8 专题探究11 与二次函数有关的零点问题&专题探究12 复合函数的零点问题-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

专题探究11与二次函数有关的零点问题 题组。方程的两实根与实数k的大小比较 1.(2024·江西抚州高一期末)已知关于x的方 n.(-2] 程2kx2-2x-5k-1=0的两个实数根一个小于 6.(2024·山东青岛高一月考)已知函数f(x)= 1,另一个大于1，则实数k的取值范围是 ax2-4x-1(a≠0)在区间(-1,1)内恰有一个 零点，则满足条件的所有实数a的集合是 A.(0,+e) B.(-1,0) A.(-3,0)U(0,5) C.(-9,-1) B.[-3,0)U(0.5] D.(-∞，-1)U(0,+0) C.1-4}U(-3,0)U(0,5》 2.已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大 D.-4|U[-3,0)U(0.5] 于2，则实数m的取值范围是 ）7.(2024·广东阳江高一期未)已知函数f(x) A.{ml-5<m≤-4或m≥4 x2+mx+n(m,neR)在区间(1,2)内有两个零 B.{ml-5<m≤-4 点，则2m-n的取值范围是 C.{mlm>-5} 8.(2023·湖北襄阳高一期末)若函数(x)= D.{ml-4≤m≤-2或m≥4 x2-6x+2+a在区间(1,4)内有零点，则实数a 3.(2024·浙江温州高一期末)已知函数f(x)= 的取值范围是 x2-ax+a有两个大于1的零点x1,2,则x+x 题组目与二次函数有关的复合函数零点问题 可以取到的值是 9.若关于x的方程9+3-m+1=0有解，则实 A.1 B.5 C.8 D.10 数m的取值范围是 () 题组日方程的根在区间上的分布 4.若函数f(x)=x2-2x+a在区间(-2,0)和 A.(1,+0) (2,3)内各有一个零点，则实数a的取值范 C.(-,3] D.(1,3] 围是 ( 10.已知函数f(x)=(log2x)2+3log2x-m在区 A.(-3,0) B.(-3,+0) 间[1,2]上有零点，则实数m的取值范 C.(-,0) D.(0,3) 围是 5.（2024·浙江杭州高一期末)已知一元二次方 ( 程x2+mx+1=0的两根都在(0,4)内，则实 A.[0,4] B.[1,4] 数m的取值范围是 C.[0,2] D.[1,2] ( 11.(2023·云南大理高一期末)已知关于x的 A(-2]u[2.*) 方程lg2x+algx+b=0的两个不相等的实数 R(3,2]u2+) 根分别是x1,x2,若x1·x2=100,则a+b的取 值范围是 () c(-2 A.(2,100) B.(-0,-1) C.(-1,100) D.(-,2) 必修第一册·SJ学霸150 专题探究12复合函数的零点问题 题组口零点的个数 4.(2023·河南信阳高一期末)已知函数f(x)= 1.(多选)(2024·江苏盐城高一期中)已知函数 3+3 3t≤1， y=f(x)和y=g(x)在[-2,2]上的图象如图所 则函数F(x)=几(x)] 示，给出下列四个命题，其中正确的命题有 1log3(x-1)1,x>1. 3x)-2的零点个数是 A.6 B.5 =) C.4 D.3 题组国根据零点个数求参数范围 (ei,>0 5.已知函数f八x)= 若方程 -x2-2x+1,x≤0， A.方程f八g(x))=0有且仅有6个根 [f八x)]2+bfx)+2=0有8个相异实根，则 B.方程g(f(x))=0有且仅有3个根 实数b的取值范围是 () C.方程f八x)=0有且仅有4个根 A.(-4,-2) D.方程g(g(x)=0有且仅有4个根 B.(-4,-22) 2.(2024·山东淄博高一月考)已知函数f代x)= C.(-3,-2) 1 D.(-3.-22) 4xt0, x 则当a>1时，方程f(x)-(a2+ 6.(2024·广东深圳高一期末)已知函数f(x)= log2(-x）,x<0, 1,x=1, 若方程[f代x)]2+af代x)+ a)f八x)+a=0的根的个数是 (|1nlx-11|,x≠1， b=0有9个不同实根，则ab的取值范围是 A.3 B.4 C.5 D.6 A.