解法2： 如图，设第一次相遇，货车行驶的路程为a，客车比货车多行驶的路程为b，即客车行驶的路程为（a＋b），那么第一次相遇到第二次相遇，客车行驶的路程是第一次相遇路程的2倍，即为2（a＋b）＝2a＋2b，由图可知，两次相遇的距离为2b，即两次相遇地点的距离是第一次相遇两车路程差的2倍。 第一次相遇时间： 120÷2÷（60－48） ＝60÷12 ＝5（小时） 甲、乙两地距离： （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：甲、乙两地的距离为540千米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是画线段图分析出数量关系，可根据比例求解或画图分析出两次相遇地的距离是第一次相遇路程差的2倍，进而根据公式求解：路程差÷速度差＝相遇时间，速度和×相遇时间＝路程。 14．90千米 【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，由甲、乙的速度，可知第一次相遇时，甲、乙的路程比为45∶36＝5∶4，甲行了全程的，乙行了全程的；第二次相遇于C点（如图），甲、乙共行了3个全程，甲行了全程的，乙行了全程的，于是AC为全程的；第三次相遇于D点，甲、乙共行了5个全程，甲行了全程的，即甲走了一个来回又从A地走到D点，易知AD为全程的；CD＝AD－AC，故CD 全程的，由题意知，CD＝40千米，用40千米除以对应分率，即可求出AB。 【详解】在相同时间内甲、乙两车所行路程的比为 45∶36＝5∶4 第一次相遇甲行了全程的，乙行了全程的； 如图，第二次两车相遇于C点， 此时，乙行了全程的，AC为全程的； 第三次相遇于D点，甲、乙共行了2×3－1＝5个全程， 甲行了全程的，AD为全程的； CD为全程的， 所以全程为40÷＝90（千米） 答：A、B相距90千米。 【名师点评】本题考查多次相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点：设全程为s，则第n次相遇所走的路程和为（2n－1）s，每个人所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍。 15．150千米 【分析】根据题意，两人第一次迎面相遇是在C处，甲速度提升一倍，当甲第一次走到D处时，乙恰好第一次走到了C处，由此可知甲提速一倍走到D处所用的时间与提速前走到C处所用的时间相同，所以甲提速一倍后走到D处的路程是提速前走到C处的路程的2倍，因此AD＝2AC＝AC＋CD，所以AC＝CD＝60千米，即第一次相遇时，甲走了60千米；从第一次相遇到第二次相遇，甲走的路程是第一次相遇时走的路程的2倍，为60×2＝120千米，即CD＋2BD＝120千米，所以BD＝（120－60）÷2，进而可求出AB。 【详解】如图，根据题意，甲提速一倍后走到D处所用时间与提速前走到C处所用时间相同， 所以路程也增加一倍，因此AC＝CD＝60千米， 第一次相遇，甲走了60千米， 第一次相遇到第二次相遇，甲走了60×2＝120（千米）， 即CD＋2BD＝120， BD＝（120－60）÷2 ＝60÷2 ＝30（千米） 所以AB＝AC＋CD＋BD＝60＋60＋30＝150（千米） 答：从A地到B地的全程为150千米。 【名师点评】本题考查涉及变速的二次相遇问题，关键理解题意，分析出甲提速一倍后走到D处与提速前走到C出所用时间相同，因此所走路程也增加一倍。 16．30千米 【分析】由于甲的速度是乙的速度的2倍，所以同一时间内，甲走的路程是乙走的路程的2倍。设A、B两地的距离为3份，第一次相遇，甲、乙共走了一个全程，甲走了2份，乙走了1份；从第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走了两个全程，这期间乙走了1×2＝2份，正好到达A地，两次相遇地点相距2份为20千米，1份的路程为20÷2＝10（千米），进而可求出A、B两地的距离。 【详解】如图，设A、B两地的距离为3份，根据题意，第一次相遇在C处，第二次相遇在A地。 A、B两地的距离： 20÷2×3＝30（千米） 答：A、B两地的距离是30千米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是熟知时间相同，路程比等于速度比，根据题意设出份数，画图分析，找出20千米所对应的份数。 