3.2.1 双曲线的标准方程-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.2双曲线 第1课时双曲线的标准方程 第1关练速度 5mn为准，你的时间： A.当1<1<5且t≠3时，曲线C是椭圆 1.(2024·吉林长春高二期中)已知动点M(x, B.当>5或t<1时，曲线C是双曲线 y)满足(x+2)+y-√(x-2)2+y2=4,则动 C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则3< 点M的轨迹是 ( ) 1<5 A.射线 B.直线 D.若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则t<1 C.椭圆 D.双曲线的一支 6.(多选)(2024·广东潮州高二月考)在平面直 2.(2024·黑龙江哈尔滨师大附中高二期中)双 角坐标系x0y中，A,B为圆0：x2+y2=4与 曲线)y=1的焦点坐标为 ( x轴的交点，点P为该平面内异于A,B的动 点，且直线AP与直线BP的斜率之积为m,设 A.(±1,0) B.(±√3,0) 动点P的轨迹为曲线C,则下列说法正确的是 C.(±5,0) D.(±5,0) () 3.(2024·天津百中高二期中)与椭圆C:25 A.若m=则曲线C的方程为+=1 。1共焦点且过点P(2,2)的双曲线的标 准方程为 ( B.若m=4则曲线C的离心率为5 A “1671 B. 631 C.若m=4,则庙线C有渐近线，且渐近线方 C3al D. =1 916 程为y=±2 4.已知F是双曲线C:c1的右焦点，P是 D.若m=,3,O),过原点的直线1与曲 C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是 (1,3),则△APF的面积为 线C交于M,N两点，则△FMN面积最大 写 值为3 6.2 7.(2024·吉林长春外国语学校高二月考)P是 2 C.3 3 D. 2 双曲线=1的右支上一点，M,N分别是 916 5.(多选)(2024·江苏盐城高二期中)已知方程 圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点，则 x2.y2 5十白1表示的曲线为C,则下列四个结 PM-PN的最大值为 () 论中正确的是 () A.6 B.7 C.8 D.9 第3章学霸045 8.(2024·湖南张家界高二月考)双曲线 14.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的 4 距离之比为2：1，则称此双曲线存在“ 161的焦点为F5,点P在双曲线上，若 点”，下列双曲线中存在“L点”的是() PF,=4,则PF2= =1 4 9 9.已知双曲线=1的一个焦点是(0,2)， m 3m C. 51 椭圆￡=1的焦距等于4，则n 15.(2024·河北石家庄一中高二期末)已知 n m 10.如图.已知双曲线以长方 ,5为双曲线C:=1(a>0.b>0)的 形ABCD的顶点A,B为左、 左、右焦点，点A在C上，若1F,AI=21F2A1, 右焦点，且过C,D两顶点 ∠AF,F2=30°，△AF,F2的面积为63，则C 若AB=4,BC=3,则此双曲 的方程为 线的标准方程为 1已知双线C号云-1(a>0,60)的左有 号名1 B 361 焦点分别为F,F,点M与双曲线C的焦点 c号1 D. 63=1 不重合，点M关于F,F2的对称点分别 16.(多选)(2024·江西上饶一中高二月考)已 为A,B,线段MN的中点在双曲线的右支上， 知点P在双曲线C:6,=1上，B,上分别 若AN-BN=12,则a= 是双曲线C的左、右焦点，若△PF,F,的面 第2关练准确率 8题为准，你做对 积为20，则 () A.PF-PF2=8 12.(2024·山东潍坊高二月考)已知双曲线C B.PF+PF:=3 0 的焦点为F,(-2,0),F(2,0),点A在双曲 线C上，且关于原点O的对称点为B,AB= C.点P到x轴的距离为4 F,F2,四边形AF,BF,的面积为6，则双曲线 C的方程为 ( D∠FPR:号 e, B. 17.