第8章 函数应用 真题演练&章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第8章 真题演练 考点口函数的零点问题 考点口函数的实际应用 1.(北京高考)已知函数(x)=。-log2x,在下列 9.(多选)(2023·新课标全国)噪声 污染问题越来越受到重视用声压 区间中，包含(x)零点的区间是 ( 级来度量声音的强弱，定义声压级 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) L,=20xg',其中常数p(p>0)是听觉下限阈 D.(4,+3)】 4x-4,x≤1， 值，p是实际声压下表为不同声源的声压级： 2.(湖南高考)函数f(x)= 的图象 x2-4x+3,x>1 声源 与声源的距离/m声压级/dB 和函数g(x)=log2x的图象的交点个数是 燃油汽车 10 60-90 ( A.1 B.2 C.3 D.4 混合动力汽车 10 50-60 (e,x≤0， 电动汽车 10 40 3.(全国高考)已知函数f(x)= (In x,x>0, 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽 g(x)=f八x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a 车10m处测得实际声压分别为p,P2,P,则 的取值范围是 ( A.[-1,0) B.[0,+o) A.p1≥P2 B.p2>10p3 C.[-1,+e) D.[1,+e) C.P3=10Po D.P1≤100p2 4.(湖北高考)方程2+x2=3的实数解的个数 10.(四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小 为 时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系 5.(山东高考)已知函数f(x)= y=e地(e=2.718…为自然对数的底数，k,b lxl,x≤m, 其中m>0,若存 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是 x2-2mx+4m,x>m, 192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则 在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个 该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 不同的根，则m的取值范围是 11.(全国高考)某中学 6.（天津高考)已知函数y=x- 一的图象与函 开展劳动实习，学生 x-1 加工制作零件，零件 数y=kx-2的图象恰有两个交点，则实数k的 的截面如图所示.O 取值范围是 为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是 7.(2022·天津)设a∈R,对任意实 圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与 数x,记f(x)=min x-2,x2-ax+ 直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥ 3a-5引.若f(x)至少有3个零点，则 实数a的取值范围为 c.垂是为G,m∠0C=Bm/Dc,EF 8.(2023·天津)设a∈R,函数f八x)=ax2-2x- 12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离 Ix2-ax+1,若f代x)恰有两个零点，则a的取 均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影部 值范围为 分的面积为 cm2. 必修第-册·SJ学霸152 第8章 章末检测 (时间：120分钟 总分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，5.(2024·江苏宿迁高一期未)已知函数f八x)= 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 a'+b(a>0,a≠1，b∈R)的图象如图所示，则 题目要求的。 函数g(x)=lnx-br+a的零点所在区间为 1.