4.4角讲义2024-2025学年沪科版数学七年级上册

4.4角 1、角无处不在 平面图形中，多边形的边，相交形成角； 立体图形中，多面体的面，相交形成棱，棱与棱相交形成角。 2、角的画法 确定一个点O，以此为端点有两条射线OA，OB，O与OA、OB组成的图形就是角。其中，点O叫做角的顶点，射线OA，OB叫做角的边，这个角可记作∠AOB，读作“角AOB”。 角的特征：有公共端点，两条射线。 两条射线称为角的边。顶点是两条射线的公共端点。 A O· B O是射线OA、OB的公共端点，经过端点O有两条射线OA，OB；构成上图：∠AOB。 O是顶点，OA、OB是∠AOB的边。∠AOB读作“角AOB”。 3、角的表示方法 1 a 图1 图2 第一种方法： 用一个数字表示，如图1，记为∠1，适用于有弧线和数字的角。 第二种方法： 用一个希腊字母表示，如图2，记为∠a，适用于有弧线和小写希腊字母的角。 第三种方法： 用一个大写字母表示，如图3，记为∠O，适用于顶点处只有一个角的角。 第四种方法： 用三个大写字母表示，如图4，记为∠AOB或∠BOA，适用于任何角。 B终边 O O A始边 图3 图4 ∠AOB也可以看成是射线OA绕着端点O旋转到OB的位置后形成的图形。射线OA，OB分别叫做这个角的始边和终边。 4、角的度量 ①角的度量单位是“度、分、秒”。 a O ˆ A 射线OA绕着端点O逆时针旋转，回到OA的位置，这样形成的角，叫做周角。 周角360度。 把一个周角360等分，每一等份是1度的角，1度记作1°； 把1°的角60等分，每一等份是1分的角，1分记作1ʹ； 把1ʹ的角60等分，每一等份是1秒的角，1秒记作1ʺ。 即 1°= 60ʹ ，1ʹ = 60ʺ . 例1 计算： （1） 用度、分、秒表示30.26°； （2） 42°18 ʹ 15 ʺ等于多少度？ 解 （1）因为0.26° = 60ʹ×0.26 =15.6ʹ 0.6ʹ = 60ʺ×0.6 =36ʺ 所以30.26°= 30°15ʹ36ʺ （2）因为15ʺ=×5 =0.25ʹ 18.25ʹ=×18.25 ≈0.304° 所以42°18ʹ15ʺ≈42.305° ②角的度量工具：量角器 用量角器量角的方法： ①对准中心——角的顶点对准量角器的中心； ②重合——角的一边与量角器的零线重合； ③读数——读出角的另一边所对应的度数。 CB A ∠ABC = 70° 5、角的类型 类型 锐角 直角 钝角 平角 周角 图形 a £ a a a · a 范围 0<a<90° a = 90° 90°<a<180° a = 180° a=360° 6、角的数值转换 角的度量单位是度、分、秒，决定了角在计量中尽可能不用小数。当出现小数时，怎样把它转换成用角的计量单位计量，或者把用角的计量单位计量的值转化成小数值呢？ 加减法：同等级的数加减，不够借位或满60进位。 乘除法：按分配律。有余数时，余数换为下一位计算。 例2 计算（1）25°23ʹ17ʺ + 46°53ʹ43ʺ （2）75°23ʹ12ʺ—46°53ʹ43ʺ 解 （1）25°23ʹ17ʺ + 46°53ʹ43ʺ =（25°+46°）+（23ʹ+53ʹ）+(（17ʺ+43ʺ） =71°+76ʹ+60ʺ （满60进位） =72°17ʹ 所以 25°23ʹ17ʺ + 46°53ʹ43ʺ=72°17ʹ （2）75°23ʹ12ʺ—46°53ʹ43ʺ =（74°-46°）+（82ʹ - 53ʹ）+（72ʺ-43ʺ）（不够借位） =28°29ʹ29ʺ 所以 75°23ʹ12ʺ—46°53ʹ43ʺ =28°29ʹ29ʺ 例3 计算：（1）19°20ʹ24ʺ×4 （2）134°22ʹ÷3 解 （1）19°20ʹ24ʺ×4 =19°×4 + 20ʹ×4 + 24ʺ×4（分配律） =76°+ 80ʹ + 96ʺ =77°21ʹ36ʺ （满60进位） （2）134°22ʹ÷3 =134°÷3 + 22ʹ ÷ 3 （分配律） =44°+2°÷ 3 + 22ʹ÷3 =44°+ 120ʹ ÷ 3 + 7ʹ+ 60ʺ ÷ 3 =44°+40ʹ+7ʹ+20ʺ =44°47ʹ20ʺ 练习： 一、填空 1. 如图，射线，分别为正北、正东方向，，则射线的方向是北偏东_________ 2. 时分时，钟表上时针与分针间的夹角为          角时时，时针与分针间的夹角为          角时分时，时针与分针间的夹角为          角填“锐”“直”或“钝”． 3. 已知锐角，钝角，赵，钱，孙，李四位同学分别计算的结果，得结果为，，，，其中只有一人答案是正确的，这个正确的答案是          ． 4. “双减”政策后，我区各校均开展了“课后延时服务”某天，王同学午餐后，从中午点开始到点之间在教室阅读，读完后，他看到教室里挂钟的时针与分针的夹角为，则他今天阅读了          分钟． 5. 如图，当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；当过点画不重合的条射线时，共组成个角；，根据以上规律，当过点画不重合的条射线时，共组成角的个数是______． 6.已知和是共顶点的两个角，的边始终在的内部，并且的边把分为：的两个角，若，，则的度数是          ． 二、计算 7. 30°19ʹ21ʺ+15°40ʹ42ʺ ； 8. 90° - 68°17ʹ50ʺ ； 9. 52°22ʹ ×9 ； 10. 178°÷5（精确到1ʹ）。 参考答案： 1、54°45ʹ 2、锐角、直角、钝角 3、51.5° 4、设x分钟后，时分夹角是140度。 时针时间与度数之间关系：1小时30度，n分钟后与12点夹角0 度； 分针时间与度数之间关系：5分钟30度，n分钟后与12点夹角0度； n小于30分时，0 - 0=140 ① n大于30分时，360 - 0+ 0 =140 ② 解得①n= ②n= 40 5、 ,45 6、70° 学科网（北京）股份有限公司 $$