已知圆x2+y2-4x-9=0与y轴的两个交 31 点A,B都在某双曲线上，且A,B两点恰好将 C.x2-y2=2 此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准 方程为 13.(2024·江苏盐城高二月考)与圆x2+y2= 18.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点，P是 1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的 8 圆心在 双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为 A.一个椭圆上 B.一个圆上 (0,66),则△APF的周长最小 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 为 ,此时其面积为 选择性必修第一册·SJ学霸046 19.（2024·江苏连云港高二期中)若双曲线G: 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆合☆女☆ -- 。2F1上一点D(2,3)到左右焦点的距 x 21.(2024·河南洛阳高二期末)已知P为双曲 离之差的绝对值为2. 线=1左支上一点，F,F,分别为双曲 45 (1)求双曲线C的方程： 线的左、右焦点，N为△PF,F2的内心 (2)设F,F2是双曲线的左、右焦点，点P是 若SAP5,=SAr+23,则点N到焦点F,的 双曲线上的点，若PF+PF:=6,求 距离是 () △PFF,的面积 A.1 B.2 C.3 D.5 2(2024·江苏南通高二期中)已知椭圆 3=1的左右顶点为A,A,与y轴平行的 直线交椭圆于两点P,P2,直线A,P,与直 线A,P,的交点为P (1)求点P的轨迹方程； (2)若曲线T上的点Q满足∠A,QA2=30°， 求△A,QA2的面积 20.(2024·江苏南通高二月考)双曲线C经 过A(43).B5,-2)两点过点D(3.0) 的直线1，与双曲线C交于P,Q,过点D(3, 0)的直线l2与直线x=1相交于点S且 l1⊥l2 (1)求双曲线C的方程： (2)若Pm-之6sD,求直线，的斜率 第3章学霸047为期之(5F*%) FiF+PF+PF2=3 -=3 1 FF 2 ·F,F2·r ()[】 Pf,+PF=22元 一2一。了圆的离心*为 了故选A ,因为桶圆G上所有点相应的 24.(1)证明：由题意切线的斜率存在，设切线方程为y=红+3，联立 ()=+3. 曲率半径的最大值是最小值的22倍，故 a -=2/2， ,即a -L.消y得(5+4)2+30u+25=0,则4=9002 ,所以椭圆离心率为=，√（）放答案 100(5+4)=4002-400=0.所以1h=-1,即点，·42=-1，所以 12 21.解1)如周，设动惯P的半径为，依感意得侧所以 (⊙解，设Pm小.周=9.由腾G号子1得长半轴 长为5，短半轴长为2，当过点P的一条切线斜率不存在时.不妨 PM+PN=12为定值，且12>MN=6,所以动点P的轨迹G是 取这条切线方程为x=5.此时m=5,则(5)2+m2=9.解得n 以M,N为焦点，长轴长为12的椭圆，2a=12,2e=6.所以a=6,e ±2，而直线y=±2与椭圆C相切，所以当过点P的一条切线斜率 3,所以62=a2-2=36-9=27,所以桶圆C的方程为 不存在时，41⊥与： 3627 =1, 当过点P的切线斜率存在时，则m≠±√5，设切线方程为y-n 3 -n=k(x-m), (2)假设存在过点Q(,2)的直线 k(x-m）.联立22 交曲线C于A,B两点，使得Q为AB中 {行号=1，消，得(5+4)2+10(a-ax 点，设A(1,方)，B(,2),则 5(m-km)2-20=0,则4=100贴2(n-km)2-20(52+4)[(n-km)2- 4-12 式相诚得疗号 =1。 3627 41=0.化简得(5-m2)2+2加mk+4-2=0,所以-m 36 4-(9-m2)m2-5 36271, 5m25-m-1,所以412 3 2×1 综上所述，111h2,所以线段AB为圆0的直径，所以AB=6 36y1+2 4 3 2* 3.2双曲线 31 第1课时双曲线的标准方程 2,由点斜式得直线B的方程为)之之一)，即+2 第1关（练境度） 4:0所以行在过点Q(,号)的直线交曲线C于A,B两点，使 1.A解析：设F,(-2,0),F2(2,0),由题意知动点M满足MF, MF,=4=F,F,故动点M的轨迹是射线故选A 得Q为AB中点，且该直线方程为x+2y-4=0. b=3. 