17．38.16千米 【分析】第一次相遇在距B地12.8千米处，此时两车共行了1个全程，自行车行了12.8千米，即每共行1个全程自行车就行12.8千米，第二次相遇时，两车共行3个全程，则自行车共行12.8×3＝38.4千米，此时自行车距离A地0.24千米，已知自行车行驶了1个全程多0.24千米，所以让自行车行驶的总路程减去0.24千米，即是AB之间的距离。 【详解】3×12.8－0.24 ＝38.4－0.24 ＝38.16（千米） 答：AB两地间的路程是38.16千米 【名师点评】此题属于两次相遇问题，解题关键是找出第一次相遇和第二次相遇两人共同行驶的路程和各自行驶的路程分别是多少。 18．105千米 【分析】将A、B两地的距离看作单位“1”，相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5，第一次相遇甲、乙共行一个全程，甲行了全程的；往后每相邻两次迎面相遇，甲、乙都共行2个全程，第n次相遇所走的路程和为（2n－1）个全程，甲所走的路程是第一次相遇路程的（2n－1）倍，据此可分别求出第10次相遇和第18次相遇甲所走的路程是几个全程又几分之几，若所走全程个数为奇数，则相遇地点距离B地几分之几；若所走全程个数为偶数，则相遇地点距离A地几分之几，据此分析计算，即可得解。 【详解】相同时间甲、乙的路程比为20∶50＝2∶5， 第一次相遇，甲行了全程的； 第10次迎面相遇，甲、乙共行了2×10－1＝19个全程， 甲行了全程的，此时甲距离B地占全程的； 第18次迎面相遇，甲、乙共行了2×18－1＝35个全程， 甲行了全程的，此时甲在A地； 第10次与第18次迎面相遇的距离占全程的， A、B两地的距离为（千米）。 答：A、B相距105千米。 【名师点评】本题考查多次迎面相遇问题，关键是理解并掌握此类问题的特点。 19．3.74千米 【分析】两个人第一次相遇时共行了1个全程，其中一人行了1.62千米，当他们第二次相遇时两人共行了3个全程，每个人所用时间是第一次相遇所用时间的3倍，则第一次相遇行了1.62千米的人，此时一共行驶了1.62×3＝4.86（千米），是1个全程加第二次相遇点到B地的距离，据此得出全程的距离。 【详解】1.62×3－1.12 ＝4.86－1.12 ＝3.74（千米） 答：AB两地间的路程是3.74千米。 【名师点评】此题属于两次相遇问题，明确第一次相遇两人共行驶1个全程，第二次相遇行驶的是3个全程，通过画线段图能够清楚的看出两人行的路程，方便找出数量关系。 20．120米 【分析】第一次相遇的路程差是相遇地点距中点距离的2倍，所以第一次相遇地距中点距离为80÷2＝40（米），即第一次相遇大宝走了全程的一半多40米，从出发到第二次迎面相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍，即大宝走了全程的1.5倍多40×3＝120（米），由此得解。 【详解】解法1： 第一次相遇距中点距离：80÷2＝40（米） 第二次相遇距中点距离：40×3＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 解法2： 设第一次相遇，小宝走了x米，大宝走了x＋80米， 那么全程为x＋x＋80＝2x＋80米，半程为x＋40米， 从出发到第二次相遇，小宝走了3x米， 则第二次迎面相遇距离中点： x＋40－[3x－（2x＋80）] ＝x＋40－[3x－2x－80] ＝ x＋40－[x－80] ＝ x＋40－x＋80 ＝120（米） 答：第二次迎面相遇地点距离中点120米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是画图分析出第一次相遇点距离中点的距离是两人路程差的一半，或者列代数式进行计算分析。 21．360千米 【分析】由于第二次相遇时，两车共行了3个全程，又甲、乙两车速度比为5∶4，所以第二次相遇时，乙车行了3个全程的，即，即行了一个全程又全程的，第二次相遇时乙车离A地120千米，所以这120千米占全程的，所以全程是千米。 