3.1 椭圆 强化训练-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

3.1强化训练 第门关练速度5m的为准，你的时间： 5.(2024·江苏南通高二期中)已知点P为椭圆 1.(2024·江苏淮安高二期中)已知椭圆的中心 4少=1上的一个动点，点F,5分别为该椭 在原点，焦点在x轴上，焦距为2，长轴长是短 圆的左、右焦点，当∠FPR,=时，则 轴长的√2倍，则该椭圆的标准方程为() △F,F,P的面积为 2y2=1 A.1 B.2 C.3 D.4 c到 D.2 +x2=1 6.(2024·安能安庆高二月考)已知椭圆亡 1(a>b>0)上存在点P,使得PF,=3PF2,其中 2.(2024·山东威海高二期末)已知椭圆mx2+ F,F,分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的 、?1的焦距为2，则实数m日 离心率的取值范围是 () Ao,4打 1 B. 6 c(分) D.) c后 D.3或1 7.(多选)(2024·辽宁鞍山高二期中)设椭圆 3.(2024·浙江杭州二中高二期中)过点 C:2+y=1的左右焦点为F,F,P是椭圆C (2,2),且与椭圆+ =1有相同焦点的椭 上的动点，则下列结论正确的是 (） 2516 圆的标准方程为 ( A.离心率e=y6 2 B. B.△PFF,面积的最大值为√2 1891 C.以线段F,F,为直径的圆与直线x+y-√2= c新 D. 0相切 1231 D.PF·PF的最小值为0 4.（多选)(2023·重庆一中高二月考)已知a,8.(2024·江苏南京高二月考)已知F1,F2是椭 b,c分别是椭圆E的长半轴长、短半轴长和半 圆C:号+1(a>b>0)的左，右焦点，A是励 焦距长，若关于x的方程ax2+2bx+c=0有实 根，则椭圆E的离心率e可能是 ( 圆C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直 A.51 线上，△PF,F2为等腰三角形，∠F,F,P= 2 120°，则椭圆C的离心率为 () 3 3 0.2 c.2 2 0 2 第3章学霸041 9.(2024·河南南阳高二月考)椭圆一个焦点为 F2,右顶点为A,M为椭圆上一点，且 (3,0),离心率为，则筋圆的方程 ∠MF,A=∠MAF2=2∠MF,A,则椭圆C的离 心率为 () 为 B.33-5 10.(2024·河北保定高三期末)已知椭圆E的 A.31 2 2 两个焦点分别为F,F2,点P为椭圆上一点， 时 D.7-4 4 且an∠PF,F,=3,lan∠PF,F,=3,则椭圆E 15.(2024·江苏常州高二期中)已知F是椭圆 的离心率为 5x2+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动 1.(2024·福建福州高二期末)已知椭圆+ a 点，A1.）是一定点则1P+PF1的最 21(0>b>0)的右焦点为K,离心率为 小值为 2, D.13 过点F的直线I交椭圆于A,B两点，若AB A.2 2 的中点为(1,1)，则直线1的斜 率为 16.(2024·浙江绍兴高二期中)已知椭圆 12.(2024·福建福州高二期末)已知椭圆C: y =1(>b>0)的左、右焦点分别为F1,F. y i01(a>0)的左、右焦点分别为F,(-c, 过点F,的直线1与椭圆交于A,B两点，若 0)、F(c,0),P是椭圆C上一点，△F,PF △ABF,为正三角形，则该椭圆的离心率为 的面积为o3PF,1=3(a二e) 6 6 B. sin∠F,F,P,则椭圆C的长轴长为 .3 6 第2关练准确率 9题为准，你做对题 C.3 3 2 D. 3 13.(2023·广东深圳高二期中)设椭圆+ 2516 17.已知椭圆 方=1(0>b>0)的右焦点为F, 1的左、右焦点分别为F,F2,点P在椭圆 上，且满足PF·PF=9,则PF·PF2的 直线=·与x轴的交点为A,在椭圆上存在 值是 点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则 A.14 B.17 椭圆离心率的取值范围是 () C.20 D.23 14.(2024·江苏南京金陵中学高二月考)设椭 B.[ 圆C:+。1的左右两个焦点分别为F行 c.