2B解折：由题意双简线方程为号y2=1.易知心=2，心=1，c 4 (a=5. 22解：(1)根据题意得{e=- 了，解得b=3,所以椭圆的方程为 √+a=3,因为双曲线焦点在x轴上，故焦点坐标为（±3,0）， a c=4, 故选B. a2=b2+c2, x22 3.C解析：因为椭圆C的焦点坐标为（±√/25-16,0），即（±3,0），所 2591 以c=3,i记F,(-3,0),F2(3,0),所以1PF1-PF1=125+2- /1+21=25=2a,所以a=3.所以6=√e2-a2=v6,所以双曲线 (2)设（名，y,）,N(2,),取MN中点记为P,则P 2 的标准方程为号 -=1.故选C 1x2y2 ）联立259l得(9+25)2+150=0，因为4>0. 4.D解析：由c2=a2+b2=4,得e=2.所以F(2,0),将x=2代人x2 2 y=kx+3. 人 =1,得y=士3，所以PF=3义点A的坐标是(1,3).故△4PF的 -150k1+x2 -75ky1+y 所以k≠0，则1+3= 9+25k22 9+25k22 1 面积为 3 ×3×(2-1)= 2,放选Dn k点+3+k2+327 (5->0 2 9+25因为M=AN,P为N中点，所以 5.AB解析：①D若曲线C是椭圆，则需{-1>0.→1∈(1,5)且t≠3 AP1MN,即w·x=-1因为A(0,-3),所以k=8+25 -25，所 (5-1≠1-1 故A正确：且当5->1-1>0曰1<<3时.该椭圆表示焦点在x轴上。 故C错误：②若线C是双曲线，则需(5-4)(-1)<0→>5或< 以k·kn= 8+252 ·k=-1.解得k=士 7 5 (满足4>0).所以直 -25k 1,故B正确： 线1的方程为)产±了+3， 且当仁8时，即>5时，该双曲线焦点在y销上，放D错视故 选AB 第3关（练思维宽度） 23.A解析：如图，，0是F,F,的中点， 点G是△PF,F,的重心，∴P,G,0三 60D解折：令Pd(-2.0,B2.0).则ku 点共线，延长P交x轴于点Q,则由1G PI PG 2,则 且≠2，A选项：65m=-1 平行于x轴知，0c 44,理得 +2=1且x≠ =3 ±2.错误：B选项：kkm= 21 4=1且x≠±2 5△5.3.设△PF,F:内切圆的半径 4整理得 SaWV2 所以2.61，=5，故离心率为正确：C选项：由B选项分 参考答案学霸27 析知，双曲线C的渐近线方程为y=士之*，正确：D选项：由A选项 、《(x-542=4,与双尚线方程2=1联立可得52-25x- 分析知，F(3.0)为椭圆C的右焦点，设直线1：x=y,联立椭圆可 3=0,其判别式4=20+60=80>0，故存在“L点”.面B,C,D选项 不存在“L点”，故选A 得(2+4)y2-4=0,则yw+yx=0,x= 4 所以MN=1+· 2+4 15.B解析：因为1F,41=21F,A1,所以 1F,A1>1F,A1,又因为点A在双曲线C √yr+yy)-4ynm=4 √+P,F到直线：x=y的距离d: 1+ 上，所以1F,A1-1F,A1=2a,即21F,41 1F2A1=2a,所以1F2A1=24,1F,A1= 3 4和，在△AF,F:中，由正弦定理得 IAFI LAFI 为w3,正确故选BCD. in∠AF,F2sin∠AFF 7D解折：易得双确线号后=1的熊点分别为5-50.56 IAF Isin 30 所以in∠AF2F,= =1.又0°<∠AF2F,<180°，所以 IAFI 0),且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M,F 三点共线以及P与N,F,三点共线时所求的值最大，此时PM一 ∠AF,F=90,放∠FA5=60,则Sa4=21Af,1IHF,1· PW=(PF,+2)-(PF2-1)=6+3=9 in60°=23a2=63,所以a2=3,则1F,F212=(2c)2=14f,2 820解析：由二 的64161，得2=64,2=16，得a=8,6=4,因为 1AF212=16a2-4a2=12a2=36,所以c2=9,所以b=e2-a2=6.