【详解】 ＝360（千米） 答：AB两地路程是360千米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是理解第二次相遇两车行驶的路程是第一次相遇的3倍，然后运用比进行求解。 22．在BC上距离B点处相遇 【分析】假设正方形边长为5a，开始美羊羊和喜羊羊相距10a，喜羊羊的速度是美羊羊的4倍，所以喜羊羊和美羊羊的速度比是4∶1，根据时间相同，速度比等于路程比，可知喜羊羊和美羊羊从出发到第一次相遇行驶的路程比是4∶1，按比分配，可知美羊羊从出发到第一次相遇跑了10a×，也就是2a，两人从第1次相遇到第2次相遇的路程和为正方形的周长，也就是20a，同理用20a×即可求出美羊羊从第1次相遇到第2次相遇行驶的路程，也就是4a，从第2次相遇开始，每次相遇到下一次相遇美羊羊都走了4a，所以第2009次相遇，美羊羊一共跑了2a＋2008×4a，也就是8034a，用8034a÷20a即可求出美羊羊走了几个正方形的周长多多少，商是401，余数是14a，所以第2009次相遇时，美羊羊距离起始点顺时针方向14a处，14a＝5a＋5a＋4a，所以美羊羊在BC上距离C点4a处，也就是距离B点a处，占BC的。 【详解】假设正方形边长为5a， 开始美羊羊和喜羊羊相距2×5a＝10a 喜羊羊和美羊羊的速度比是4∶1 时间相同，喜羊羊和美羊羊从出发到第一次相遇行驶的路程比是4∶1， 美羊羊从出发到第一次相遇跑了： 10a× ＝10a× ＝2a 美羊羊从第1次相遇到第2次相遇行驶的路程： 4×5a× ＝4×5a× ＝20a× ＝4a 从第2次相遇开始，每次相遇到下一次相遇美羊羊都走了4a， 所以第2009次相遇，美羊羊一共跑了： 2a＋2008×4a ＝2a＋8032a ＝8034a 8034a÷20a＝401……14a 14a＝5a＋5a＋4a 所以美羊羊在BC上距离C点4a处，也就是距离B点a处，占BC的。 答：它们第2009次相遇在BC上距离B点处相遇。 【名师点评】本题主要考查了环形多次相遇问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了1个全程。 23．54千米 【分析】此行程问题比较复杂，既有变速问题，又有多次相遇问题。我们可以分开考虑。 由图可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，可以假设甲走了3份时间，因为往返两地总路程不变，速度和时间成反比，返回是去时速度的2倍说明去时用了2份时间，返回用了1份时间；乙的速度没有发生变化，我们可以假设一份时间内乙走的路程是a，可以得出整个行程过程中乙走的路程是3a；再回头考虑丙。根据题意，找出甲乙丙三人的行程与总路程的关系，列方程即可解答。 【详解】解：设甲一共走了3份时间，那么从A地到某地用了2份时间，从某地回到A地一共用1份时间； 根据第一次相遇丙行了30千米，可以计算出丙1份时间的路程：30÷2＝15千米，丙与乙相遇时丙一共行了30＋15＝45千米； 乙一份时间路程是a，那么3份时间内，乙走的路程是3a，故AB两地的距离是（3a＋45）千米； 甲3份时间内走了从A地到某地路程的2倍，所以甲第一次走的路程是：15＋3a； 甲乙两车相遇时，丙又走了40－30＝10千米，说明时间用了：10÷15＝份； 那么第二次相遇时，乙一共走的路程是：2a＋a，甲从某地返回走的路程是×（3a＋15），两项加起来正好是A地到某地的距离，据此等量关系可列方程： 3a＋15＝2a＋a＋×（3a＋15） 化简得 解得， 3a＋45＝3×3＋45＝54（千米） 答：AB两地的距离是54米。 【名师点评】考查了复杂行程问题及列方程解决实际问题的能力。解答行程问题时，最好画出线段图，帮助理解。 24．（1）66秒；（2）4次 【分析】（1）根据时间＝路程÷速度，可知甲跑30米需要（30÷4）秒，也就是7.5秒，乙跑30米需要（30÷6）秒，也就是5秒； 15秒 30秒 45秒 60秒 甲 A—C—A —C—D —C—A —C—D 乙 B—E—B—E D—E—B E—D—C D—E—B 通过观察可知，前60秒不相遇，第60秒后，甲在D点，往E点跑，乙在B点，往E、D点跑，当乙到达B点时，甲还没到E点，所以根据相遇时间＝路程和÷速度和，用DB的长度除以两人的速度和即可求出从第60秒到相遇所花的时间，在加上60秒即可求出第一次相遇时间。 （2）以乙出发时间为起始时间0秒，列出以下表格：（单位：秒） 甲： 6 13.5 21 28.5 36 43.5 51 58.5 66 73.5 81 88.5 A C D C A C D E D C A C 乙： 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 E B E D E B E D C D E B E D C A C D 据此进行分析，由表中可知第 43.5 秒时，甲在 C点，乙从 D往C并在第 45 秒到达 C点，故甲、乙在 CD 间第一次相遇。第 51 秒时，甲从 C到达 D，而第 50 秒就到达D 点往E 点去了，故乙在 CD 间追上甲，甲、乙第二次相遇，第80 秒时，乙从C到达A，而乙需 81秒才到达 A，故乙在 CA 间追上甲，返回 C点时再次与甲相遇，甲、乙在 CA 间相遇两次。乙回到 B点，结束练习。 【详解】（1）根据分析可知，前60秒，甲、乙不相遇，第60秒后，甲在D，乙在B，两人相向而行， 30×2÷（4＋6） ＝30×2÷10 ＝6（秒） 60＋6＝66（秒） 答：如果两人同时开始练习，那么66秒后，甲、乙二人第一次相遇。 （2）由表中可知第 43.5 秒时，甲在 C点，乙从 D往C并在第 45 秒到达 C点，故甲、乙在 CD 间第一次相遇； 第 51 秒时，甲从 C到达 D，而第 50 秒就到达D 点往E 点去了，故乙在 CD 间追上甲，甲、乙第二次相遇； 第80 秒时，乙从C到达A，而乙需 81秒才到达 A，故乙在 CA 间追上甲，返回 C点时再次与甲相遇，甲、乙在 CA 间相遇两次。乙回到 B点，结束练习。 综上，甲、乙共相遇 4次。 答：如果甲比乙提前9秒开始练习，那么两人在练习的过程中一共相遇了4次。 【名师点评】本题考查了多次相遇问题，本题可先求出跑一段需要的时间，再通过时间节点进行列表分析即可。 25．（1）400米； （2）能，成才跑了6000米，许三多跑了3600米 【分析】（1）许三多的速度是成才的，即在第一次相遇在B店的过程中，时间是相等的，则速度比就等式路程比，则许三多的路程是成才的，即成才跑了整个圆（A逆时针到B）的，许三多跑了整个圆（A顺时针到B）。 设许三多的速度是2，成才的速度是3，当成才到了A点时，速度比前一圈提高，以原来的速度为单位“1”，提高了原来的，也就是提高了1，就是4.开始回头，也就是成才跑了一圈了，许三多跑的路程是成才的，许三多还有才能到A点，也就是需要的时间，的时间里面成才用4速度已经跑了全程的，这时许三多的速度提高了，即以原来的速度为单位“1”，就是提高了0.4，加上原来的速度就是2.4.即许三多和成才开始以4和2.5的速度以相遇的形式跑全程的，路程比就是速度比为3∶5.即成才跑了的是，许三多跑了的即（A逆时针B）是。则B到C最短的距离占整个圆分率＝逆时针B的分率－A顺时针C的分率＝。即全程的是190米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 （2）从（1）中可知，这个环形跑道的总长度是400米，AC之间的距离占整个环形跑道的，也就是离起始点A点50米。也就是两个人每两次相遇相遇点会在跑道逆时针前进50米。全程是400米，前进8次就是400米，8次里面每次有2次相遇，则是第16次相遇时两人同时在起点A。每两次相遇的时候成才相当于走了2圈少50米，即每两次走了750米，再×8即可，同理许三多每两个相遇走了一圈带50米，即每两次走了450米，再×8即可。 【详解】（1）设许三多的速度是2，成才的速度是3，全程为单位“1”。 ＝4 2.4∶4＝3∶5 ＝ ＝400（米） 答：这条环形跑道的长度400米。 （2）（米） 400÷50＝8（次） 8×2＝16（次） （400×2－50）×8 ＝（800－50）×8 ＝750×8 ＝6000（米） （400＋50）×8 ＝450×8 ＝3600（米） 答：他们在第16次时回到了出发点A，成才跑了6000米，许三多跑了3600米。 【名师点评】相同的时间里面（相遇问题），速度比＝路程比。 26．