(o.] D经 选择性必修第一册·SJ学霸042 18.(多选)(2023·浙江温州高二期中)已知椭21.(2024·陕西渭南高二期中)已知圆M:(x+ =1(a>b>0)的左、右顶点分别 3)2+y2=4,圆V:(x-3)2+y2=100,动圆P与 圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹 为A,A2,左、右焦点分别为F,F2,点P,Q 为曲线C 是椭圆C上关于原点对称的两点（异于左、 (1)求C的方程. 右预点)，且·，=子则下列结论正 (2)是否存在过点Q(1,)的直线交曲线C 确的有 于A,B两点，使得Q为AB中点？若存 A椭圆C的离心率为 在，求该直线方程，若不存在，请说明 理由。 1 B.kp4·ko4,=- 2 C.存在4个点P满足∠F,PF,=90 Dm乙A,PA的最小值为号 19.(2024·浙江杭州高二期中)椭圆广 (a>b>0)的左焦点为F,上顶点为A,若存在 直线I与椭圆交于不同两点B,C,△ABC的 重心为F,直线【的斜率取值范 围是 20.(2024·福建龙岩高二期中)曲率半径可用 来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲 率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越 小已知骑圆c ,=1(a>b>0)上点 P()处的曲率半径公式为R=a 若椭圆C上所有点相应的曲率半径的 最大值是最小值的22倍，则椭圆C的离心 率为 第3章学霸043 22(2024·江苏徐州高二月考)椭圆+易 第3关练思维宽度 难度级别：女☆☆☆☆ 23.(2024·湖南永州高二期中)已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),离心 率e5 4 a262 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F, F2,P是椭圆上的动点，点I和G分别是 (1)求椭圆方程： △PF,F2的内心和重心，若IG与x轴平行， (2)若直线1：y=kx+3与椭圆交于不同的两 则椭圆的离心率为 () 点M,N,且满足AM=AN,求直线I的 方程 C V 06 24.(2024·江苏南京师大附中高二期中)已知 椭圆C父+1和圆0：+y=9,点P是 圆O上的动点，过点P作椭圆的切线11， 交圆O于点A,B. (1)若点P的坐标为(0,3)，证明：直线 41⊥2： (2)求线段AB的长. 选择性必修第一册·SJ学霸044可得(4+1).}+8mx+ 选项A错误;对于B.F、F.=2.当P点与槛圆的上下项点重合时. APF.F.的面积最大,所以△PF,F.面积的最大值为-x2xb= 4r-8=0.所以x+1o+1 设A(x.k.+m),则ka= x 心为(0.0),半径为1.由圆心(0.0)到直线x+y-v②=0的距离d= V11 1),所以2^}=1.解得&-2 2 相切,故选项C正确;对于D.设P(xy).PF=(-l-x.-v).PF= (1--)·-1-- 因为圆心o(0.0)到!.:y=hx+m的距离d-1ml2-2 ,所以 V15 PF.的最小值为0.故选项D正确.故选CD 2v15 2.因为t=- 2.所以n= 8. B 解析:如图,过点P作PB1:轴于点 2=5 5 5 B.因为△PF,F 为等腰三角形, 2V/15 215 LF.FP=120*,所以PF =F.F=2c. 2,所以所求 ;当-- 乙PF,B=60.故 PB=PF..sin60*= 5 3c.F.B=PF.·c0s 60=c.故AB=A0+ /22/15 F0 4.的方程为-2、15 或y=- OF.+BF,=a+2c.因为直线AP的斜率为 5 ##.#_ ③ 强化训练 3.1 以 3.解得a=2c。故 第1关(练速度) 离心率为二二 -故选B. 。6 D --1 解析:根据焦点为(3,0).可得焦点在x轴,且c= (2c=2. (=v2. 距为c.由题意可得 2a-x20,解得c=三1,所以的标准方 3.义-七 =6}. = 10. 0 解析:因为tanzPF、F:-3. tan乙PF-F=3.则 1 得n= 2.D 解析:焦距为2.即c=1.当焦点在x轴上时。 4 tan乙 PF.F·(-tan乙PF,F )=-1. 