第8章 函数应用（举一反三讲义·基础篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学函数应用单元复习讲义以八大基础题型为框架系统构建知识体系，通过题型归类梳理函数零点、零点存在性定理、二分法及指数对数幂函数模型等核心内容，用表格对比不同函数模型增长差异，清晰呈现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“基础巩固-能力提升”的分层练习设计，如二分法求近似解结合表格数据分析培养数学思维，指数模型解决血氧饱和度问题强化数学语言表达现实世界的能力。基础题夯实概念理解，综合应用题提升建模能力，助力不同层次学生自主复习，也为教师精准教学提供系统资源。

第8章 函数应用全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求函数的零点 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 【答案】C 【解题思路】求出函数的零点即可得解. 【解答过程】由，得或， 所以函数的零点是和6. 故选：C. 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【解题思路】直接解方程即得函数的零点. 【解答过程】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D. 3．（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）函数的零点为 ． 【答案】或 【解题思路】根据题意，令，得到，即可求得函数的零点，得到答案. 【解答过程】由函数，令，可得，解得或， 所以函数的零点为或. 故答案为：或. 4．（24-25高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 【答案】(1)无零点 (2)1 【解题思路】令得到方程，求出零点 【解答过程】（1）在中令，得， 又此方程无解， 所以函数无零点. （2）在中令，得， 解得， 所以函数的零点为1. 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 【答案】(1)存在零点，零点是和 (2)存在零点，零点是 (3)存在零点，零点为和 【解题思路】根据零点的概念求解即可. 【解答过程】（1）令， 得或， 所以函数存在零点，零点是和． （2）令， 得， 所以函数存在零点，零点是． （3）当时，令， 解得（舍去）； 当时，令， 解得． 所以函数存在零点，零点为和． 题型2 零点存在性定理的应用 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由零点存在定理即可求解. 【解答过程】易知是上的增函数，又，，所以的零点所在区间是． 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用零点存在性定理判断各区间端点处的符号即可得出结论. 【解答过程】易知函数在上单调递增， 易知， ， 满足，因此的零点所在区间为. 故选：C. 3．（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合对数函数性质分析当时，，判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理判断结论. 【解答过程】当时，，所以， 故，所以函数在上没有零点， 设，且， 则， 故，， 所以，故函数在上单调递增， 又，， 所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由函数单调性以及零点存在定理得，由此即可得解. 【解答过程】因为和均单调递增，所以也单调递增， 又注意到， 所以由零点存在定理可知函数的唯一零点， 所以，即有. 故答案为：. 5．（2025高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据函数单调性，结合函数零点存在定理即可得到答案. 【解答过程】因为在上均为增函数， 则函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则，可得． 故答案为：. 题型3 用二分法求近似解的条件 1．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【解答过程】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C. 3．（2025高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解题思路】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可. 【解答过程】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且， 即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值． 对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合， 因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值． 故选：C. 4．（24-25高一下·浙江·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【解答过程】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 5．（24-25高一上·河南信阳·期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（写出所有符合条件的序号） 【答案】（1）（3） 【解题思路】根据二分法所求零点的特点，结合图象可确定结果. 【解答过程】用二分法只能求“变号零点”， （1），（3）中的函数零点不是“变号零点”，故不能用二分法求， 故答案为：（1）（3）. 题型4 用二分法求方程的近似解、函数的近似值 1．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【解题思路】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【解答过程】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【解题思路】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【解答过程】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C. 3．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 【答案】 【解题思路】利用二分法的定义可得出，求出正整数的最小值，即可得解. 【解答过程】由于每等分一次，零点所在区间的长度变为原来的， 则等分次后的区间长度变为原来的， 由题意可得，可得，且， 所以，正整数的最小值为，即至少等分的次数为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 【答案】 【解题思路】由零点的存在性定理，用二分法，逐步计算，直到区间长度小于等于为止，最后所得区间内的任何一个数均可作为函数的零点. 【解答过程】经计算，， 所以函数在内存在零点， 取的中点， 经计算， 因为， 所以， 如此继续下去，如下表： 区间 中点值 中点函数近似值 因为， 所以函数在区间内误差不超过的一个零点近似值可取为． 5．（2025高一上·江苏·专题练习）用二分法求在内的近似解（精确到）．