48 【分析】客、货两车从出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，所以“路程×3÷速度和＝二次相遇时间”；客车每小时比货车多行驶58－50＝8（千米），根据“路程差＝速度差×相遇时间”，即可得解。 【详解】第二次相遇所用时间： 216×3÷（58＋50） ＝648÷108 ＝6（小时） 两车第二次相遇时，客车比货车多行的路程： （58－50）×6 ＝8×6 ＝48（千米） 答：两车第二次相遇时，客车比货车多行48千米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握第二次相遇时两车共同行驶了3个路程。 27．（1）20秒； （2）4.16米 【分析】（1）比赛场地从起点到插小红旗处为104米，则整个路程是104米。第一次相遇时起点，即第2次相遇时，小兔的速度快，小乌龟的速度慢，小兔跑到起点返回后和小乌龟相遇，则小兔跑的全程＋小乌龟跑的全程＝2个路程。根据时间＝路程÷速度和，则第2次相遇的时间是20秒。 （2）第2次相遇时，以这个起点是时间为开始，小兔从这个相遇点跑的方向是往起点跑，这时的相遇点距离起跑点的位置是小乌龟20秒的路程。则当他们第三次相遇时，小兔和乌龟的路程差就是2个小乌龟20秒的路程，则以20秒为起点，则时间＝路程差÷速度差，也就是0.8秒第三次相遇，加上第二次相遇的20秒，一共就是20.8秒就是第三次相遇。小乌龟一直是一个方向，则距离起点＝小乌龟20.8的路程＝相遇的时间×小乌龟的速度。 三次相遇的路线图如下： 【详解】（1）104×2÷（10.2＋0.2） ＝208÷10.4 ＝20（秒） 答：出发后20秒它们第2次相遇。 （2）20×0.2×2÷（10.2－0.2） ＝8÷10 ＝0.8（秒） （20＋0.8）×0.2 ＝20.8×0.2 ＝4.16（米） 答：它们第3次相遇时距起点有4.16米。 【名师点评】x多次相遇问题用线段图解决更容易理解。 28．B：110米/分；C：35米/分 【分析】A在第一次遇上B后1.5分钟第一次遇上C，再经过2.5分钟第二次遇上B。则A与B跑一圈的时间是1.5＋2.5＝4（分钟），于是可以求出A、B的速度和是1100÷（1.5＋2.5）＝275（米/分）。再根据A的速度与B的速度的比是3∶2，求出A的速度与B的速度。A和C跑一圈的时间是1.5＋2.5＋1.5＝5.5（分钟），这样可以求出A和C的速度和，进而求出C的速度。 【详解】A、B的速度和：1100÷（1.5＋2.5）＝275（米/分） A的速度：275×＝165（米/分）   B的速度：275×＝110（米/分） C的速度：1100÷（1.5＋2.5＋1.5）－165＝35（米/分） 【名师点评】本题考查了按比例分配应用题及简单的行程问题。 29．165千米 【分析】张华的速度是李冰的，以李冰的速度为单位“1”，张华和李冰的速度比则第一次相遇时，张华行驶的路程是李冰的路程的，张华行驶了全程的，也就是这时相遇点距离A点。 李冰的速度比张华的快，当李冰从B地到达A地时，也就是行驶了全程，这时张华才行驶了全程的，还有才能到B地，这时李冰的速度比原来增加了，李冰的速度就是1＋，张华的速度不变还是，则张华的速度就是李冰的，即张华的路程就是李冰的。 当张华到达B地时，也就是张华行驶了，张华的路程就是李冰的，用除法得出李冰又行驶了。 这时，张华的速度比原来增加了，则现在的速度是1。这时张华的速度是李冰的，即张华的路程是李冰的。 第二次相遇时，两个人的之间的路程应该是减去李冰行驶前程的，则是全程的。李冰这时候行驶了的，即，这时李冰距离A地是。 综上所述，第一次相遇点距离A点是，第二次相遇点距离A点，之间相差全程的，正好是35千米，已知一个数的几分之几是多少用除法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 35÷（） （千米） 答：A，B两地相距165千米。 【名师点评】时间是相同的，则速度比＝路程比，换一种说法是张华的速度是李冰的几分之几，张华的路程就是李冰的几分之几。复杂的行程问题，要理清题目中每个人的速度的变化，路程的变化，分析出对应的分率即可。 30．35米 【分析】两人从出发到第一次相遇共走了1个全程，从出发到第二次相遇共走了3个全程，所以第二次相遇所用的时间是第一次相遇所用时间的3倍；根据题意，两人第二次相遇时，李想比朱朱多行了210米，所以，第一次相遇时，李想比朱朱多行了210÷3＝70（米），第一次相遇的路程差是相遇点到中点距离的2倍，据此计算得解。 