所以 PF 1 PF,且 ③ coszPFF。= -sinlPr 1 “_又出P co Prf -.PF.=F.F.sin Pr.F.= 2c n0 或m=1.故选D. 1010 10 t (2-2=9. 11.1 2-3. 4 解析:设A(xt,y),B(i,y).则AB的中点坐标为 (y).由题意可得x,+x:=2.xty=2.将A.B的坐标 122 _ 4. AB 解析:由题意有A-4-4ac0.由-a}-2.可得a}-- 代人概圆的方程得{ 作差可--{ { 2=0.所以 5-1.故选AB. 2 2 -62 5. A 解析:由题意可得a=2.b=1.c=3,设PF =m.PF。=n.则 -y ,又因为离心率。-_3 fm+a=2=4. 3 (+=-4-=12.所以(m+a)}-2m=12,解得 m=2.所以 -1,即直线(的斜率为--,故答案 以- .) $ar"2mn=1.故选A. 6. D 解析:由摧园的定义得PF.+PF。=2a.又·PF.=3PF. 12.7 解析:因为P是概圆C上一 点,所以1PF.1+1PF1=2a.b- l0.=b+c*.由余弦定理 得cos乙F.PF. 1PF.12+1PF.1-1F.F.12 21PF.11PF.1 2 7. CD 解析:对于A.由园c.=1可知,a-2.b-1.c=1.所 (IPF 1+1PF.1)?-21PF 11PF.1-1FF1 21/PF11PF! 4a-42-21/PF 11PF.1 2{ TPF.1PF.1 21PF.11PF.1 -1.可得1PF:11P.1= =故 参考答案 学霸25 26 [1).故选B. 又'eE(0.1).e5 #snLF$PF 103 ③6} 1+oos L F PF 1033即sinFoP3es LF PF, 2V5( F FrPF )#.所以(#P-)#又因为F,P 2.-? 1 ,所以 1 [0.),所以 FPF=,由PF =3(a-e) sin FF-P及正 ?-” 1F.P2 IPF.! 弦定理得FPF。 以圆C的离心率为e-二 3(a-e)-即3a=7e,又b-T0,所以长轴长2a=7.故答案 ._2 _? 为7. 第2关(练准确率) 13. D 解析:设m=1PF 1.n=1PF 1.乙 F. PF=8.由题意mncos 9.易知a=5=4 =-b$-3.则F F=2c=6.m+n= =1$ “-^f_(m+n)-2n-36= 以c-b=b.设短轴的端点为B,B,则可得乙F.B$F。= 由余弦定理可得coso=2n 乙F.B.F.=90$.而由罔的性质可知,当点P与短轴的一个端点 重合时,乙F.PF。最大,所以乙F.PF。最大为90”,所以只存在 $m$cos =18.得100-2mn-36=18-mn=23.即 PF ·PF$ =23 2个点P满足乙F.PF。=90{,所以C错误.对于D.设乙PA.A= 故选D. 14. B 解析:如图,由乙MF、A=/MAF。= $乙MF.A知.MA=MF.=F.F.=2c.由题 B.所以tan A.PA=tan(-a-B)=-tan(a+B)= tan a+tanB 知,MF.=2a-2c.AF。=a-c.作 "1-tan atan B= IMV1AF。于N点,则V为AF。的中点。 -2(tan a+tan$)-2·2tana·tan=-22,当且仅当tan= tanp-时.取等号,即当点P与短轴的一个端点重合时。 2,则在Rt△MNF:和 乙A.PA.最大.因为乙A.PA.=(0.).所以此时cos乙A.PA。最 2 R1△MNr,中 M-_F-r=r-r.,即(2)-(“)- 小,os A.PAgco(n-2a)-cos 2a-sin'an-cosg tan'-1 sin'a+cos'a"tan'at1 得。-5+33 2 19. 15. C 解析;由圆5x2+9=45可得 22 -=1.=9-5=4..= F(-c.0),A(0.b),设B(tt,y).C(x,y),因为△ABC的重心为 95 F.所以.+0=-3cyy+b=0,所以×.-3cy+y=-b. 过来 。 3 文 两式相减可得 (x.x)(-x) 11PFl..根据的第二定义: ,$ _1. 2 过A点作左准线的垂线,交于B点,如图,则1PA14 (yy)(y-y) 2(+x)y-)0.所以直线1的斜 -=0.所以- 911 (y+y)x-x2 b?