8.1.1 函数的零点-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第8章 函数应用 8.1二分法与求方程近似解 第1课时 函数的零点 第1关练速度 10min为准，你的时间： 6.(多选)函数f(x)=x3+3x-2的一个正零点所 1.(2023·广东揭阳高一期末)函数f八x)= 在的区间不可能是 () log(x-1)-2的零点为 A.(3,4) B.(2,3) A.10 B.9 C.(1,2) D.(0,1) C.(10.0 D.(9,0) 7.(2024·浙江杭州高一期末)设函数f(x)=x+ 2.函数f(x)=(x-2)√x-4的零点个数是 og-m,若函数x)在区间（子，8）上存在零 ( 点，则m的取值范围是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.（多选)若函数y=(ar+1)(x+2)的唯一零点 c. 为-2，则实数a可取值为 (） n.(2,) A.-2 B.0 8.(2024·山东济南高一期末)设函数y=x3与 c n y=(兮广的图象的交点为(，)，且e 4.设f(x)在区间[a,b]上是连续的单调函数，且 (m,m+1),m∈Z,则m= f八a)·f(b)<0,则方程fx)=0在[a,b]内 9.方程1x2-2x1=a2+1(a>0)的解的个 ( 数是 A.至少有一实根 10.(2024·江苏苏州高一月考)已知函数 B.至多有一实根 f八x)=ax2-2x+1(x∈R)有两个零点，一个大 C.没有实根 于1，另一个小于1，则实数a的取值范 D.必有唯一实根 围为 5.(2024·湖南株洲高一期末)已知函数 11.(2024·江苏南京高一期末)已知函数f(x)= f八x)=2'+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零 3x-5,x<2, 点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为 若方程f代x)=m有且仅有 ( A.c<a<b B.a<c<b 2个实数根，则实数m的取值范围 C.b<a<e D.a<b<e 是 必修第-册·SJ学霸138 第2关练准确率8为准，你做对 题 B.x2=1 12.(2024·湖北十堰高一月考)函数f(x)= C.x3+x4=2 1 1nx6+1的零点所在的区间为 D.x(+x4)+2.<-22 xix2 17.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) x≥0时，f八x)= 2-1,0≤x≤1，则函数y 13.关于函数f(x)=3+x2+2x-1的零点，下列说 2x2-8x+7,x>1, 法中正确的是 3[f(x)]2-f(x)的零点个数为 ( A.函数f(x)在x<0时有两个零点 18.(2024·山东临沂高一期末)已知函数 B.函数f代x)在区间(0，+x)上有两个零点 f(x)= x-3,x≥a, 当a=2时，不等式f(x)< C.函数(x)的两个零点一个大于0，另一个 x2-2x,x<a, 小于0 0的解集是 若f代x)恰有2个零点， D.函数f(x)的一个零点为0，另一个零点小 则a的取值范围是 于0 19.(2024·江苏苏州高一月考)已知函数f(x)= 14.(2024·湖北武汉高一期末)已知定义在R x2+(m-1)x+1. 上的奇函数f(x)满足f(2-x)+f(x)=0,当 (1)若函数f(x)的图象与x轴的两个交点的 横坐标都在区间(0,2)内，求实数m的 x∈(0,1]时，f(x)=-log2x若函数F(x)= 取值范围： f(x)-sin mx在区间[-1，m]上有9个零点， (2)若关于x的一元二次方程f(x)=0在区 则实数m的取值范围是 ( 间(0,2)内有唯一解，求实数m的取值 A.[3,3.5) B.(3,3.5] 范围。 C.(4.5,5] D.[4.5,5) 15.(多选)(2024·江苏盐城高一期末)已知x1, x2为函数f(x)=2024*-1log(x-3)1的两个 零点，则下列结论中正确的有 A.