【详解】210÷3÷2＝35（米） 答：李想、朱朱第一次相遇的地点距离中点35米。 【名师点评】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握：二次相遇路程差÷3＝一次相遇路程差，一次相遇距中点距离×2＝一次相遇路程差，通过画线段图有助于理解题意，本题也可列方程求解。 31．330km 【详解】快车慢车总共花的时间是一样的.快车每小时比慢车多走35千米,多行驶了210千米,说明一共行驶了210÷35=6小时.第二次相遇两辆车一共行驶了3个车站的距离． （100+65）×（210÷35÷3）=330（km） 32．1224千米 【分析】 如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离． 【详解】①从出发到第二次相遇时两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时） ②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时） ③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米） 答：求甲乙两站相距1224千米． 33．12小时 【分析】甲车到达西城后返回与乙车相遇时，两车一共走了2个全程． 【详解】750×2÷（68+57） =1500÷125 =12（小时） 答：两车从出发到相遇一共经过12小时． 34．145千米 【分析】 从图上可以看出，小华和小明两人第一次相遇时，行了一个全程，小华行了85千米．当小华和小明第二次相遇时，共行了3个全程，这时小华共行了3个85千米，如果再加上35千米，相当于小华行了2个全程，甲乙两地全长也就可以求出来了． 【详解】甲乙出发到第二次相遇时，小华共行: 85×3=255（千米） 甲乙两城相距:（ 255+35）÷2=290÷2=145（千米） 答：两城相距145千米． 35．甲车：102千米/小时    乙车：78千米/小时 【详解】经过5小时相遇时,甲乙一共行驶了：300×3=900（千米） 甲车行驶了（900+120）÷2=510（千米） 乙车行驶了900-510=390（千米） 甲车速度：510÷5=102（千米/小时） 乙车速度：390÷5=78（千米/小时） 36．20次 【分析】12分钟=720秒，两人的速度和是3+2=5米，720×5=3600米，也就是两个人一共走了3600米，相当于3600÷90=40个全程．两人相向而行第一次相遇时行了一个全程，之后每两个全程相遇一次，所以，第1个全程相遇1次，后面39个全程相遇19次，总共20次． 【详解】12分钟=720秒 （3+2）×720 =5×720 =3600（米） 3600÷90=40 （40-1）÷2=19……1 19+1=20（次） 答：跑了12分钟共相遇20次． 37．9分钟 【详解】600×3÷（110+90） =1800÷200 =9（分钟） 答：他们第二次相遇时，已经跑了9分钟． 38．150千米 【分析】根据题意可画出线段图： 由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米．两车同时出发同时停止，共行了3个全程．说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米． 【详解】解：（80×3＋60）÷2＝150（千米） 答：A、B两地间的路程是150千米． 39．7500千米 【详解】根据题意得：甲乙的路程比＝3：2，即甲行驶了总路程的；乙行驶了总路程的。 3000÷（2×－2×）＝7500（千米） 答：A、B两地的距离是7500千米。 40．16500米 【分析】小明的速度为50米/分，小华的速度为60米/分，小丽的速度为40米/分． 【详解】解：设小华和小明相遇的时间为x分钟，根据题意列方程 （50+60）×x=(40+60)×(x+15) x=150分 甲乙两地间的距离为：（50+60）×150 =110×150 =16500（米） 答：甲乙两地间的距离是16500米． 