(-,-2)U(-2,0) 3.(多选)(2023·河南郑州高一期末)已知函数 B.(-∞，-1)U(-1,+) kx+1,x≤0 f(x)= 下列是关于函数y= l0g2x,x>0. 几八x)]+1的零点个数的判断，其中正确 D.(-2,+) 的是 7.(2023·广东广州高一期未)设函数f(x)= A.当>0时，有3个零点 x+-,x>0, x2+2x,g(x）= 若函数h(x)= B.当k<0时，有2个零点 -x2+3,x≤0. C.当>0时，有4个零点 g(f(x))-a有6个不同的零点，则实数a的取 D.当k<0时，有1个零点 值范围为 第8章学霸1512g27=3 m),所以它的善迷为子以故答案为号 它的飞行速度大约增加8（米/秒）. 20.解：(1)当总质比为410时，r=2000n410.由参考数据得#= 第2关（练准确率） 2000×6=12000W,.当总质比为410时.A型火箭的最大速度 12.C解析：因为第二次加满油箱，加了60升，所以从第一一次加油到 约为12000m/8 第二次加油共用油60升.行驶600千米，所以在这段时间内.该 (2)由题意，经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速 车每100千米平均耗浦量为公=10（升）.故选C 度为300ms,总质比变为 要使火箭的最大速度至少增加 m 13.B解析：设绿化以城小矩形的宽为xm,长为ym, M M 1000m/s.则需3000lm 200 则3河y=200.y=3x ≥100.化简.得3加 故矩形区域ABCD的面积S=(3x+4)(y+ 5m M1 M 2)=(3x+4) 200. 800 ≥1，ln ≥1，整理得n 1 +2=208+6x ≥208+21600=288. 125m 3x 3x M 当且仅当6x 800 20 3江，即时取等号。 125m e,则≥125e,由参考数据，知e每2.718.125×e 339.75,∴.材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为340 ,矩形区域ABCD占地面积的最小值为288m2故选B 第3关（练思雏宽度） A 14.A 解析：令C。 1130 21.B1 2 =75%C。,方程两边取对数得 折设y-(2）宁+2a18+2131605 2 2=49,yr=4×16+0.5x2=65,c=2×16+0.6×2=33.2,yn=3x16+ 5730g:2b8:手=lg:3-l:4,即-3730=6e:3-2,又 0.6x2=49.2,yc≤ya<yn<y8A,和14T列均为正常数，9>g4> l0g3=1.585,故1=5730×(2-1.585)=2377.95,2023- 9>96,B型玻璃保温效果最好 2377.95=-354.95,由于-475<-354.95<-221，故推测该文物属于 22.解：(1)由题意，知空气的温度为20℃，水温从100℃自然冷却到 战国时期，A正确故选A 15.D解析：设普通列车和高速列车的声强分别为/1,2，由L,= 0℃用时0分钟.则60-20=(10-20·6".甲。”=子，所 得g 10g100 则6=g4-s=5204520-5. L+20 1010 以})月 所以=10故选D 当0≤1≤2时，依题意设8=m+20.则2m+20=100.解得m=40. 所以8=40+20： 16.CD解析：对于A选项.P()=R(x)-C(x)=-20x2+2500r 当1>2时.依随意.得8=20+(100-20)e-2.即9=20+80× 400,二次函数P()的图象开口向下，对称轴为直线x=20 40 62.5.因为x∈N°，所以P(x)取得最大值时每月产量为63台或 ()月 62台，A错误： 40+20.0≤1≤2 对于B选项.MP(x)=P(x+1)-P(x)=[-20(x+1)2+2500(x+ 综上所述，6 1)-4000]-(-20x2+2500x-4000)=2480-40x(x∈N), 20(） ,1>2 B正确： 对于C选项，P(x)m=P(62)=P(63)=74120,因为函数 1 .解得1=62.即从开始烧水算起.