(x1-4)(x2-4)<0 B.0<(x,-3)(x2-3)<1 C.(x1-3)(x2-3)>1 D.若x,<x2,则20243<2024 16.(多选)(2024·广东广州高一期末)已知函 数f(x)= x2-2x+1,x≥0， 函数y=f(x)-a In(-x)1.x<0. 有四个不同的零点，x2,3,4,且x<x2< x3<x4,则 A.a的取值范围是(0,1) 第8章学霸139 20.(2023·湖南湘潭高一期末)已知函数 第3关练思维宽度 难度级别：☆☆☆☆☆ f(x)=2lnx+(-1)"x2+2. 21.(2024·陕西西安长安一中高一期未)已知 (1)证明：当n=1时，f(x)在区间(1，e)上 flog:x,x>0. 有零点： 函数f八x)= 若关于 (2)当n=2时，关于x的方程八x)=m在区 a(兮厂≤0(a≠0 间[1,2]上没有实数解，求m的取值 x的方程几(x)]=0有且只有一个实数根。 范围 则实数a的取值范围是 () A.(-∞，0)U(0,1) B.(-o,0)U(1,+e) C.(-,0) D.(0,1)U(1,+) 22.(2024·湖北武汉高一期末)已知函数f(x)= 1og2(4+1)+2kx为偶函数 (1)求实数k的值： (2)解关于m的不等式f八2m+1)<f(m-2): (3)设g(x)=log2(a·2+2a),若函数f(x) 与g(x)的图象有2个公共点，求实数a 的取值范围 必修第一册·SJ学霸140sin as 3 4 R恒成立，所以(x)具有性质T ， sin a= 4或 5 (2)因为函数八x)=c%(r+e）(w>0)具有性质T.所以存在正 o%a25 cos a=5 实数T.,使VeR都有m知(+刀+p]=ms(orp)恒成立。 19.解：(1)(x)不具有性质T(x)具有性质T,理由如下： ①假设人(x)具有性质T.即存在正数T,使得2(x+T)+1= 令1=ar+p,则%(+T)= 2st对V1eRl成立 2（2x+1)恒成立，则(2-T)x+3 +I=0对日xeR恒成立，则 T 下证T=2:若T>2.取t=0.则eo(oT)= >1,矛盾： 1=0此时无解，故假设不成立。所以：不具有性质工 2-T=0, 3T 若0c<2.取1-w.则m(-o)=子>1，矛.所以T=2 即o=(1+2)=esk.又因为当且仅当2w=2kT,keZ时.s(t+ ②取T=2>0.则f3(x+2)=sin[π(x+2)+1]=in(mx+2π+1) 2)=cos1对teR恒成立.因为>0.所以当k=1时.2m=2r, n(+1)(x),即存在正数T.使(x+7=6(x)对x自 所以仙的最小值为. 第8章 函数应用 -2 8.1二分法与求方程近似解 2- 1)=-（2 =-1<0/(2)=8-2 =7>0,f代x)在R 第1课时函数的零点 上单周递增，所以和(1,2)，所以m=1, 第1关（练速度） 9.2解析：>0.a2+1>ly=x2-2x1的图象如图. 1.A解析：令f八x)=6g(x-1)-2=0,即g(x-1)=2=lg32,所以 x-1=32.因此x=10,所以函数八x)=1g(x-1)-2的零点为10.故 选A. 2.B解析：要使函数有意义，则x2-4≥0，即x≥2或x≤-2，代x)= 0,得x=2或x=-2.做函数的零点个数为2.枚选B. 3.BC解析：当a=0时，函数解析式为y=x+2,该函数只有一个零 点-2，当00时，由题意可得-2a+1=0,解得0=分棕上所述，。= 六y=1x2-2x的图象与y=a2+1的图象总有两个交点， 0或a=了故选BC 即方程有2个解. 10.(0,1)解析：函数fx)=r2-2x+1(xR)有两个零点，一个大 4.D解析：因为八x)是在区间[a,b们上连续的单调函数，且f代a)· 于1，另一个小于1，则a≠0.又氏0)=1>0.函数f八x)的示意图 八)<0，所以函数八x)的图象在[，b]内与轴只有一个交点，即 如下： 方程八x)=0在[a,们内只有一个实根故选D. 