41．1000米 【分析】第一次相遇时，李明和王华一共行了1个全程，其中李明行了520米； 第二次相遇时，李明和王华一共行了3个全程，李明行了520×3=1560米；李明实际行了两个全程少440米．可得AB两地的距离为 (1560+440)÷2=1000米． 【详解】(520×3+440)÷2 =(1560+440)÷2 =2000÷2 =1000（米） 答：A、B两地之间距离是1000米． 42．225千米 【分析】快车和慢车第一次相遇后，从一次相会到另一次相会需要行2个全程，已知快车的速度和两次相会间隔行驶的路程，可求出间隔的时间，又已知两车的速度和，可求出两个全程的长度，则甲、乙两地的距离可求． 【详解】（45+30）×（270÷45）÷2 =75×6÷2 =225（千米） 答：A、B两地间的距离是225千米． 43．3小时15分 【分析】画一张示意图： 图中A点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个B点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5分钟后小王与小李相遇，也就是5分钟的时间，小王和小李共同走了B与A之间这段距离，它等于(4.8+10.8)=1.3(千米) 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段距离，需要的时间是1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟）. 这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间. 小李的速度10.8千米/小时是小张速度5.4千米/小时的2倍.因此小李从A到甲地时间及 从乙地到甲地需要的时间均可求． 【详解】(4.8+10.8)=1.3(千米) 1.3÷（5.4-4.8）×60=130（分钟） 130÷2=65（分钟） 130＋65=195（分钟）＝3小时15分 答：小李从乙地到甲地需要3小时15分. 44．160米 【详解】略 45．100千米 【详解】40×3=120（千米） 120-20=100（千米） 答：甲、乙两站之间的距离是100千米． 46．10小时48分 【分析】画一张示意图： 设C点是第一次相遇处.慢车从B到C用了5小时，从C到A用了12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为1个单位.B到C10个单位，C到A15个单位.慢车每小时走2个单位，快车每小时走3个单位. 有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了. 【详解】由分析可知，慢车从C到A，再加停留半小时，共8小时. 此时快车行驶7小时，共行驶3×7=21（单位）. 从B到C再往前一个单位到D点，离A点15-1＝14（单位）. 现在慢车从A，快车从D，同时出发共同行走14单位，相遇所需时间是14÷（2＋3）＝2.8（小时）. 慢车从C到A返回行驶至与快车相遇共用了7.5＋0.5＋2.8＝10.8（小时）. 答：从第一相遇到再相遇共需10小时48分. 47．100米 【分析】甲乙每相遇一次共跑一圈，所以第十次相遇总共跑了：300×10=3000米。因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，时间相同，根据路程比等于速度比即可求出甲、乙分别跑了多少米。最后用甲跑的路程除以300即可求解。 【详解】甲、乙第十次相遇共跑：300×10=3000（米） 甲总共跑：（米） 由于1400÷300=4（圈）……200（米） 则甲还跑：300-200=100（米） 答：甲还跑100米才能回到出发点。 48．62.5厘米 【分析】第一次相遇，两人共同走了一个全长；从第二次相遇到第三次相遇，两人又走了两个全长，从开始到第三次相遇，两人共走了5个全长，5个全长除以速度和求出相遇时间是20×5÷（0.5＋0.3）=125秒，再乘大警卫的速度就是所求． 【详解】解：20×5÷（0.5＋0.3）×0.5 =100÷0.8×0.5 =125×0.5 =62.5（厘米） 答：当他们第三次相遇时，大警卫走了62.5厘米． 