所 1PF,-PF31=2a=16,PF,=4,所以4-PF2=16或4-PF2=-16,解 以双线C的方程为号。1故法机 得PF2=-12(舍去).或PF2=20.故答案为20. 16.BC解析：由已知得双曲线的实半轴长为a=4,半轴长为b=3, 9.5解析：因为双曲线的一个焦点是(0,2)，所以双曲线的标准方程 则右焦点的横坐标为c=√+b2=5,由双曲线的定义可知， 是之子=1.即2-3m,62=-m,c2=-4m=4,即m=-1,所以椭 -3m-m 1PF,-PF21=2a=8,故A错误：设点P(np),则Sam2=2 圆的方程是父=1.因为椭圆的焦距20=4，所以2：4，即-1 2clyel = 2×10x1p1=20,所以yr1=4,故C正确：由双曲线的 4或1-n=4,解得n=5或n=-3(会去). 了餐新：设双商线的标准方程为号千=1(0>0,60 10.x2 对称，不坊取点P的坐标为(94）得P阳 由题意，得B(2,0).C(2,3) 合1.解用仁双成的标准方为 4=a2+b2, √（四-54=号由双线的定义，得所，=所，a 3 31 8、3 371350 所以PF+PR=+了，放B正确：由余装定理， 11.3解析：如图，设MN的中点为PF,为MA的中点，F,为MB 的中点，.AN=2PF,BN=2PF2·又AN-BN=12,∴PF,-PF3=6= 得es∠F,PF2= +P-f_319e】, 2P明·P:481产2，所以∠F,PR 3 2..u=3. 故D错误故选BC 172x 921解析：由圆的方程2+y2-4-9=0知，与y轴的交点 坐标为(0.3)，(0，-3).·圆与￥轴的两个交点A,B都在某双曲 线上，∴双曲线的焦点在y轴上，且？=3又：A,B两点恰好将此 双曲线的焦距三等分，∴，心=9，即有b2=72.∴.此双曲线的标准方 972=1 (第11题)】 (第12题) 18.32126解析：设双曲线的左焦点为 第2关（练准痛率） 12.B解析：由原点0分别为AB和F,F,的中点，得四边形AF,BF 为平行四边形，又AB=F,F2,则四边形AF,BF2为矩形，由四边 ,曲双曲线方程2-号1，可知。 1.e=3.故F(3.0).F(-3.0).当点P在 形AF,BF2的面积为6，得AF,·AF2=6.再结合AF+AF房=F,码 双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 16及双曲线的定义.得AF,-AF2=2,即4a2=A+A- PF-PF,=2,所以PF=PF,+2.从面△APF 2AF,·AF2=16-12=4,即a2=1,所以b2=c2-a2=3,故双曲线C 的周长为AP+PF+AF=AP+PF,+2+AF.因 的方程为子 子=1放注 为AF=/32+(66)=15为定值，所以 易错提醒 当AP+PF,最小时，△APF的周长最小由图可知，此时点P为线 段AF,与双曲线的交点，则△APF的周长为AP+PF+2+AF= PF,-PF3=2a(2a<F,F,)或PF2-PF,=2a(2n<F,F2)却只能表示 /A0+0F+2+15=32.由题意可知直线AF,的方程为y=26x+ 双曲线的一支.只有PF,-PF21=2:(2a<F,F2》才能表示双曲线的 y=26x+66, 两支 66.由 2 81 消去x,得，2+66y-96=0,解得y=26或 13.D解析：由x2+y2-8x+12=0.得(x-4)2+ y2=4.画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4 的图象如图，设圆P的半径为「，：圆P -86(合去).所以Sar=5ar一Sam=子x6x66-子 与圆0和圆M都外切，∴，P1=r+2,PO 6×26=126.故答案为32.126. r+1,则P1-PO=1<4,∴根据双曲线定义 19.解：(I)令F,F2分别是左右焦点，则1DF:-DF21=2a=2,得a= 知点P在以0.M为焦点的双曲线的左支 上.故选D 1,双线的方程为-卡=1，将点25)代人上式得4 14A解折：若双曲线的方程为-子1，则。=1c=5,不妨设 京1心6=1,2=02+2=2，c=2,双曲线的标准方程为2 PF,=2PF3,则由双曲线的定义可得PF,-PF2=PF2=2a=2,即 y2=1 选择性必修第一田·SJ学霸28 (2)不妨设点P在第一象限，由双曲线的几何性质知PF,-PF2= 2供 2)②.