1.4 两条直线的交点&1.5 平面上的距离-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(苏教版2019)

1.4两条直线的交点 1.5平面上的距离 第门关练速度西m的为准，你的时： 3 D.2 1.(2024·辽宁朝阳高二月考)过直线l1:x-2y+ 7.(多选)(2024·安微阜阳高二月考)已知直线 4=0与直线2：x+y+1=0的交点，且过原点的 1过点(1,3)，点A(-4,2),B(2,-2)到直线1 直线方程为 的距离相等，则直线（的方程可能是(） A.2x-y=0 B.2x+y=0 A.2x+3y-11=0 B.3x+2y-8=0 C.x-2y=0 D.x+2y=0 C.3x-2y+3=0 D.2x-3y+7=0 2.(2024·河北石家庄高二期中)若点P(1,3)到 8.(2024·广西南宁高二月考)已知点A(1,2), 直线1：4x+3y+a=0(a>0)的距离为3，则a= B(-1,0),C(3,6),M为AB中点，则 ( MC= 3 A.2 B.3 C. 9.(2023·天津和平区高二月考)若两条平行直 2 D.4 线Ax-2y-1=0与6x-4y+C=0之间的距离为 3.(2024·湖南长沙高二月考)若直线L1:x+ay+ √ 9=0与l2:(a-2)x+3y+3a=0平行，则11,12 2,则c 间的距离是 10.(2024·陕西西安高二月考)已知点(0,2)是 4 C.42 D.22 点(-2，b)与点(2,4)的对称中心，则 b= 4.(2024·四川遂宁高二期中)已知直线1：x- 11.(2024·江西南昌一中高二月考)一条光线 y=0,则点A(-1,4)关于1对称的点的坐标为 经过点A(3,5)射到直线x+y+1=0上，被反 ( 射后经过点B(2,1),则入射光线所在直线 A.(4,1) B.(4,-1) 的方程为 C.(-1,-4) D.(1,4) 5.(2024·辽宁沈阳高二期中)若直线1y=kx 第2关练准确率 8题为准.你做对题 3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限， 12.（2024·四川成都高二期中)直线1：y=2x-4 则直线【的倾斜角的取值范围是 关于点A(1,0)对称的直线方程为() A.[3) B.(z) A.y=2x B.y=-2x C.y=2x-8 D.y=2x+4 c得) D.后) 13.(2023·山东枣庄滕州一中高二月考)如图， 6.(多选)(2024·江苏宿迁高二月考)已知三条直 已知两点A(1,0,B0,),从点P(1,0) 线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构 射出的光线经直线AB上的点M反射后再 成三角形，则实数m的取值可以是 () 射到直线OB上，最后经直线OB上的点N 第1章学霸009 反射后又回到点P,则直线MN的方程为 且仅有4个 ( D.若p=g,则点M的轨迹是一条过点O的 直线 17.(2023·湖南衡阳高二月考)设m∈R,已知 直线l1:(m+1)x+my+2-m=0,过点(1,2)作 直线12，且1∥12，则直线1，与L2之间距离的 A.4x-3y-3=0 B.4r+3y+4=0 最大值是 C.3x-4y+3=0 D.4x-3y+4=0 18.(2024·河南洛阳高二月考)唐代诗人李颀 14.若直线y=2x,x-y=1,mx+ny+3=0相交于同 的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登 一点，则点(m,n)到原点的距离的最小值为 山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一 个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军 4.23 B.5 在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河 3 边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最 c D.3 短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点 是A(2,4),军营所在位置为B(6,2),河岸 15.