49．200千米 【详解】如图,将AB十等分,因甲乙速度之比为3:7,它们第一次相遇时在点,即甲车走了3个单位长,以后甲车每走6个单位就和乙相遇一次. 故两车相遇地点依次是:以10为周 期循环.故第1996次的相遇点为,第1997次相遇点为,是6个单位长,为120千米.故每个单位长120÷6=20(千米),AB相距20×10=200(千米). 50．180千米 【分析】根据题意可画出下面的线段图： 从图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了80千米．两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米． 【详解】解：80×3－60＝180（千米） 答：A、B两地间的路程是180千米． 51．600米 【分析】这是一道“追及又相遇”的问题，通讯员从末尾到排头是追及问题，他与排头所行路程差为队伍长；通讯员从排头返回排尾是相遇问题，他与排尾所行路程和为队伍长．如果设通讯员从末尾到排头用了x秒，那么通讯员从排头返回排尾用了（650-x）秒，于是不难列出方程． 【详解】解：设通讯员从末尾赶到排头用了x秒，依题意得 2.6x-1.4x=2.6（650-x）+1.4（650-x）． 解得x＝500． 推知队伍长为（2.6-1.4）×500=600（米）． 答：队伍长为600米． 【名师点评】在设未知数时，有两种办法：一种是设直接未知数，求什么、设什么；另一种设间接未知数，当直接设未知数不易列出方程时，就设与要求相关的间接未知数．对于较难的应用题，恰当选择未知数，往往可以使列方程变得容易些． 52．5次 【详解】这道题涉及到两个人在3种水流环境中的共计6种速度，所以整个行程过程非常复杂，但如果各个速度之间的关系已知，那么只要知道其中一个速度就可以求得所有的速度，由此可以列出方程． 解:设乙的速度为x米/秒，根据两人的游程距离和速度，可列出方程： 解得：x=3．所以甲的速度为3+1=4(米/秒)． 甲游一圈需要（秒） 乙游一圈需要（秒） 5分钟内，甲游了3圈还多20秒，乙游了2圈还多秒． 多余的时间不够合游一圈，所以两人合游了5圈． 因为每次两人相遇时，他们的游程之和增加了一圈，所以两人共相遇了5次． 53．（1）9300米   （2）甲与丙在10时6分40秒相遇 【详解】（1）从出发到甲、乙相遇，甲比乙多走了620米，又甲比乙每分多走10米，所以从出发到甲、乙相遇共用62分钟．甲从体育场返回学校只走了62-60=2（分钟）就遇到了乙，所以甲的速度为310÷2＝155（米/分），学校到体育场的距离为155米/分×60分＝9300（米）． （2）丙的速度为155－31＝124（米/分），甲和丙相遇需要走两个学校到体育场的路程为：9300×2＝18600（米）．所以相遇时间为：，所以甲与丙在10时6分40秒相遇． 54．9︰7 【详解】因为甲比乙早返回原地，甲的速度比乙快，第二个相遇点D应该比C更靠近A点．由于相关数量未知，首先假设第一次相遇时甲和乙分别行走了x千米和y千米．可得：x+y=24① 由假设可得：第二次相遇时，甲、乙分别行走了3x千米和3y千米，那么甲返回时走了3x-（x+y）=2x-y，第二个相遇点距B点（2x-y）千米，这段距离比y多6千米，所以有：（2x-y）-y=6② 联立①②两个方程能得到：x=13.5，y=10.5，所以两人的速度比为9︰7． 55．2500米 【分析】根据关系式路程=速度×时间，要求出狗走的路程，必须知道速度和所用的时间．狗的速度是每分钟500米，关键求出狗走的时间．由题意知，狗是与人同时行走，直到甲、乙两人相遇，那么狗走的时间与甲、乙两人的相遇时间相等． 【详解】甲、乙两人相遇时，所用的时间：1000÷（120+80）=1000÷200=5（分钟） 也就是说狗在甲、乙两人之间来回跑所用的时间是5分钟，则狗跑的路程是：500×5=2500（米） 答：狗一共跑了2500米． 【名师点评】此题乍看起来很复杂，狗在两人之间跑来跑去似乎存在着多个相遇的问题．但仔细审题会发现在表面上变化的条件中存在着不变的数量和关系，找出它，问题就解决了． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$