零点定理 基础练-2025届高考数学一轮复习

零点定理 一、单选题 1．已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若b是a与c的等比中项，则的零点个数为（    ） A．0 B．0或1 C．2 D．0或1或2 5．若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值集合为（    ） A． B．或. C． D．或. 6．已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．用二分法求函数的一个零点，根据参考数据，可得函数的一个零点的近似解(精确到0.1)为（    ） (参考数据：，，) A．2.4 B．2.5 C．2.6 D．2.56 二、多选题 9．已知函数的所有零点从小到大依次记为，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ） A．－1 B．2 C．3 D．4 11．（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 12．已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．2 三、填空题 13．已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为 ． 14．函数的所有零点之和为 . 15．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是 ． 16．已知函数的零点为，函数的零点为，则 ． 17．已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 18．已知函数． (1)求及函数的定义域； (2)求函数的零点． 19．已函数，其图象的对称中心为. (1)求的值； (2)判断函数的零点个数. 20．已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且，记. (1)求的最小值； (2)解关于的不等式； (3)设，若的图象与的图象有2个交点，求的取值范围. 参考答案： 1．D 因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则． 2．C 由于均为增函数， 所以为定义域上的增函数， , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 3．D 若函数在区间上存在零点， 由函数在的图象连续不断，且为增函数， 则根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是. 4．A 由b是a与c的等比中项，得，， 方程的判别式，因此方程无实根， 所以的零点个数为0. 5．D 由函数， 若，可得，令，即，解得，符合题意； 若，令，即，可得， 当时，即，解得，此时，解得，符合题意； 当时，即且，则满足， 解得且， 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 若，可得，令，即， 解得或，其中，符合题意； 综上可得，实数的取值范围为或. 6．D 因为，即， 由题意可知：为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 为与的交点横坐标； 在同一平面直角坐标系中作出的图象，    由图可得：. 7．C 作出函数的图象如图， 不妨设，则有三个不同的根，则， 当时，，得，则， 当时，，，则， 设（），则， 所以在上单调递增， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 8．C 由题意得 因为函数在上连续，所以函数在上有零点， 9．AC 令， 在同一直角坐标系，画出两个函数图象如下图所示： 由图可知共有20个交点，故，则A正确，B错误； 又函数的图象都关于对称，则， 故，则C正确，错误， 10．ABC ，设 则在上， 与有相同的零点. 故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点 当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增. 所以，显然在区间内没有零点. 当时, 令，得，令，得 所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增. 所以 设，则 所以在上单调递减,且 所以存在，使得 要使得在区间内没有零点，则 所以 综上所述，满足条件的的范围是 由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意. 11．BC 由题意可知， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得， 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC. 12．BC 由题意可知： 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得： 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 不论与的大小关系，则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC.    13． 由题意知函数在区间上有且仅有一个零点， 故函数的最小正周期, 又，则，而， 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上无零点，不合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 当时，即时，，此时函数在上有一零点，符合题意； 当时，即时，需有，即，此时； 综合上述，得的取值范围为， 故答案为： 14． 由，可得，令， 可得函数与的图象都关于直线的对称， 在同一坐标系内作出函数与的图象，如图所示， 由图象可得，函数与的图象有6个公共点， 其横坐标依次为， 这6个点两两关于直线的对称，所以， 所以， 即函数的所有零点之和为. 故答案为：. 15． 画出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的解，，，，且， 由时，，则与的中点横坐标为，即：， 当时，由于在上是减函数，在上是增函数， 又因为，，则，有， ，又，， 在上递增，故取值范围是． 故答案为：. 16．2 由，得， 函数与互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数，，的图象， 如图所示，则，，由反函数性质知A，B关于对称， 则，. 故答案为：. 17． 设， 当时，，； 当时，，； 当时，，. 综上可得，. 函数的定义域为， 由复合函数单调性可知函数单调递增. 又， 作出的图象如图所示    由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点， 即有两个零点， 所以的取值范围是. 故答案为：. 18．(1)，定义域为 (2) （1）依题意， 所以，由得， 解得，所以的定义域为. （2）， 则，所以的定义域为， 令得， 所以，，则. 19．(1) (2)答案见解析 （1）因为函数的图象关于点中心对称，故为奇函数， 从而有，即， ， ， 所以，解得， 所以； （2）由（1）可知，，，， ①当时，，，所以在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ②当时，，， 有两个正根，不妨设，则， 函数在单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有一个零点； ③当时，， 令，解得或， 有两个零点； ④当时，，， 有一个正根和一个负根，不妨设， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 函数有且仅有三个零点； 综上，当时，函数有三个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数有一个零点. 20．(1)1 (2) (3) （1）由题意知，， 由，得，即， 两式相加，得，所以. 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以. （2）因为，所以为偶函数， 因为， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 两边平方并整理得，解得， 故不等式的解集为. （3）由题意知，方程有2个不同的实数解， 即方程有2个不同的实数解. 设，则，即有2个不同的正根. ，解得，故的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$