水 MP(x)=2480-40x为或函数，则MP(x)m=HP(1)=2440, (2)由40=20+80×2J C正确： 温从20℃升到100℃.再冷却到40℃.用了62分钟.因为96> 对于D选项，因为函数MP(x)=2480-40r为减函数，说明边际利 62,所以保温管加热过，因为保温管加热时水温上升速度是正常 润函数P(x)随着产量的增加，每台利润与前一台利润差赢在减 烧水时的一，所以保温管加热时，水温每分钟升高10℃，所以水 少，D正确.故选CD 17.2解析：依题意，得八A)= 10 12.解得A=4,故2)=g2 温从40℃升至80℃，所用时间为800 4分钟，假设水温从 10 4=3,解得a=子从面以=之4=2故答案为2 0℃降至0要4，分种.则0-20=(0-20)×（）产即 4 11解析：当1=0时，P=P,当=4时，P=(1-80%)· Pa=P。·“,即0.2=6“，所以k= h2=-n5设经过1小 1 (传)产5为（）产 ,所以1>30，即水温从 时后能够按规定排放废气，即P=P。·e学≤025%P。,即 80℃冷却至40℃所用时间超过30分钟，因为62+4+1，=66+11> 96,所以从开始烧水算起.96分钟内保温管只加热过1次，所以当 1≤血0.256，所以1·n5≥8h20,解得1≥8n20 In 5 81og520= In 5 66≤t≤66+t1时.=20+(80-20)× 2 =20+60× 8(2l0g2+1)=14.88,所以正整数程的最小值为15-4=11.故答案 为血3 ”,所以当1=96时.8=20+60× =50,所以从 19.解：(1)依题意，有1280=10×25，即23=128.又128=21.所以 开始烧水算起，96分钟后壶中水的温度为50℃ 2=2,所以5=7，解得=35，故该种焦子的飞行速度是 专题探究11与二次函数有关的零点问题 35(米/秒) 1.D解析：记(x)=2x2-2x-5k-1,由题意可知函数f代x)有两个零 (2)设该种燕子原来的耗氧量为Q,飞行速度为，则该种燕子的 点，所以k≠0.若>0，则/爪x）=2x2-2x-5k-1为图象开口向上的 Q=10x23 二次函数，要有两个零点且一个大于1，另一个小于1，则1)三 耗氧量为3Q时，飞行速度记为1，依题意，有 30=10x2号，所以 2k-2-5k-1<0,得k>-1.故>0：若<0，则/x)=242-2-5-1为 图象开口向下的二次函数，安有两个零点且一个大于1，另一个小 3=2片，则e3=写1-)2，则n= 5e25x0.48=8,所以 于1.则/1)=2k-2-5k-1>0.得k<-1.故<-1.综上可知，k<-1 0.3 或>0，即实数k的取值范用是(-g,-1)U(0,+x),故选D. 参考答案学霸77 2.B解析：方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根都大于2.则二次函数 8.(3,7]解析：由题意得x)=x2-6x+2+a=(x-3)2+a-7为连续函 y=x2+(m-2)x+5-m的图象与x轴的两个交点都在x=2的右侧. 数，且在(1,3)上单调递或，在(3.4)上单调递增，故八3)=-7， 如图，根据图象得方程的判别式4≥0：当x=2时函数值y>0:函数 f八1)=1-6+2+a=a-34)=16-24+2+a=a-6. (m-2)2-4(5-m)≥0 对你轴x=m- 所以只器0支价2.解得3≤7，故实数a的取的范 >2.即 4+2(m-2)+5-m>0.解得-5<m≤-4.故 用是(3,7].故答案为(3,7] 9.A解析：方程9+31-m+1=0有解，则(3)2+3×3-m+1=0 选B. 有解 令3=>0，则可化为2+31-m+1=0有正根.则2+31=m-1在(0. +g)上有解，又当1e(0.+学)时，2+3>0，所以m-1>0→m>1.故 选A. 易错提醒 1,对与复合函数有关的问题，要弄清楚复合函统由那些基本初等函 3.D解析：由已知函数x)=x2-m+a有两个大于1的零点1，， 数复合而成，并且一定要注意西数的定义城 即x2-+a=0有两个大于1的不等实数根，2，得 2.对可化为a产+b·a'+e=0或a5+b·a+c0(≤0)形式的方程或 不等式，常借助换元法解题，但应注意换元后”新元”的范围， 4=(-a)2-4a>0. 10.A解析：x)=(1ogx)2+3og2x-m在[1,2]上有零点，即m= 解得>4义，+=a,x2=a,故号+号= (log2x)2+3ogx在[1,2]上有解.令1=lg2t,由xe[1,2],得1e f1)=1-a+a>0, [0,1],则m=2+3.其中te[0.1].令g()=2+3,则g()在[0 (x12)2-21为=a2-2a=(a-1)2-1,由于y=(x-1)2-1在(4 1]上单调递增，所以g(0)≤g()≤g(1),即0≤g(〉≤4，所以 +x)上单湖递增，故(x-1)2-1>(4-1)2-1=8,即x+=(4-1)2 0≤m≤4.故m的取值范围是[0,4]，故选A. I>8.故结合选项可知x+子可以取到的值是10.故选D. 11.B解析：设=lg,则原方程化为2++b=0,其两个根为1= 4.A解析：已知雨数fx)=x2-2r+在区间(-2,0)和(2,3)内各有 gx1,2=g2.由根与系数的关系可得1+2=-a=g1+g2= g(xx2)=lg100=2,所以a=-2因为2-2+b=0有两个不相等 八-2)>0. (8+a>0, 的实数根，所以4=4-4钻>0.解得b<1,即a+b的取值范围为 一个零点，如图，则 /0)<0. r2)<0. 即a<0,解得-3<<0.故选A. (-∞，-1).故选B 3+a>0. f3)>0. 专题探究12复合函数的零点问题 1,AD解析：对于A,由题图知方程(t)=0有三个根，上1e(-2 -1),2=0,3e(1,2),由题图知方程g(x)=41有两个不同的根 y=x-2+ g(x)=2=0有两个不同的根，g(x)=3有两个不同的根，则方程 八g(x)=0有且仅有6个根，故A正确：对于B,由题图知方程 273 (4)=0有两个根，41∈(-2，-1)，42∈(0,1)，由题图x)=1只 有1个根，方程代x)=41有三个不同的根，期方程g(八x))=0有 且仅有4个根，故B错误：对于C,由题图知(x)=11只有1个根， 方程肌x)=2=0有三个不同的根，方程x)=3只有1个根，则方 5.D解析：设f(x)=x2+mx+1.由二次函数f(x)=x2+mr+1的两个 程八x))=0有且仅有5个根，枚C错误：对于D,由题图知方程 4=m2-4≥0. g(x)=1有两个不同的根，方程g(x)=2有两个不同的根，则方 用 程g(g(x))=0有且仅有4个根.故D正确.故选AD 17 零点都在区间(0,4)内，可得 0-2c4, 解得 <m至-2. 2.D解析：设=代x).则2-(a2+a)+3=0,即(1-a)(1-a2)=0.故 0)=1>0 11=a,2=a2.因为a>1,所以t1>1,2>1,同出f(x)的大致图象如图 UX4)=4m+17>0 因此，实数m的取值范调足(？-习小故选肌 y=a 6.D解析：由题意，在rx)=a2-4x-1(a≠0)中，其图象的对称轴为 直线x=4.2 -0 2a 函数在区间(-1.1)内恰有一个零点，所以4= (-4)2-4a×(-1)=16+4a.当t≠0.4>0时，只需f八-1)·f八1)<0， 即/I6+4a>0, {(a+4-1)(a-4-1)<0.解得-3<a<5,且a≠0，所以-3a<0,0< 由图象可知y=1与y=八x)共有6个公共点，故原方程共有6个根 故送D. <5,当a=-3时，八x)=-3x2-4x-1=-(x+1)(3x+1),在定义域内 3.CD解析：令y=几x)]+1=0,得八x)]=-1,设八x)=1.则方程 几代x)]=-1等价于f八)=-1， 的零点只有=了，符合要求，当4=5时)=5-4-1=( ①若>0，作出函数代x)的图象如图①，因为风)=-1，所以此时方 程/(1)=-1有两个根，其中2<0,0<41<1，由代x)=2<0,此时x有 1)(5x+1),在定义域内的零点只有￥=- 5,符合要求，当a≠0， 两个解，尺x)=1∈(0,1)知此时x有两个解，此时共有4个解 即函数y=几八x)]+1有4个零点 4=0,即a=4时)=-42-4-1=-(2+1)，零点为之符 ②2若k<0作出函数风x)的图象如图②.因为f()=-1,所以此时方 合要求，综上所述，实数a的取值范围为-4U[-3.0)U(0.5]. 程代)=-1有一个根1，其中0<11<1.f代x)=t1∈(0,1)，此时x 故选D. 只有1个解，邯函数y=几f八x)]+1有1个零点.故选CD 7(一2，-5)解析：记题设的两个零点为2，则任切-m由 (x1=n ,2e(1,2)知} 3<1+2<4, 3cx2+2<4. 所以9<(x1+2)(1+2)<16,所以 2m-n=-2(1+x2）x12=4-(+2)(2+2)e(-12,-5).故容案 为(-12.-5). 必修第一册·SJ学霸78 3+3 7.(2,3]解析：函数h(x)的零点即为方程h(x)=0的解.也即 4.B解析：已知代x)= 3 x≤1 当x≤1时)=343 g(八x)=a的解，令1=八x),则原方程的解变为方程组 1g3(x-1)1,x>1 3 3-l+1,当>1时fx)=Ilg3(x-1)1,作出其图像如图①所示 化8的解。 可知x)的值城为[0，+)，设1=fx),则e[0,+g), 作出函数y=f代x)和直线y=t的图象如图①所示由图①可知。 /x】 0 1 12 02 当>-1时，有两个不同的x与之对应：当=-1时，有一个x与之 则函数)=几欣)】-3x)2的零点向题即为函数y=)与 3+ 对恤：当1时，设有：与之对位自方程组留有6个 产3动+之的图象的交点问题，面) 3,0≤1≤1， 作出函 不同的x解知，需要方程2有三个不同的1，且都大于-1，作出函数 1log3(-1)l,>1, y=g()和直线y=a的图象如图②所示， 数y=),y=3+ 2 的图象如图②所示 可知y=)与y=3+2 的图象有两个交点，横坐标分别在(0.1)， (1,2)上，不妨设交点的横坐标为与1∈(0,1)，2e(1,2), 如图3，当41=fx)时，由爪x)图象和直线y=4.41∈(0,1)可知二 者有两个交点，即此抓))]-3)-子有再个零点： 由图②可知当a∈(2,3]时满足要求综上，实数a的取值范围为 (23].故答案为(2.3]. 第8章真题演练 3 衡 1C解析：因为代2)=3-1>0(4)=3一2<0，所以由根的存在性 当2=八x)时，(x)图象和直线y=,e(1,2)可知二者有3个 定理可知代x)零点所在区间为(2,4)，故选C 2.C解析：在同一坐标系中画出函数(x)的图象和函数g(x)= 交点，即此时x)=x)]-3x)- 2有3个零点，故函数) gx的图象，如图所示： 几门-3x)-的零点个数是5放选B 5.D解析：画出函数代x)的图象如图所示.由题意知，当x=-1时， 八-1)=2：当x=1时八1)=1.设=代x),则原方程化为2+M+2= 24 0,因为方程[爪x)]2+6八x)+2=0行8个相异实根.所以关于1的 方程2+N+2=0在1后(1,2)上有两个不等实根.令g()=2+M+2, 4=2-8>0. -3 1e(1,2,则1k2c2, 解得-3<b<-22.所以实数b的取 g(1)=b+3>0. g(2)=2b+6>0. 值范围是(-3.-22).故选D. 由函数图象.得两个函数图象共有3个交点故选C 3.C解析：函数g(x)=f八x)+x+a存在2个零点，即关于x的方程 八x)=-x-a有2个不同的实根，即函数代x)的图象与直线y=-x 有2个交点，作出直线y■一x与函数x)的图象.如图所示： =f(xi -3/-2-101231 -1 2-1 /个、23x (第5题) (第6题) 6.A解析：画出爪x)的函数图象如图所示，由图可知，若方程 、、 fx)]2+afx)+b=0有9个不同实根，则代x)=1或fx)=t,其中 0<<1或>1，令g(t)=2+a+b,则g()在(0，+x)上有两个零点. 由图可知-a≤1，解得a≥-1故选C g(1)=1+a+b=0. 方法总结 其中…个零点为1.则{4=a2-4>0. 解得a<-1且a≠-2. 解决此类胞的关键：一是会转化，先把面数的零点问随转化为方程 g(0)=>0, 的根的问愿，再转化为两个函数固象的交点问腿：二是会借形解题， 所以ab=a(-4-1)=- 1121 a+2)+年，所以bc0且ab≠-2故b 即作出两函数的图象，数形结合可快速找到参数所满是的不等式： 解不等式印可求出条数的取值范围. 的取值范围是(-x,-2)U(-2,0),故迹A 参考答案学霸79