(r.+x) 3b 3be 1_故选C 率_- *(y) 3.当且仅当b-c时等号成 是[-.。).故答 16. D 解析:因为△ABF:是正三角形,所以BF:=AF.=AB,AB x轴 设AF$=.则BF.=AF$= -$AB=2 AF$=2.故2 -$= 案为[。) 重难点拨 己知△ABC,D为BC中点,关于重心G的常用结论:(1)重心是中线 1,故选D. 的三等分点。即AD=3GD;(2)A+CB+C=8.重心的坐标为 17. B 解析;由题意,圆上存在点P.使得线段AP的垂直平分线过 ##,) &2 PFe[a-c,atc].:. -=[a-c.ate].ac-e?b?ae+e?. -1(a)上,故 #0。 [e1. 得/ 选择性必修第一册·S 学霸26 F.F +PF PF-3= 为y,则三 #。[],故 -=3、$$$ F.F P $ PF:22 ##(){}[## ,因为圆C上所有点相应的 FF。 24.(1)证明:由题意切线的斜率存在,设切线方程为y=t43.联立 #= v=+3. $ $ ($ +4)=400-400=0.所以t =-1,即·=-1.所e$ ## 1.1l. 长为V5,短半轴长为2.当过点P的一条切线斜率不存在时,不妨 PM+PV=12为定值,且12>MV=6.所以动点P的轨迹C是 取这条切线方程为x=v5,此时m=5,则(v5)2+a2=9.解得n 以M.V为焦点,长轴长为12的网,2a=12.2c=6.所以a=6.e= +2.而直线y=+2与园C相切,所以当过点P的一条切线斜率 不存在时,1.1; (2)假设存在过点o(1.)的直线 当过点P的切线斜率存在时,则m≠+v5,设切线方程为y-n (r-n=k(x-m). k(x-m),联立{ 消y得(5k?+4)r}+10(n-km)x+ 交曲线C于A,B两点,使得0为AB中 点,设A(x.).B(x.y).则 5(-kn)}-20=0,则A=100k}(n-km)?-20(5k2+4)[(n-km)? 4]=0.化简得(5-m{})b2+2mnk+4-a}=0.所以hk= 4-} #-。 $-~ 两式相减得 3 4-(9-m2)}-5 综上所述,1.11.所以线段AB为涸0的直径.所以AB=6 得-36+ 4 3.2 双曲线 3。 第1课时 双曲线的标准方程 2(x-1).即+2- 4-0.所以存在过点o(1.)的直线交曲线C于A.B两点,使 第1关(练速度) 1.A 解析:设F(-2.0),F。(2.0).由题意知动点M满足MF.- MF.=4=F.F..故动点M的轨迹是射线.故选A. 得0为AB中点,且该直线方程为x42y-4=0. 2.B 解析:由题意双曲线方程为 (b=3. -=1.易知=2.6=1.c= (a=5. V+a{}=v③,因为双曲线焦点在:轴上,故焦点坐标为(+v3,0). Lc=4. ab2+ 故选B. 1. 3. C 解析;因为圆C的焦点坐标为(+v25-16,0).即(+3.0).所 以 =3.记F.(-3.0).F(3.0).所以1PF -PF 1=125+2- (x) $$21=2\/3=2a.所以a-③,所以b=--6.所以双曲线$ (2)设Mx.y).N(x,yo).取MV中点记为P.则P 2) 4. D 解析:由c=a^2+b2=4.得c=2.所以F(2.0),将x=2代入x =hr+3. 所以k0,则x.+x= -150 x.+x-75 )1+y: 9+252 9+25^2 面积为x3x(2-1)-3.故选D. lx+3+kx+327 -927.因为AM=AN.P为MV中点,所以 (5-(0. 5. AB 解析:①若曲线C是圆,则需 1-1>0. -1=(1.5)且1-3. 18+25} AP1MN,即k·k=-1.因为A(0,-3).所以k= 15-t*1-1 -25,所 故A正确;且当5-1-1>01<i<3时,该圆表示焦点在x轴上, 以8 故C错误;②若曲线C是双曲线,则需(5-)(1-1)<0→D5或1 -25% 1.故B正确; 线1的方程为y-+3. 7 第3关(练思维宽度) 选AB. 23.A解析:如图,.0是F.F:的中点 点G是△PFF.的重心..P.G.0三 点共线,延长P交:轴于点0.则由1G 平行于:知2.3二 且*2.A选项:krkn-- /0c0 10 $A-3.设△PFfF.内切圆的半径 4=1且2. s#2 参考答案 学霸27