(2024·江西吉安高一期末)用二分法研究函 数八x)=x2+3x-1的零点时，第一次经过计算发 现f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x∈(0. 0.5),则第二次还需计算函数值 ( ) A.f1) B.f-0.5) C.f0.25) D.f0.125) 2.(2024·江苏常州高一期末)在一次数学实验 中，某同学运用图形计算器采集到如下一组 D.(1,2) 数据： 6.人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事 0.24 0.51 2.02 3.98 8.02 起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的 -2.0 -1.0 0 1.00 2.0 3.0 广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式 在四个函数模型(a,b为待定系数)中，最能 增长，我国已成为全球数据总量最大、数据类 反映x,y函数关系的是 ( 型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理 A.y=a+bx B.y=a+b' 数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们 b C.y=a+logx D.y=a+ 生活中的每个角落.目前，数据量已经从 TB(1TB=1024GB)级别跃升到PB(1PB= 3.(2024·江苏扬州高一期末)关于x的方 1024TB),EB(1EB=1024PB)乃至 程sn+x-3=0的唯一解在区间(k-2k+ ZB(1ZB=1024EB)级别.国际数据公司 (DC)的研究结果表明，2008年全球产生的 )kEZ)内.则长的值为 数据量为0.500ZB.2010年增长到1.125ZB. A.2 B.3 若从2008年起，全球产生的数据量y与年份： C.4 D.5 的关系为y=yoa2,其中yo,a均是正的常 4.(2024·湖南长沙高一期未)一块电路板之间 数，则2024年全球产：生的数据量是2023年的 有60个均匀分布串联的焊接点，已经知道电 路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二 A.0.5倍 B.2.25倍 分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要 C.1.5倍 D.15倍 检测 ( 7.(2024·江苏苏州高一期末)已知f代x)为偶函 A.4次B.6次 C.8次 D.30次 数，对任意实数x都有f(x+2)=f代x),当x∈ 第8章学霸153 [0,1]时，f八x)=x3.若函数y=f(x)的图象与 11.(2024·江苏镇江高一期末)已知函数 函数g(x)=log.|xl(a>0,且a≠1)的图象恰 logx,0<x<4, 有6个交点，则a的取值范围是 ( f(x)= 若方程 A.(3,5) B.(3,5] TT 4cos 6-3 ,4≤x≤14. C.(5,7) D.(5,7] f代x)=m有四个不等的实根x1,x2,x3,x4,且 8.(2024·江苏苏州高一期未)已知函数f代x)= x,<x2<x<x4,则下列结论正确的是()》 x2-3,x≥0， 若函数y=f(f(x))-k有3个不 A.0<m<2 -x+1,x<0 1 同的零点，则实数k的取值范围是 ( B.x1x322 A.(1,4) B.(1,4] C.x34e(48,55) C.[1,4) D.[1,4] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 D.x1x3∈(1,5) 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 12.(2024·河北唐山高一期末)在固定压力差 选错的得0分」 (压力差为常数)下，当气体通过圆形管道 9.(2024·山东烟台高一月考)下列方程中能用 时，其流量（单位：cm3/s)与管道半径r(单 二分法求近似解的为 ( 位：cm)的四次方成正比.已知气体在半径为 A.In x+x=0 B.e-3x=0 3cm的管道中，流量为400cm3/s,则气体在 C.x3-3x+1=0 D.4x2-45x+5=0 半轻为 cm的管道中，流量为 10.(2024·山东济宁高一期末)计算机病毒就是 一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它 cm'/s. 有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常 13.(2024·江苏扬州高一期末)设函数f代x)= 难以根除现有一种专门占据内存的计算机病 e,x≤0， 毒，该病毒占据内存y(单位：KB)与计算机开 则f[f(0)]= :若 r++4>0, 机后使用的时间t(单位：min)的关系式为y= 3×2,则下列说法中正确的是 () 方程f(x)=b有且仅有1个实数根，则实数b A.在计算机开机后使用5分钟时，该计算机 的取值范围是 病毒会占据内存超过90KB 14.(2024·江苏南京师大附中高一期末)设a B.计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加 为实数，若实数x。是关于x的方程e+(1- 的内存都相等 a)x=na+lnx的解，则 C.计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增 长率为1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出 D.计算机开机后，该计算机病毒占据内存到 文字说明、证明过程或演算步骤 6KB,9KB,18KB所经过的时间分别是 15.(13分)已知函数f(x)=2x2-8.x-1为R上的 t1,2,3,则1+2=3 连续函数，判断(x)在(-1,1)上是否存在零 必修第一册·SJ学霸154 点？若存在，用二分法求出这个零点的近似17.(15分)(2024·江苏南京师大附中高一期 值（精确到0.1）：若不存在，请说明理由. 末)我国政府在第七十五届联合国大会上提 出，“中国将努力争取在2060年前实现碳中 和.”随后，国务院印发了《关于加快建立健 全绿色低碳循环发展经济体系的指导意 见》.某企业去年消耗电费50万元，预计 今年若不做任何改变，则今年消耗电费与 去年相同.为了响应号召，节能减排，该企业 决定安装一个可使用20年的太阳能供电设 备，并接入本企业的电网.安装这种供电设 备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面 积（单位：m2)成正比，比例系数约为0.6.为 16.(15分)(2023·江苏南京二十九中高二月 了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能 考)设函数y=f八x),其中f(x)=xlx-al. 互补供电的模式.设在此模式下，安装太阳 (1)若函数y=f(x)是偶函数，求实数a 能供电设备后该企业每年消耗的电费C(单 的值 位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面 (2)若a∈(2,3)，记g(x)=f(x)-10,求证： 积x(单位：m2)之间的函数关系是C(x)= 函数y=g(x)在[2,4]上有零点. 10r+60x≥0，k为常数).记该企业安装这种 太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电 费之和为y(单位：万元)， (1)求常数k,并写出y关于x的函数关 系式 (2)当太阳能电池板的面积为多少平方米 时，y取得最小值？最小值是多少万元？ 第8章学霸155 18.(17分)(2024·江苏南通高一期末)汽车驾19.(17分)(2024·江苏徐州高一期末)已知函数 驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车，这一 f(x)的定义域为D,若存在常数k(k∈N"),使 过程中，由于人的反应需要时间，在汽车的 得对D内的任意x,2(x1≠x2),都有 惯性作用下会有一个停车距离.记驾驶员的 fx1)-f八x2)|≤k|x,-x21,则称f(x)是“k 停车距离为S(单位：m),驾驶员反应时间内 利普希兹条件函数”。 汽车所行距离为S,(单位：m),刹车距离 (1)判断函数y=2x+1,y=x2是否为“2-利 为S,(单位：m),则S=S,+S2,其中S,与刹车 普希兹条件函数”，并说明理由： 时的车速（单位：kmh)满足S,=15,S,与 (2)若函数y=x-（x≥1)是k-利普希兹 刹车时的车速的部分关系见下表： 条件函数”，求k的最小值： 15 30 60 105 (3)设f(x)=sinx,若g(x)=1x+n(t>1)是 “2024-利普希兹条件函数”，且g(x)的 S2 1.25 5 20 6l.25 零点x。也是(x)的零点，g(f(xo))= : 60 八g(x),证明：方程∫(g(x)= 50 g(f(x))在区间(0,2π)有解。 20 01530456075005元 (1)在坐标平面内画出(”，S2)的散点图，从 ①S2=a·2:②S2=am2;③S2=alog2(v+ 1)中选择最恰当的一个函数模型拟 合S,与之间的关系，并求出其解 析式： (2)在限速100km/h的高速公路上，驾驶员 遇障碍物紧急刹车，已知驾驶员的停车 距离为51m,请根据(1)中所求的解析 式，判断驾驶员是否超速行驶. 必修第一册·SJ学霸156(3+3 7.(2.3] 解析:函数h(x)的零点即为方程h(x)=0的解,也即 13)1. 4. B 解析:已知/(x)= 当:=1时()-3-3。 g(/(x))=a的解,令(=/(x),则原方程的解变为方程组 (1log(x-1)1x>1. 3 3-+1,当x1时ffx)=llog(x-1)1,作出其图象如图①所示. 可知(x)的值域为[0.+x),设:={x),则:=[0,+×). 作出函数v=ffx)和直线+=的图象如图①所示.由图①可知 _l ① ② -的零点问题即为函数y-/(t)与 则函数(x)-/f(*)]-3/(x)- 当1>-1时,有两个不同的x与之对应;当t=-1时,有一个x与之 (3.0(01. y=3t-的图象的交点问题,而/(t)= 作出函 不同的x解知,需要方程②有三个不同的1.且都大于-1.作出函数 1log(t-1)1.1)1. y=g(t)和直线y=a的图象如图②所示. 数y=(1)y=31的图象如图②所示. 。) 可知y=/(t)与y=3r+-的图象有两个交点,横坐标分别在(0.1). (1.2)上,不妨设交点的横坐标为t=(0.1),t1E(1,2). 如图③,当t.=f(x)时,由f(x)图象和直线y=.=(0.1)可知二 者有两个交点,即此时(x)=f(x)]-3/(x)-有两个零点; 由图②可知当ae(2.3]时满足要求.综上,实数a的取值范围为 (2.3].故答案为(2.3]. 第8章 真题演练 当1.=f(x)时,由/(x)图象和直线y=t.t5=(1.2)可知二者有3个 定理可知/(t)零点所在区间为(2.4).故选C 2.C 解析:在同一坐标系中画出函数f(x)的图象和函数g(x) 交点,即此时/(x)=/(x)]-3f(x)-有3个零点,故函数/(x)= logx的图象,如图所示: //(x)]-3/(x)- -的零点个数是5.故选B. 5.D 解析:画出函数/(x)的图象如图所示.由题意知,当x=-1时. f(-1)=2;当x=1时f(1)=1.设t=/(x),则原方程化为r?+b+2= 0.因为方程[/(x)]+b/(x)+2=0有8个相异实根,所以关于i的 方程^+b+2=0在1E(1.2)上有两个不等实根.令g(1)=2+b+2. f△=-8>0. 解得-3<b-2/2.所以实数b的取 g(1)=b+3>0. g(2)=2b+6>0. 值范围是(-3.-2v2).故选D. 由函数图象,得两个函数图象共有3个交点,故选C. 3. C 解析:函数g(x)=/(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程 _# fx)=-x-a有2个不同的实根,即函数/(x)的图象与直线y=-→- a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数fx)的图象,如图所示: _...._. _------- 372-123 -1 2-1 3 (第5题) (第6题) 6.A 解析:画出/(x)的函数图象如图所示,由图可知,若方程 f[x)]+afx)+b=0有9个不同实根,则/f(x)=1或/f(x)=t.其中 0<i<1或t>1.令g(t)=t2+ar+b,则g(t)在(0.+x)上有两个零点, 由图可知-a1.解得a-1.故选C (g(1)=1+a+b=0. 方法总结 其中一个零点为1.则A-a}-4>0. 解得a-1且a-2. 解决此类题的关键;一是会转化,先把涵数的零点问题转化为方程 1g(0)=0. 的根的问题,再转化为两个函数图象的交点问题;二是会借形解题, 即作出两函数的图象,数形结合可快速找到参数所满足的不等式。 解不等式即可求出参数的取值范围。 的取值范围是(-x.-2)U(-2.0).故选A 参考答案 学霸70 4.2 解析:因为2=3-,作出函数y=2.=3-的图象,如图$ 所示: 。 g(2)=4+a-5>0. 得4,此时10 综上所述,实数a的取值范围是[10.+).故答案为[10.+×). 8.(-×.0)U(0.1)U(1.+x)解析:①当x2-ax+1>0时/(x)= 0.即(a-1)x”+(a-2)x-1=0,即[(a-1)x-1](x+1)=0. 若a=1.则x=-1.此时-ax+1→0成立. 从图象可以观察到两函数的图象有两个公共点,所以方程2* r=3的实数解的个数为2.故答案为2. 5.(3.+)解析:由题意画出函数图象如图所示,要满足存在实数 若方程有一根为x=-1,则1+a+1→0,即a-2且a1 b.使得关于s的方程f(x)=b有三个不同的根,则4m-m{}<m,解 得m3.故n的取值范围是(3.+).故答案为(3.+). a!; , ②当x}-ax+1<0时/f(x)=0得(a+1)x-(a+2)x+1=0.即[(a+ 1)x-1](r-1)=0. 若a=-1.则x=1.显然x2-ax+1<0不成立; r=) 若a-1.则x=1或x-1 0 1 -=1-r-1-ll. 1-1 _1 若方程有一根为x=1.则1-a+1c0.即a>2; 数y=b-2的图象过定点(0.-2),画出函数图象如图所示: 若1 + -=1时,a=0.显然r?-ar+1<0不成立 2” 上. ,) n(1-2 当-25aco时,零点为 &-1.-1: 当a=0时,只有一个零点-1; k. 1或1<k.0k1或1<k<4.故答案为(0.1)U(1.4) 7. [10.+x]解析:设g(x)=x-ax+3a-5.h(x)=lxl-2.由lxl-2 0可得x=+2.要使得函数/(x)至少有3个零点,则函数g(x)至少 当a=1时,只有一个零点-1; 有一个零点,则A=a2-12a+20>0,解得a2或a>10. ①当a=2时,g(x)=x2-2x+1.作出函数g(x).h(x)的图象如图① 所示: 当a2时,零点为1.-1. 所以当函数有两个零点时,a0且a×1.故答案为(-x,0)(0 -g) 1)U(1.+x). 9. AD 解析:由题意可知L=[60,90],L=[50,60],1.=40。 对于A.,可得1,1,=20x1g_-0xt{ _~20x,因为L,= 7p 1o p =o.即lg _o.所以1且pP:> L1,则L-L=20xlg 12 P2 0.可得pp,故A正确; ① 此时函数/(x)只有两个零点,不满足题意. po P ②当a<2时,设函数g(x)的两个零点分别为xt.x(x.<x).要使 1.4.-40=10,则20xt=10.即1 .以n 得函数f(x)至少有3个零点,则对-2.所以 1) p {__~2. 且P,p→0.可得pV10p,当且仅当L.=50时,等号成立,故 解得a=②. 1g(-2)-4+5a-50. B错误: 对于C.因为1.,=20xtg -40.即1 -2.可得_-100即p ③当a=10时,g(x)=x}-10r+25.作出函数g(x),h(x)的图象如 P 图②所示: P 100p,故C错误; (1 _ _-r) {: 20xlg40.即l 2,可得100.且piv→0.所以p,< p2 100{.故D正确.故选AD. 所以。481 以,=33时,y-→-(e)-1 1x192-24.故答案为24. 由图可知.函数/(x)的零点个数为3.满足题意 11.(45) ④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为xi,x(x<x。),要使 解析:如图.设0B=OA=rcm,由题意知AM=AV= 必修第一册·S 学霸80 7 m.EF=12 em.DE=2 cm.所以 NF=5 em.PG=5cm.AP=5cm. 0.g(1)-hn1+2+ 因为AP=$ m.PG=5 cm.所以/AGP=45}因为BH/DG.所以 乙AH0=45°}因为AG与罔张AB相切于A点,所以0A1.AG.即 *()s()c0.所以函数g(x)=lnx-bx+a的零点所在区 2.D07。 问为()故选B. 3/2 =3,所以21-3 2,~252 2,解得,。 2V2.等腰直角三角形0A的面积s-x2v2x2v2-4(em}), -=1.5倍.故选C. _--- 1.50 7. A 解析:由于/(x)为偶函数,g(x)=log。1xI也是偶函数,则只需 要y=/(x)的图象与函数g(x)=log.l|x1在(0.+)上恰好有3个 交点,则a>1.根据/fx+2)=f(x)可得y=f(x)的周期为2.作出函 数图象如下: # , 第8章 章末检测 1. C 解析:由题意,第一次经过计算发现/(0)<0./(0.5)>0.可得其 y=/(x)的图象与g(x)=log.1xl在(0.+x)上恰好有3个交点,则 算/(0.25).故选C. a1.同时满足g(3)=log.3<1且g(5)=log.5>1.故3ca<5.故 2. C 解析:由题意,作出散点图如下。 选A. , B. B 解析:当x<0时/(x)>0,则//(x))=/(-x+1)=(-x+1)-3- ?-2r-2: 当0xv3时f(x) 0.则/f(x))=/fx-3)=-(-3)+1= -r?+4: 当v3时f)=0.ffx)=f(-3)=(-3)-3= -6^+6 (-2x-2.xc0. /((x)= -2+4.03. 由散点图可知,散点图和对数函数图象接近,可选择y“a+log。x反 -6r}+6x=. 映x.v函数关系.故选C. 当v3时,= -6+6=(-3)-3.1=-3单调递增,且 3. A 解析:由题意,得关于x的方程sinx+x-3=0的唯一解在区间 0.此时y=-3单调递增 y=(-3)-3在[③,+)单调$ 递增,y=-3,画出函数图象,如图; 零点在区间(-“) $(k=Z)内.由f(2)=sin2+2-3= #i 2-ko.且()- -30- 55 5n5 11 22 -.---- ..... 函数(x)=snx+r-3的唯一零点在区间(.)(ke 乙) -3-2-1344 内,所以k=2.故选A. 4. B 解析;利用二分法检测,每次取中点,煤接点数减半,不妨设需 <1.即2=60.因为2<60<2,故n的最小值 函数y=f/(x))-k有3个不同的零点,等价于y=f/(x))和y=& 有3个不同的交点,则观察图象可得1<k4.故选B. 为6.即至少需要检测6次.故选B. 5. B 解析:由图象,得点(-1.0).(0.-1)在函数f(x)的图象上,所 .(1)1>0.所以/()(1)<0.且/(x)的图象是一条连 1--2. 续不断的曲线,根据零点的存在定理,可知.= ().使得 (0.+).因为y=lnxy=2-均在区间(0.tc)上单调逃增. /(x.)=0.故A正确; 所以g(t)=1nst2x-寸在区间(0.+×)上单调逃增,()- 对于B,设g(x)=e'-3x,则g(0)=1>0,g(1)=e-3<0,所以 #3.-0#()-1寸-寻-2 g(0)g(1)<0.且g(x)的图象是一条连续不断的曲线.根据零点的 存在定理,可知xe(0.1).使得g(x)=0.故B正确; 对于C.设 (x)=x -3r+1,则0)=1>0.h(1)=1-3+1=-1 参考答案 学霸81 所以,h(0)h(1)c0.且h(x)的图象是一条连续不断的曲线.根据 12. 25 解析:设比例系数为&,根据题意得-k.把v-400.r-3代 零点的存在定理,可知3x。e(0.1),使得i(x)=0.故C正确; 对于D,设(x)=4}-4v5x+5,因为i(x)=(2x-v5)→0恒成立 不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,故D错误。 故选ABC. 为25. $0. ACD 解析:对于A.令1=5.可得y=3x2=96>90.所以在计算 机开机后使用5分钟时,该计算机病毒会占据内存超过90KB 故A正确; _ 对于B.因为3x2*-3x2=3x2不是定值,可知计算机开机后. 该计算机病毒每分钟增加的内存不相等,故B错误; 方程fx)=b有且仅有1个实数根,即+=b与v=f(x)的图象有 对于C.因为3x21-3x2 --1.所以计算机开机后,该计算机病毒 3x2 每分钟的增长率为1.故C正确; 画出函数y=/(x)的图象,由图可知当y=b与y=/f(x)只有1个交 (3x2t6. 点时,bs0或1. 对于D.由题意可得 寻 3x2-9.可得(3x2t)(3x22)-3(3x 3x23=18. -__.- 2).则22=23,即11=,故D正确 ._......-..=b 故选ACD. 11. ACD 解析:当o<xc1时.log1x>o.则/(x)=loglx.易得f(x)在 一) (0.1)上单调递减,且/(x)>/(1)-0. _) 当1<x<4时,lngxco.则/(x)=-log x,易得(x)在[1.4)上单 -------.-.--- .-一6 调递增,且f1)<f(x)cf(4),即0<f()<2. 故答案为士:b=0或士<1. 当4<×\14时.(x)40()4:in(),则 14.1 解析:由题意知e'+(1-a)x=lna+lnx.得e+x=ax+lnax. 由(x)=4sm()xe[4.14]的图象,可知()在[4. 即+x=e“+lnar.设/(x)=e'+x,xeR.则f(x)=e'+x在B上 单调递增,则由e+x=el“+lnax可得x=lnax,e”=ax,而实数xa 8)上单调递减,在[8,14]上单调递增,且/(4)=4sin 是关于x的方程e’+(1-a)x=lna+lnx的解,即eo=ax。,故 “) -2.(5)_4nin(。)-0./(8)-4 n(4) axo eax。eaxoe 重难点拔 4(11)-4 in(,)-0、(14)-4 in(7、)-4. 将e (I-a)x=lna+lnx变形得到e'+x=en“+lnax,从而结合 f$x)=e’+x,xeR的单调性推出e'=ax,即e'o=axn,即可求慨 从而利用对数函数与正弦函数的性质,画出图象,如图所示. 15. 解:f(-1)=9.if(1)=-7.因为f(-1)/(1) 0.f(x)为B上的连续 函数,所以函数f(x)在(-1.1)上必存在零点,设为x。列表如下: 中点的值 区间 中点函数值符号 (-1.1) 0 21 __ (0)=-1c0 (-1.0) -0.5 (-0.25)-_。 (-0.5.0) -0.25 对于A.因为方程/(x)=m有四个不等的实根,所以/(x)的图象 (-0.25.0) 与y=a有四个交点,所以0<m<2.故A正确; -0.125 对于B,结合选项A中分析可得log x.=-log x2,所以log (x· (-0.125.0) -0.0625 63 x)=0.则x:x.=1.故B错误; 对于C.D.由正弦函数的性质结合图象可知(x3m)与(x.n)关 于直线x=8对称,所以x+x.=16.又当0<x<1时f(x)=log. 所以x=(-0.125.-0.0625)因为-0.125.-0.0625精确到0.1 的近似值都为-0.1,故所求近似值为-0.1. .<1.4<<5,所以4<16-x<5. 16.(1)解:若函数y=f(x)是偶函数,则f(1)=f(-1).即11-al= 得11<i.<12.所以xx。=(48.55).故C正确; l-1-al,所以l-a=-l-a或1-a=1+a,所以a=0,此时f(x)= 又由图象可知x1x.同增同减,所以x.x=(1.5),故D正确 1xl.f-x)=(-x)1-xl-x1xl=/(x),满足/(x)为偶函数,所 故选ACD. 以=0 方法总结 (2)证明:因为g(x)=/(x)-10=x}1x-al-10,所以g(2)=412- 诵数零点的求解与判断有以下方法 l-10=4l-21-10.$4)=1614-al-10=16la-41-110因 (1)直接求零点:令/(x)三0.如果能求出解,则有几个解就有几个 (2.3).所以a-2s(0.1).a-4(-2.-1).所以g(2)=4la-21- 零点: $0 (-10,-6).g(4)=16la-41-10=(6.22).所以当a=(2.3) (2)零点存在性定理:科用定理不仅要求涵数在区同[a,b]上是连续 时,g(2)g(4)<0恒成立,故函数y=g(x)在[2.4]上有零点. 不断的函线,且(a)·f(b)<0.还必须结合函数的图象与性质(如 17. 解:(1)由题意知C(0)-6-50.解得去300.则y-130 , 单调性,奇偶性)才能确定涵数有多少个零点; 3000 (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个涵数的差,画两个函数 20+0.6-600.6(x20. 的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点。 x+6 必修第-册·S 学霸82 (2)由于x0.故y-6000 专题探究13 :+6 数学文化与探究创新 /6000 3 1. B 解析:因为A*B=|xIxEAUB且xAOB =[BO(A)] 5 x+6 [A(CB)],所以(A-B)A=|A[f(A-B)]|[(AB) 3 3(x+t6),即x-=94时,取得等号,即当太阳能电池板的面积为 $A)]=(AB)U[BO(fA)]=B.故选B 94m2}时,y取得最小值,最小值是116.4万元 2. B 解析:由题意得;集合A=1.2.3.,nl的非空子集中,除去集 18. 解:(1)散点图如下图,最恰当的一个函数模型为②S.=ar*.将点 合n,还有2^-2个非空集合,将这2-2个子集分成两类: 第一类:包含n的子集:第二类:不包含n的子集。 (30.5)代人s.-a?,得5-a·30”,解得a-180所以s.-18o{} 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系;f:A→A 经检验,表中其余三点的坐标均满足S.-180.所以最恰当的函 n,其中A.是第二类子集,显然这种对应是一一映射. 设A.的“交替和”为k,则AUn的“交替和”为n-k,这一对集合 数模型为②. 的“交替和”的和等于n.所以A的所有非空集合的“交替和”总和 为(2-2)xn+an=n·2-1.故选B. ..---......---. 3. AC 解析:对于A.若minA=minB.则A.B中最小的元素相同,则 d=0.故A为真命题;对于B.取集合A=|1.21.B=10.21,满 足minA>minB.而d.=0.故B为假命题;对于C.若d.=0,则A. B中存在相同的元素,所以交集非空集,故C为真命题:对于D.取 集合A=1.21.B=2.3|.C=3.4l.可知d=0d=0.d=1. (2)由(1)知,s-sS+5:-15180为v的增函数. 则d+dcdc不成立,故D为假命题.故选AC. 4. D 解析:对于A=N*.B=N.存在函数/(x)=x-1.xeN*.满足: ①B=f(x)lxeAl;②对任意xt,x:eA.当xi<x:时,桓有/(x。) f(x),所以选项A是“保序同构”,对于A=xl-1x53|,B=xl 以该车不超速 (-8=-1. 方法2:当5=51时.15180 x=-8或0x10,存在函数/(x)= 满足: (r+102)(r-90)=0,又v>0.所以t=90.因为90<100.所以该车未 超速行驶. ①B=/{x)lxEA;②对任意x,3EA.当xix。时,恒有fx) 19.(1)解:由题意,函数y=2r+1.定义域为R.所以1f(x.)-f(x)1- fx),所以选项B是“保序同构”;对于A=xl0<x<1,B=R,存 在函数(x)-tan(m).满足:①B=(x)1xeAl;②对任意 21.-x1=12x-2r1-21x-x1=0,所以函数y=2x+1是”2-利 普希兹条件函数”。 对函数y=,因为(x-fx)-2l -=l-1-2l.-l= 对A.当i,<x。时,恒有f(xu)(x),所以选项C是“保序同 lx.-x1(lx+x。1-2).当lx.tx。12时,则!f(x)-f(x)! 构”,对于A=Z.B=0.不存在函数/fx),不是“保序同构”,所以 2lx.-x.1>0.所以函数y=x*不是“2-利普希兹条件函数”. 选项D不是“保序同构”.故选D (2)解:若函数(x)-1 -(1→1)是“2-利答希兹条件函数”,则 ).因 对于定义域[1.+)上任意两个x,x(x.x),均有1/(x)- 此/(x)为”不动点”函数,A正确.对于B.由f(x)=x.得+5+x- 1/x)-fx)! fx)1x-x1成立,不妨设x、>x,则 3=.即 +5=3.即x+5=9.解得x=+2.经检验符合题意,因$ _() l2.~x。1 此/(x)的不动点为+2.B错误.对于C.当x1时J(x)=2r}-3.由 $f$)=x.得2r}-3=x,解得x=-1;当x>1时,f(x)=12-xl,由$ f(x)=x.得12-x1=x.无解.因此函数/(x)只有一个不动点.C错误 lr.-r:1 对于D.设该不动点为1.即/(t)=t.由/f(x)-+x)=/(x)-r}+x. 得/(x)-?+x=t.即/(x)=x”-x ,于是r-=.解得;=0或11. (3)证明:因为函数g(x)=x+a(D1)是“2024-利普希兹条件函 当t=0时,/f{x)=x}-x.由/f{x)=x.得x?-x=x.解得x=0或x= 数”,所以lg(xi)-g(x)1<2024lx.-x。1在B上恒成立,即 此时/{x)有两个不动点,不符合题意.当t=1时/(x)=2-x+1,由 tI.-x12024lx-x1在R上恒成立,由1-x.1>0,得1< x)=x.得x2-x+1=x.解得x=1./(x)只有一个不动点,符合题 2024.因为x。是涵数g(x)的零点,则g(xo)-0.即xo---,又 意,因此/(x)=x-x+1.D正确.故选AD 6. AB 解析:由题意知L(1.x)=-L(x.1)=lnx.所以L(x.1)= x。是函数/(x)的零点,则/(xo)=0.又f(g(xo))=g/(xo)).,所 -ln. 以/(0)=g(0).面/(0)=sin0=0.g(0)=a,故n=0得g(x)=t. 当1时,L(n.r)=L(1,)-L(1,u)=lnr-ln, 设(x)=f(g(x))-g(f(x))=sin(tx)-tsin x.1<is2 024.由 当l时.L(.)=(.l)-(r.l)=L(1.)-L(1.)=ln-ln (一)-sn_.)- 当nl<时.r)=L(a.l+(l.]=L(l.)-(1.)=ln ln. (20.得^(一)^(3”)c0.由零点的存在性定理知函数h(t)在 当r=I或u=1时,L(u,v)=lnr-nu也成立. 综上所述,L(n,v)=lnt-Inu. 对于A:()-1n-1n-1 2,(。)-1n 9- 参考答案学霸83