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 【答案】 【解题思路】根据题意，结合二分法的计算步骤，逐次计算，即可求解. 【解答过程】令，则， 区间 区间中点值 的值及符号 因为与精确到的近似值都为， 所以在内的近似解可取为． 题型5 指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由指数函数、幂函数、对数函数及一次函数的性质即可判断. 【解答过程】根据题意，四个函数分别对应指数函数、对数函数、幂函数和一次函数，且都是增函数， 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数的函数值的增长速度最快． 故选：A． 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断. 【解答过程】为一次函数，为对数函数，为幂函数，为指数函数， 指数函数，当时呈爆炸式增长，当x足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 【答案】A 【解题思路】根据指对幂函数的图象分析三个函数的增长情况，即可得答案. 【解答过程】在同一坐标系中画出的图象，如图所示， 结合图象，当时，函数均为增函数，A正确； 当时，的增长速度不是一直快于，B错误； 当时，的增长速度不是一直快于，C错误； 当时，的增长速度不是一直快于，D错误． 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 【答案】① 【解题思路】结合四种函数的增长差异即可判断． 【解答过程】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 【答案】①② 【解题思路】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论. 【解答过程】在同一坐标系内画出的函数图象， 当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 当时，，故当时，A总走在最前面，①正确； 当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确； 当时，， 当时，， 由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度， 故时，B走在C前面， 当时，走在后面，③错误. 故答案为：①②. 题型6 幂函数模型的应用 1．（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 2．（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 3．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 【答案】125 【解题思路】利用代入法，结合指数幂的运算定义进行求解即可. 【解答过程】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元， 所以，即 当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半. （1）求的值； （2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？ 【答案】（1）；（2）年. 【解题思路】（1）设今年碳排放量为，则由题意得，从而可求出的值； （2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，再把代入解关于的不等式即可得答案 【解答过程】解：设今年碳排放量为. （1）由题意得， 所以，得. （2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的， 则， 将代入得， 即，得. 故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的. 题型7 指数、对数函数模型的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 【答案】A 【解题思路】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【解答过程】设使得血氧饱和度达到，给氧时间至少还需要（t－1）小时， 由题意可得， 即， 两边同时取自然对数并整理，得 ， ， 则， 则给氧时间至少还需要0.5小时． 故选：A. 2．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可. 【解答过程】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 【答案】 【解题思路】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【解答过程】由题得， ，代入得，解得， 所以，当时，解得， 即降温到，需要的时长为 . 故答案为：. 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 【答案】(1)10 (2) 【解题思路】（1）先利用声强级和声强的计算公式结合已知条件求出，再根据对数的运算性质求解即可； （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【解答过程】（1）解法1： 依题意可知当时，，即，解得， 若声强级增加，即， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． 解法2： 依题意可知当时，，即，解得， 所以，则 若声强级增加，则， 所以当声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍． （2）显然在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以李明早读时读书的声强级范围为（单位：）． 5．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 【答案】(1) (2)天狼星、牛郎星、织女星 (3)该恒星距地球的距离大于光年（答案不唯一，符合题意即可） 【解题思路】（1）由题意可得：，结合题意圆求解即可； （2）整理可得，结合题意分析求解即可； （3）根据题意可得，进而分析即可. 【解答过程】（1）设太阳、天狼星的视星等是，亮度分别为， 由题意可知：，可得， 所以太阳与天狼星的亮度之比为. （2）因为，可得， 则随着增大而增大， 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 由表可知：由小到大依次为：天狼星、牛郎星、织女星， 所以这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序为：天狼星、牛郎星、织女星. （3）若一颗恒星的视星等大于绝对星等，则， 可知， 所以该恒星距地球的距离大于光年. 题型8 二次函数模型的应用 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【答案】A 【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【解答过程】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解. 【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为， 设所建造的禽舍总面积为， 则， 所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值. 