(2024·江苏扬州高二月考)设直线l1:x-y+ 线所在直线的方程为x+y-3=0,则将军从出 1=0与直线l2:mx+y+3=0的交点为A:P,Q 发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮 分别为1,2上任意两点，点M为P,Q的中 马”)的总路程的最小值为 点，若AM=PQ,则m的值为 19.(2023·河南郑州高二月考)已知正方形的 中心为直线x-y+1=0和2x+y+2=0的交 A.2 B.-2 C.1 D.-1 点，正方形一边所在直线方程为x+3y-2=0, 16.(多选)如图所示，平面中两条直线1，和 求其他三边的方程。 相交于点O,对于平面上任意一点M,若p,9 分别是M到直线1，和12的距离，则称有序 非负实数对(P,9)是点M的“距离坐标”.下 列四个命题中正确的命题为 () ,1, A.若p=g=0,则“距离坐标”为(0,0)的点 有且仅有1个 B.若四=0，且p+g≠0，则“距离坐标”为(p, q)的点有且仅有2个 C.若p四≠0，则“距离坐标”为(P,g)的点有 选择性必修第一册·SJ学霸010 20.(2024·安徽合肥高二期中)在△ABC中， 第3关练思维宽度 ）难度级别：☆合☆☆☆ A(3,-1),AB边上的中线CM所在直线方程 21.(2024·湖北咸宁赤壁一中高二月考)著名 为6x+10y-59=0,∠B的平分线方程BT为 数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形 x-4y+10=0. 少数时难入微”，事实上，很多代数问题都 (1)求顶点B的坐标 可以转化为几何问题加以解决，如： (2)求直线BC的方程. √(x-a)2+(y-b)2可以转化为平面上点 M(x,y)与点N(a,b)的距离，结合上述观 点可得f(y)=2-4y+20+√2-2y+10的 最小值为 ) A.25B.52 C.8 D.6 22.(2024·江苏扬州中学高二月考)如图，在平 面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2， 宽为1，AB,AD边分别在x轴、y轴的正半轴 上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使 A点落在线段DC上，设此点为G (1)若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线 的方程： (2)若折痕所在直线的斜率为k(k为常数)， 试用k表示点G的坐标，并求折痕所在 的直线的方程： (3)当-2+3≤k≤0时，求折痕长的最大值 (A) 第1章学霸011易错提醒 18.4+3解析：如图，直线1，的倾斜角为3+ 解已知直线平行求参数的随目时，求出参数值后弱要检证两条直线 30°=60，.直线11的斜率k,=n60P 是香重合， 3.由L∥L知，直线1，的斜率k,=k,= 3.直线AB的斜率存在，且kw= 10.(2,3)解析：设点D的坐标为(x,y),四边形ABCD为长方形 且km·5=-1,只需B/GD,AD∥C.即二子=-1①. 1-m 3解 x-3 得m=4+3.故答案为4+3. ②联立02解得{)子：顶点D的坐标为2,3】 19.证明：以A为原点，AB,AD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直 角坐标系，如图， 11.(5,-5)解析：设B(x,-x1),因为重心G(3,3),由C+成 则A(0,0),B(6,0),E(6,3),F(3,6),直y1 d=0得5-3-3+c-30即c=41因为H为重心，所 1-3-1-3+yc-3=0. yc=8+1, 线BF的斜率kr3-6 6-0 -2,直线AE的斜 8+1-1 3-01 以H1AC,则-1·4一一5-1，解得=-4，所以B(-4,4, 率kw=6-0 =2,故k·=-1 C(8,4),km=0,所以直线AH斜率不存在，则xm=x,=5,ym=-5, .BF⊥AE.得证 所以H(5.-5).故容案为(5，-5). 20.解：(1)由两点式可知06化简可得2x+y-12=0,即边B 第2关（练准率） 8-02-6 12A解析：由4/h,则之 所在的直线的方程为2x+y-12=0 2,=3→m2-m-6=(m-3)(m+2)=0 (2)因为边AB上的高垂直于AB,所以斜率k= →m=-2或m=3.当m=-2时，1：2r-2y-1=0,3:3x-3y-2=0满 2又点C0,3)在 足平行：当m=3时，山1：2x+3)-1=0,2:2x+3+2=0满足平行：所 以（∥1，一m■-2或m=3,故“m+2=0”是11∥2“的充分不必要 商线上，所以由点斜试可知)一3子，即一2+6=0 条件.故选A 第3关（练思维宽度） 13.D解折：设(x)AD1C2.3--22 21.C解析：设A(2.0),B(-2,4),则A,B所在直线的斜率为kw= -1 x+11-0 2--1,由题知过点(2023,2024)与点(mm)的直线与直 4-0 六-90B/D华学--40联立 -38 线B平行，所以二20-1，整理得m+n=2023+20心4 {x+5y-9=0解得》 7 4047,故选C. 故选D. x-21y-4=0. 5 22解：(1)由于A在直线x-2y-1=0和直线y=0上.所以A(1.0),直 7 14B解桥：由题意知AB1BCkm·=-1,即9×之=-1，解 线仍的斜率为丹1，由于乙A的平分线为：轴，所以直线4C 3-23-0 的斜率为-1，所以直线4C的方程为y=-(x-1),即y=-x+1.设 -19 得产年，放选B G(,m1》.由于直线一2-1=0的斜率为}，所以直线BC的 15.D解析：因为4114，所以a-1+2b=0,即a+26=1.又a>0,b>0, 斜率为-2，所以kc= 所以21 =(-m+D。-2,解得m=4所以C(4,-3) 2-m ≥4+ (2)由(1)可知k爆·kx=-1,所以AB1AG,所以直线AB即为AC 边上的高.由于直线AB的斜率为1，且过A(1,0),所以直线1的 时等号成立。 =8.当且仅当丝=”，即a=2,b=4的 方程为y=x-1. 故选D. 1.4两条直线的交点 16.ABC解析：因为点P(xO,yn)不在直线A+By+G=0上，所 1.5平面上的距离 以Ax。+By+C≠0.所以直线Ax+By+C+(Ax。+B。+C)=0不经过 点P,AB错误：又直线Ar+B+C+(An+By。+C)=0与直线I:Ax+ 第1关（练達度） By+C=0平行，故C错误，D正确.故选ABC 1D朝折：联立方程仁0和三之甲与6的交点为 1.1或弩解析：如图0，当∠4=∠D=0时.肉为四边形8D为 (-2,1),又直线过原点，所以此直线的方程为x+2y=0,故选D. 直角梯形，所以AB∥DC.且AD⊥AB.因为kc=0,所以m=2.n= 2.A 解析：由点到直线的距离公式知，d=14+9+a.13+al。 -1.所以m+n=1. V√4+32 5 如图②2，当∠A=∠B=90°时，因为四边形ABCD为直角梯形，所 以AD∥BC,且AB⊥BC,所以k也=k,kw·k=-L.所以 13+加-3(a>0),解得a=2.故选A 5 16 3.C解析：由题设a(-2)=3,则(a+1)(a-3)=0,可得a=-1或 4-5 5 8 a=3.当a=-1时，4：x-y+9=0,2:-3x+3-3=0.满足题设：当a=3 解得 所以m+n■ n+12-(-1) 8 5 时，山：x+3y+9=0,山2：x+3y+9=0,显然重合，不满足；所以=-1，此 m-5 =-1. 4-5 5 时，：=y+9=0.h:*-y+1=0,它们之同的距离为9-=4.故 8 综上所述，m+n=1或 故答案为1或8 5 选C. 4) 4.B解析：设点A(-1,4)关于1对称的点为A'(a,6),则 b- *1-1, -1+04+b 得公1.放选 g124 22 =0. 6 6+33 6+35 5.B解析：联立g=5:。得 2+3k 所以 2*3张>0. 解 (2x+3y-6=0, 6M-2√3 6k-2w3 2+3h￥ (2+30, 选择性必修第一田·SJ学霸04 得令所以直线1的领斜角的范偶为（行号）故选B 15C解折：如图所示，为网的中点，放W=0-空又AW 6.ABC解析：由已知，设11：2x-3y+1=0,4:4x+3y+5=0,:mx-y- P.所以△APO中，AM=PM=QM,于是∠MPA=∠MP,∠Mi0 1=0.由红0可细，直线6相交于点4(1，号）月 直线：m-y-1=0恒过定点B(0,-1).因为三条直线不能构成三 ∠01，放∠PmQ=∠PW+∠0W=受即14，所以(-m)× 1=-1,解得m=1.故选C 角影，所以4仍，或6仍，或经过点(1，号)①当名仍 、) 时，山1：2-3y+1=0,5:r-y1=0,所以2×(-1)=-3m,解得m= 2 :2当%时，h:4+3+5=0,4:my-1=0,所以4x(-1) 加：解得m=子当6经过点(1.号)时m 1 3所以 实数m的取值集合为{子子号}放选C 16.ABC解析：若P=g=0,则“距高坐标”为(0,0)的点是两条直线 的交点0，因此有且仅有1个，A正确若四=0，且P+g≠0，则~距 7.AC 解析：当直线1与直线松平行时，因为k仙2-(-本了 -2-22 离坐标”为(0，g)(9≠0)或(P,0)(P≠0)，因此满足条件的点有且 仅有2个，B正确.若网≠0，则“距离坐标”为(P,g)的点有且仅有 所以直线1的方程为一3子(-).即23-=Q当直线过 4个，如图所示.C正确.若=9，则点M的轨迹是两条过点0的直 线，分别为两直线夹角的平分线所在直线，因此D不正确，故 线段AB的中点时，AB的中点为(-1,0)，所以直线1的方程为 选ABC 号号即-230除上所述.直线的方程为2- 0或3r-2y+3=0.故选AC 8.√34解析：由于M是AB中点，所以M(0,1),所以MG= M(p.) √3+5=√34.故答案为34. 9.11或-15解析：直线Ax-2y-1=0.即2Ax-4y-2=0.,:直线Ax- 2y-1=0与6x-4y+GC=0平行.，2A=6.解得A=3.,直线6x-4y 2=0与6-4+C=0的距离为下1C421=下，解得c=1 2 6+42 2 17.√0解析：由于直线1：(m+1)x+my+2-m=0,整理得(x+y 或-15.故答案为11或-15 m++2)=0.曲公0，解释2即直线4银过点 10.0解析：点(0,2)是点(-2，b)与点(2,4)的对称中心，6+4= (-2,3).因为过点(1,2)作直线b2,且1∥12，所以直线11与3之 2×2,即b=0.故答案为0. 间距离的最大值为点(1,2)与点(-2,3)间的距离，即d= 11.8x-5y+1=0解析：设点B(2,1)关于直线x+y+1=0的对称点为 /(-2-1)+(3-2)2=10.故客案为10 [2+0J+ +1=0. 18.52解析：如图.由题可知A.B在x+r- 2 2 B'(和n）.则 解得B'(-2,-3),则入射光线 o- 3=0的同创，设点B关于直线x+y-3=0 1, 的对称点为B(a,b),则 x0-2 -3-5 (a+6b+2-3=0 所在直线的方程为)52一号x-3),即8x-5y+1=0,故答案为 22 解得{a；即（1. a-6*(-1)=-1 b-2 b=-3 8x-5y+1=0 重难点拨 -3),所以所求总路程的最小值为AB= 入射点关于镜面所在直线的对称点在反射直线上，因此反射问题本 52.故答案为52 质上是点关于宜线对称的问题， 重难点拨 第2关（鈽准确率） 将军饮马问题的常见解决方法是作出发点关千河岸线的对称点，对 12A解析：因为A(1,0)不在直线：y=2x-4上，所以可设直线1： 称点与目的地之间的距离即为最短距离，而对称点与目的地连线与 y=2x-4关于点A(I,0)对称的直线方程为y=2x+,则 河的交点为饮马点，将军饮马阿题本质上是点关于直线对称的问题， 12-0-41 12-0+b1 .解得b=0或=-4（念去），故所求 √2+(-1)2√2+(-1) 1规：联立仁0。仁。.做正方形份中心为P(-1.0 直线方程为y=2x故选A. 又正方形相邻两边互相垂直，一边所在直线方程为x+3y-2=0, 13.D解析：由题意易得AB所在的直线方程为x+2)-11=0,设点P 故可设正方形相邻两边方程为x+3y+m=0(m≠-2)和3x-y+= 关于直线AB:￥+2y-11=0的对称点为A,(a,b),则 0,点P(-1,0)到各边的距离相等，-+ml.-3tnl √10 10 解得。所以点P关于直线AB对称的 21=0 --2,掷1m-11=n-3引=3，故m=4或m=-2(含去)，n=6或 /10 点为A(5,8),点P关于y轴对称的点为A(-1,0),直线MN即直 n=0.故其他三边所在直线方程为x+3y+4=0,3x-y=0.3x-y+ 6=0. 线A,A:,则直线N的方程为y= x+),即4-+4=Q放选D 20解：)设6).则的中点w(”,)在直线c四 14D解析：由二2，解得任二-所以直线的交点为(-1，-2)。 x-y=1, y=-2. 因为交点(-1，-2)在直线mx+y+3=0上.所以m+21-3=0.所以 上6x+3 0x 2 2一59=0,36+5y0+459=0,即30+50 点(m,n)到原点的距离的最小值为1-3！.35 V2+23放进n 55=0①， 又点B在直线BT上，期和-4y。+10=02公. 参考答案学霸05 由①2可得xo=10,0=5,即点B的坐标为(10,5). (2)设点A(3,-1)关于直线BT的对称点D的坐标为(a,b),则点 {m=3即B(3.3).放11PB1-1PA1=1A1= n=3, b+1.1 (4-3)+(1-3)=5.故选C D在直线BC上.由题知 03*4-1, 得{aD. a+3 b-1 l6=7. 2 x +10=0. 7-5 7).ke=km=1-10 9直线BC的方程为y-5= 2 9( 10).即2xr+9y-65=0. 第3关（练思维宽度） 21.B解析：∫(y）=√-4+20+了-2y+10= √(0-4)+(3-2)下+√(0-3)+(-1)下，所以f(y)表示点 4.210 解析：因为了(x)=√(x+4)2+(0+2)产+ P(0,y)到A(4,2)与B3,1)的距离之和.作A(4.2)关于y轴的 √(+2)+(0-4)，所以.函数f(x)的儿何意义为x轴上的点 对称点得A'(-4.2).所以PA+PB=PA'+PB≥A'B■√0=5v2 P八x,0)到点A(-4,-2),B(-2,4)的距离之和，即fx)=1PA1+ 故选B. 1PB1,如图所示： 22.解：(1)折痕的斜率为-1时，A点落在线段DC上 “折痕必过点D(0.1), ∴，折痕所在的直线方程为y=-x+1. (2)①当k=0时.此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为 y22 当≠0时.将矩形折叠后A点落在线段DG上的点记为G(, 1)(0<a≤2) 由图可知，当点A,P,B三点共线时，(x)取最小值，且∫(x)= 则A与G关于折痕所在的直线对称，有kc·k=-l,即a=-k 1AB1=(-4+2)2+(-2-4)7=210,故答案为210. ,.G点坐标为(-k,1)(-2≤k<0), 从而折痕所在的直线与OG的交点坐标即线段OG的中点为 5.25解析：设P(x,y).0(0,0),A(2,0).B(2.1),C(0,I),因为 ()折所在的直线方程为4()即 0<x<2,0<<1,则点P(x,y)在矩形0ABG内部，如图所示 2+2(-2sk<0). 综上所述，折痕所在的直线方程为y=+ 2+2(-2≤6s0). (3)当k=0时.折痕长为2 可得√++1y)了+√(2x)+√(2)+(1y)下 当-2+5≤k<0时，折痕所在直线交C于点E(2,2+ 1OPI+ICPI+LAP1+1BPI=(10P1+1BP1)+(ICP1+1API) 2+ 10B+14C1=25,当且仅当P为0B,Ac的交点（L,3)时，等号 成立.故答案为25 [(2号 6.B解析：动直线(a+1)x-y+2=0化为y=(a+1)x+2,可知定点 EF12=22 4+4h2≤4+4(7 A(0,2).动直线x+(a+1)y-5g-2▣0化为a(y-5)+x+y-2=0.令 43)=32-165 {3=0。解得=5，=-3，可知定点B(-3,5)又(a+1)x1-1× 上，折痕长的最大值为√/32-163=2√8-2√12=2(6-2)>2. (a+1)=0,所以直线(a+1)x-y+2=0与直线x+(a+1)y-5a-2=0 综上所述，折痕长度的最大值为2(6-√2) 垂直，P为交点.PA1PB.1PA2+1PB12=IABI2=(0+3)2+ 专项提优01直线中的最值问题 2-5)18则Sam之PA11pm≤号.PM生P 2 2 1B舞折：由0得气即P1.直线1(e2 ,当且仅当P=PB1=3时，等号成立即△PB的面积的最 9 y=0,所以直线过定点A(-1,2),所以当直线AP与直线1垂直时 此时点P到直线1的距离最大，且最大值为IAP1= 大流为号放喜 √(1+1)2+(1-2)2=5.故选B. 2.B解析：因为4：x-my-2=0与2：mr+y+2=0的交点坐标为 7解：0)依圈意，得w方程为)(）即y=k4 0(2-2m-2-2m :AB⊥OB,|AB1=1OB1=1,直线OA方程为y=x,直线AB方程 2-2m1 -2-2m 2 1+m31+m2 ,所以10Q1= + 1+m2 1+m2 为x=1,联立 8(1+m.22 小() ,当m=0时，1001==22，所以100的最 Y=t. √(1+m2+m 2k-1 大值是22.故选B. ,()得N2）所以 ≤ 4(k-1) 解得 3.C解析：如图.作出点B关于直线1的对称点B,连接AB延长交直 2≤1 线I于点P,此时点P使B-PA1取得最大值根据点关于直线 的对称形特征.知IPBI=1PB'1.此时IIPB1-1PAI1=1PBI- ≤k≤ 1PAII=BAI.在直线I上另取点P,连接P,A.P,B,PB,则 2 2 IP BI=IP 8'1.IIPBI-IPAII=1IP8'I-IPAII<I8'AI= [n-4 、 (②存在若亦：号成，可得宁品兮()解 11PBI-1PAI1,不妨设点B(m.n).期有 3 解得 得：所以直线的方程为，一(）小整理 3x m n+4 -1=0 22 x+2y-1=0 选择性必修第一田·SJ学霸06