直线AP的方程为。2(-2)③.2×③得2 x2-4),由①得 后3 在△PF,F2中，F,2=22,设PF,与PF,的夹角为8，由余弦定 理得cs0= PF-FF3. 4-x0 2PF,·PF2 4m0= 4,S6Pe3= ±2，故点P的轨迹方程r为了1，士2 fP0=42x 20.解：(1)设双曲线方程为m2-2=1.代人A(4,5).B5 16m-3n=1, 1 )可得 1 解得m=年·所以双曲线的方程为 5m-4=l =1 (2)若直线4，的斜*不存在时，则PQ=5,S0=2,不符合PQ= (2)如图2.设0pg.p>2则号号=1.即=3（号）月 v. 设A1Q=m,42Q=m,m2+m2=(p+2)2+g2+(p-2)2+g2=2p2+2g2+ 所以直线的斜率存在，如图，设直线 82+2x3(-1小8=7 2 +2,mm=√(p+2)2+g: 11y=k(x-3)(k≠0)，P(x1,1),Q(1 y=k(x-3), 0r22(-2( ),联立方程x己 (4y2=1 消去y得 (42-1)x2-242x+36k2+4=0,则1 √)-)√(T）-际 4k20且4=(-2462)2-4(462- 在△41Q42中，A,A2=4,∠A,QA2=30°，由余弦定理得16=n2+ 1)(36k2+4)=16(5k2+1)>0,可 242 a2-2mmms30,即16-2 +2-· x1+42- 5·5364 2 42-1 /2w)436+4.41+Ex lpl>2,p2>4,2 :花-14>0上式两边平方整理得49p一 则PQ=√I+ 42-1 462-1 1462-11 968p2+3088=0.4=(-968)2-4×49×3088=331776=5762. 又因为2：= ∴p2=968-576 2×49 =4(舍去)或.968+576.72. 2×49 49,六mm= 2+ 由题意可知m-25n即4v √5R+126 142-113 27648965 2F整理得(2-1)(172-2)=0，解得k=1或k=±7 34 V49 7△A,01,的面积5a4e,=2mmsm30= 且=1或±均符合1-40且>0，所以直线的斜 1965、1243 727 34 率k=士1或k=士7 第2课时双曲线的几何性质 第1关（妹逸度） 第3关（练思维宽度） 1.B解析：由已知得左焦点的坐标为(-5,0)，右顶点的坐标为(3 21.B解析：由题意知，a2=4,b2=5,所以 0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8故选B. a=2,b=5,c=√a+b=4+5=3, 义由双曲线的定义可知1PF,I- 2B解析：双曲线方程2-8y2=32化为标准方程为。 32年=1，可 IPF,1=2a=4.设△PF,F2的内切圆 得a=42,b=2,所以双曲线的实轴长为8、2，虚轴长为4.故选B. 的半径为R,因为S△P听，=Sa,+ 25,所以号R,RPF,R 3D解析：若双曲线焦点在x轴上，则一条渐近线为了=名 25.所以2(1PF,1-1PF,)R=25, 、3x一=3所以三√1+(2/、5 4b4 子；若双曲线焦点在y轴 5 上，则一条渐近线为y=“ 4 4 所以2R=23,所以R=√3，设圆N与△PF,F2的三边PF,PF, 号=分所以e F,F2分别相切于A,B.GC三点，连接AN,BN,(CN,如图所示 由内切圆的性质可得PAI=|PB1,IF,B1=IF,CI.|F,AI=1F,C1 4 ,所以双商线C的离心率为子或号故法D 5 因为IPF2I-IPF,=4,所以1FB1+IPB1-(1PA+1F,AI)=4,即 易错提醒 1F,C-1F,C1=4,由IF,CI+|F,C1=1F,F,I=2=6,所以IF,CI=1, FC1=5,因为INCI=R=√3，NC⊥F,C.所以INF,I= 双曲战的带近线并不能扇定焦点位置，需要进行分类讨论 1F,C2+INC2=2.即点N到焦点F,的距离是2.故选B 22解：(1)如图①，A(-2.0).A,(2,0),设P(xy).P,(0o).则 4.BC 解析：由双尚线C,。上=1且m>0.则实轴长为2a=22,A 2 m P以6.月号1①.直线4的方程为y。 选项错：由新近线为y=√受，若相互垂直，则受1→m=2。 m 参考答案学霸29