故选：D. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s． 【答案】2 【解题思路】根据二次函数性质求得，即得函数解析式，再由求解集，根据所得解集区间长度即可得答案. 【解答过程】小球的飞行高度与飞行时间之间满足二次函数， 二次函数的对称轴方程为，又小球飞到最高处时用了2s， 所以，解得，故， 令，即，解得， 故小球的飞行高度不低于15米的时长为． 故答案为：2. 4．（24-25高一上·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)或时，公司获得最大利润为74120元． 【解题思路】（1）由利润是总收入与总成本之差即可求解； （2）通过配方法即可求解； 【解答过程】（1）利润是总收入与总成本之差，所以． （2）， 所以当或时，公司获得最大利润为74120元． 5．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【解答过程】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 函数应用全章八大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 求函数的零点 1．（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）函数的零点是（    ） A．和 B．和 C．和6 D．3和6 2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 3．（25-26高一上·辽宁抚顺·期中）函数的零点为 ． 4．（24-25高一·江苏·假期作业）求下列函数的零点： (1)； (2). 5．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)； (2)； (3) 题型2 零点存在性定理的应用 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·期末）函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的零点，则的值为 ． 5．（2025高一上·江苏·专题练习）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 题型3 用二分法求近似解的条件 1．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一下·浙江·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河南信阳·期末）下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是 .（写出所有符合条件的序号） 题型4 用二分法求方程的近似解、函数的近似值 1．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为 . 4．（24-25高一上·全国·课堂例题）用二分法求函数在区间内的一个零点的近似值．（误差不超过0.01） 5．（2025高一上·江苏·专题练习）用二分法求在内的近似解（精确到）．参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.437 5 1.5 1.625 1.75 2x 2.18 2.38 2.59 2.71 2.83 3.08 3.36 题型5 指数、对数、幂函数模型的增长差异 1．（24-25高一上·全国·周测）下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·云南昭通·阶段练习）下列四个函数中增长速率最快的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．当时，函数均为增函数 B．当时，的增长速度一直快于 C．当时，的增长速度一直快于 D．当时，的增长速度一直快于 4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 5．（24-25高一上·北京顺义·期末）A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 . ①当时，A总走在最前面； ②当时，C总走在最前面； ③当时，一定走在前面. 题型6 幂函数模型的应用 1．（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 2．（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为 (为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元. 5．（24-25高一上·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半. （1）求的值； （2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？ 题型7 指数、对数函数模型的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧（    ） （精确到0.1，参考数据：） A．0.5小时 B．0.6小时 C．0.7小时 D．0.9小时 2．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（24-25高一上·江苏·阶段练习）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 4．（24-25高一下·广东汕头·期末）声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：），指的是人能听到的最低声强．已知人能承受的最大声强为，对应的声强级为． (1)若声强级增加，则声强变为原来的多少倍？ (2)若李明早读时读书的声强范围为（单位：），求他早读时读书的声强级范围（单位：）． 5．（24-25高一上·北京·期中）天文学中用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反应恒星的真实发光本领．如果两颗恒星的亮度分别为，视星等分别为，那么 (1)已知太阳的视星等是，夜空中最亮的恒星天狼星的视星等是，求太阳与天狼星的亮度之比；（保留两位有效数字，） (2)如果一颗恒星的绝对星等，视星等分别是，距地球的距离是光年，那么．已知天狼星，织女星，牛郎星的绝对星等，视星等如下表： 星体 视星等 绝对星等 天狼星 1.44 织女星 0.00 0.55 牛郎星 0.75 2.19 把这三颗恒星按照距离地球从近到远的顺序排序； (3)如果一颗恒星的视星等大于绝对星等，能由此推断出什么结论？ 题型8 二次函数模型的应用 1．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 2．（24-25高一上·河南·阶段练习）如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一上·全国·课后作业）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间满足，若小球飞到最高处时用了2s，则小球的飞行高度不低于15m的时长为 s． 4．（24-25高一上·河南开封·期末）某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 5．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $