精品解析：陕西省西安市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年第一学期陕西省西安市九年级数学期末数学模考训练试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图所示的物体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 6. 如图，点在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ） A. B. C. D. 7. 已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 8. 若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 若，则_________． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 13. 如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．AD＝2，DB＝3，AE＝4，则EC＝________； 14. 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m． 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：2x2+4x﹣3＝0； （2）计算：sin245°+tan60°•cos30°． 17. 如图，已知，，，求的长． 18. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 19. 如图，小明想测量塔CD高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°． （1）求证：AB＝BD； （2）求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号） 20. 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）设P横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期陕西省西安市九年级数学期末数学模考训练试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 如图所示物体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把从正面看到的平面图形画出来即可. 【详解】解：从正面可以看到的平面图形是 故选A 【点睛】本题考查的是三视图，掌握三视图中的主视图是解本题的关键. 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知的正弦为，计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴的正弦值为 故选D． 【点睛】本题考查了正弦．解题的关键在于正确的表示角的正弦． 3. 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏．若随机出手一次，则小华获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小华获胜的情况数，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小华获胜的情况数是3种， ∴小华获胜的概率是：=． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了列表法和树状图法求概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 4. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 5. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴米 ∵ ∴米 ∴米 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据特殊角的正切值进行求解． 6. 如图，点在边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时，又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 已知菱形的对角线，的长度是方程的两个实数根，则此菱形的面积为（ ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数关系得到，再利用菱形的面积等于对角线长乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵，的长度是方程的两个实数根， ∴， ∴菱形的面积． 故选：A 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、菱形的面积等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 8. 若、、三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键． 分别把各点代入反比例函数的解析式，求出，，的值，再比较出其大小即可 【详解】解：∵、、三点都在函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过（　　）秒时与相似． A. 2秒 B. 4秒 C. 或秒 D. 2或4秒 【答案】C 【解析】 【分析】设经过秒时, 与相似,则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即 然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过秒时, 与相似, 则 , 当 时 , 即 解得： 当 时, , 即 解得： 综上所述：经过或秒时,与相似 故选：C 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是准确分析题意列出方程求解． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即． 抛物线与y轴交于正半轴，则． ． 故①正确； ②∵抛物线开口向下， ． ∵抛物线的对称轴为直线， 时，， 而， 即， 故②正确； ③时，， 而 故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当时， 故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于的图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点的决定因素． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解． 【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得，通分得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等式性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为，估计袋中黑球有___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为， ∴摸到白球的概率约为， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球的有个， 故答案为： 13. 如图，已知△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．AD＝2，DB＝3，AE＝4，则EC＝________； 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴EC=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14. 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距_________m． 【答案】200 【解析】 【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°， ∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°， ∴∠ACB=∠BAC， ∴BC=AB=200． 15. 如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在反比例函数与的图象上，点C、D在x轴上，AB、BD分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设A（a，），a＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD，OE，OC，OF，EF，利用三角形的面积公式，即可得答案． 【详解】解：设点A的坐标为（a，），a＞0，则OD=a，OE=， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的横坐标为-， ∴OC=， ∴BE=， ∵AB∥CD， ∴， ∴EF=OE=，OF=OE=， ∴S△BEF=EF•BE=××=， S△ODF=OD•OF=×a×=， ∴S阴影=S△BEF+S△ODF=+=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：2x2+4x﹣3＝0； （2）计算：sin245°+tan60°•cos30°． 【答案】（1），；（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可求解； （2）先根据特殊三角函数值逐个求解，再根据有理数的加法法则计算即可. 【详解】解：（1）解方程：2x2+4x﹣3＝0， 因为a=2，b=4，c=-3， 所以 ， 所以， 所以，； （2）计算：sin245°+tan60°•cos30°， 解：原式=， =， =2. 【点睛】本题主要考查解一元二次方程和含特殊三角函数值的实数运算，解决本题的关键是要熟练掌握解一元二次方程的方法和特殊三角函数值. 17. 如图，已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 18. 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜． 请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】游戏对双方都公平 【解析】 【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解． 【详解】解：所有可能的结果如下： 乙 甲 1 2 3 4 5 1 2 ∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果． ∴P（小冰获胜） P（小雪获胜） ∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜） ∴游戏对双方都公平． 【点睛】本题考查了游戏的公平性，列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 19. 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50米至B处，测得仰角为60°． （1）求证：AB＝BD； （2）求塔高CD．（小明的身高忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2）该塔高为25米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵∠DAB=30°，∠DBC=∠A+∠ADB=60°， ∴∠A=∠ADB=30°， ∴BD=AB； 【小问2详解】 解：∵BD=AB=50米， 在Rt△BCD中，∠C=90°， ∴sin∠DBC=， ∴DC=BD•sin60°=50×=25（米）， 答：该塔高为25米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，要求学生能借助仰角找到直角三角形各边之间的联系，从而求解． 20. 脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y=-2x+160； （2）销售单价定为55元时，该商品每天获得的利润最大，最大利润是1250元 【解析】 【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【小问1详解】 解：设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y=kx+b， 将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得： ， 解得：． ∴函数关系式为y=-2x+160； 【小问2详解】 解：由题意得： w=（x-30）（-2x+160） =-2（x-55）2+1250， ∵-2＜0，抛物线开口向下， ∴当x＜55时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤60， ∴当x=55时，w有最大值，此时w=1250． ∴销售单价定为55元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1250元． 【点睛】本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接，点P为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式和对称轴； （2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值； （3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为，对称轴为直线 （2）当时，的最大值为4 （3）存在，M的坐标是或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，根据抛物线与x轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）先求出直线的表达式，再设点，求出，最后利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，可列方程，求出m的值，即得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以， 则抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ， 故有最大值， 当时，的最大值为4； 【小问3详解】 解：存在，理由： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形， 则， 即，， 解得：， 即点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的交点式，求一次函数的解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质及菱形的性质是解题的关键． 23. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$