5.B解析：因为函数x)=2+x,g(x)=lgx+x,h(x)=x+样的零点 分别为a,b,e,可转化为直线y=-x与三个函数y=2,y=ogx,y= x3的图象交点的横坐标分别为a,b,c,在同一坐标系下，画出函数 y=-x与函数y=2',y=g2x,y=x的图象，如图所示， 所以/a>0, <D。 =2 1)=a-2+1<0或1)=4-2+1>0.解得0<ac1,所以实 数a的取值范图为(0.1).故答案为(0.1)， 1(任）解析：方程=m有且权有2个实数根，即系数y f代x)的图象与直线y=m有且仅有2个交点， 结合图象可得a<c<故选B. 6.ABC解析：函数x)=x+3x-2.因为八x)在(0，+x)上单调递 增.所以把x=0,1,2,3,4代人若f八a)·八b)<0.则零点在(a,b) 723456￥ 内.因为f八0)=-2<0八1)=2>0八2)=12>0.3)=34>0，/八4)= 74>0,所以八0)·(1)<0.所以函数f(x)的一个正零点在(0,1) 内.故选ABC 7B解析：函数)=x+-m在区间（子8上单调递增，若 所以由数形结合，可得m的取值范围是 (，1故答案为 函数∫(x)在 8上存在零点，则 (）月 重难点拨 函数h(x)=f代x)-g(x)的零点一方程fx)=g(x)的根一y=f八x)的 /8)=8+og28-m>0, 图象和=g(x)的图象的交点的横坐标. 8.1解析：令八x)=x3- ,易知函数y=在R上单调递 第2关（练准确率） ，（）厂在R上单调递减，所以y-(行）厂在R上单 11 126解折：因为)y=n=百1在区间(0，+)上都单调递增。 两莲瑞所以在食上摩调遥维又两数2与)=（仔）厂 所以x)=血-6+1在区间(0.+知)上单调递增，又(2) 的图象的交点为(，n),所以八)=0，即xn为八x)的零点.又 h26 103)=h3号>0.即23)<0.故)的 必修第一册·SJ学霸72 零点所在区间为(2.3).故选C 13.D解析：令1=3,2=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,函数(x)的零 结合BC选项可知1(3+）+ 1 点就是两个函数图象的交点如图，在同一直角坐标系内作出 两个函数的大致图象.因此可知函数(x)的两个零点一个是0 -22.当且仅当24名即 另一个小于0.故只有D正确. 号时等号成立.租<1，放等9不成立，即D正确 故选BCD. 重难点拨 已知函最零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为 两个函数的图象的交点个数问题，需发确西出两个通数的图象，利 用图象求出满足条件的参数范盟， 14.A解析：因为八2-x)+代x)=0.所以爪2-x)=-八x）,又因为爪x) 为R上的奇函数，所以f八-x)=-代x),所以八2-x)=(-x),所以 17.10解析：数y=3[fx)]2-f(x)的零点即方程3代x)]2 八2+x)=x),所以八x)是周期为2的周期函数，F(x)在区间 [-l,m]上的零点个数一函数y=(x),y=nx图象在区间 )=0的根，亦即x)=0或x)=了的根画出函数y=)的 [-1,m]上的交点个数，且y=sin Tx是最小正周期为2的周期函 数，而/（分）血号=11）=血=0，在同一平面直角坐标 图象和直线y= 3,如图所示， 系中作出y=八x),y=inx的图象，如下图所示 因为f八0)=八2)=0，且sin0=sin2m=0,所以由图象可知当x∈ 观聚图象，得两数=的图象与上轴，直线y号各有5个交 [-1.3]时，y=f(x),y=sinx的图象共有9个交点，且第9个交 点的横坐标为3.又因为f(35)=f(1.5)=f(-0.5)=-f(0,5)= 点.则方程/)=0有5个根，方程)=也有5个根，所以函 a=-1.血(35)=血(2m+）-1.所以35)= 数y=3[爪x)]2-fx)的零点有10个. 故答案为10. i(3.5r),所以第10个交点的横坐标为3,5，所以m的取偵范围 18.(0.3)(0.2]U(3,+x)解析：当a=2时.若x≥2，则f代x)= 是[3,3.5).故选A. x-3<0,所以x∈[2,3)：若x<2.则x)=x2-2x=x(x-2)<0.所以 15.ABD解析：将问题化为y=2024与y=1吧(x-3)1在区间 xe(0,2),综上，八x)<0的解集是(0,3). (3,+x)上有两个交点.且横坐标分别为1,2，由y=2024在 若f八x)的零点都在y=x2-2x上，即2个零点分别为x=0,x=2,则 区间(3，+x)上单调递减，且值域为(0,2024). >3,若八x)的零点在y=x2-2x上有1个.在y=x-3上有1个，即 由y=hg,(-3)1={-g3),3≤4 且x=4时y=0,在区 《l0g:(x-3),x>4. 2个零点分别为=0=3则82.甲ae(02,综上ae 间(3,4]上单调递或，对应值域为[0，+)；在区间(4，+)上单 (0.2]U(3.+x). 调递增.对应值城为(0，+x). 故答案为(0,3)：(0.2]U(3,+x). 综上，y=2024与y=g(x-3)1交点在x=4两侧.即原函数的 两个零点分别在区问(3,4)，(4，+)上，故(x1-4)(x-4)<0恒 成立，故A正确： 不妨设3<x1<4<1,则g(x1-3)(2-3)=g(1-3)+lg( y=fxj 3)=-20241+20242<0,故解得0<(x1-3)(x1-3)<1.故BE 确，C错误： 令g(x)=2024,由指数函数单调性得g(x)在R上单调递增，若 证204r2京.则证3即-3(-3)，是 19解：(1)令八x)=0,即x2+(m-1)x+1=0,由于函数(x)的两个零 f0)>0, 然D正确。 /2)>0. 故选ABD. 16.BCD解析：画出函数代x)的图象如下图（实线部分）所示， 点都在区间(0.2)内，即 0c-a 2<2 解得、3 <m<-1,则 4=(m-1)2-4>0. 实数m的取值范围是 (2)由题意得，关于x的一元二次方程八x)=0在区问(0,2)内有 唯一解， 3 函数y=x)-a有四个不同的零点，即函数八x)与函数y=a的图 当(0)2)<0时满足条件.解得m<- 象有四个不同的交点，结合图象可知a∈(0,1】，可得A错误： 又x1<x2<x1<4,根据图象可知1<-1<x2<0,即满足Im(-1)1= 当4=(m-1)2-4=0且0k2时满足条件，解得m-1: Ilm(-x2)l,因此n(-x,)=n(-2).即ln(-x,+ln(-2)=0,所 以n(:x3)兰0，可得x1x2=1,即B正确： 当2)=0，解得m=三此时有/(}）2)=0，满足)= 由图易知，1关于x=1对称，所以+x=2,即C正确： 0在区间(0,2)内有唯一解.所以关于x的一元二次方程代x)=0 参考答案学霸73 在区间(0,2)内有唯一解，则m=-1或m≤ 故A错误：二分法有规律可循.可以通过计算机来进行，故C错误： 2 求方程的近似解也可以用二分法，故D错误故选ACD. 即实数m的取意周为(，]U- 2.C解析：由二分法的定义.可知只有当函数八x)在区间[.]上 的图象连续不断.且(a)爪)<0，即函数的零点是变号零点时，才 20.(1)证明：当n=1时，爪x)=2lnx-x2+2,因为f(1)=1>0,fe)= 能将区间[，b们一分为二，逐步得到零点的近似值对各选项分析 4-e2<0.所以f1)八e)<0,因此几x)在区间(1，e)上有零点. 可知，选项A,B,D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数 (2)解：当n=2时，x)=2ln+x2+2,由于y=mx,=x2均为 值不异号.因此不能用二分法求函数零点的近似值故选C [1,2]上的单湖递增函数，故f(x)在x∈[1,2]上单调递增.又 八1)=3,2)=6+2n2,故（x)在xe[1,21上的值域为[3.6+ 3.CD解析：对于C.y= 2+4+8= 2(x+4)20,故不能用二分 2山2]，且关于x的方程八x）=m在[1,2]上没有实数解，故m< 八x)a或m>八x),即m<3或m>6+2ln2,所以m的取值范围 法求零点的近似值： 为(-x,3)U(6+2m2.+x). 对于D.y=x1≥0，故不能用二分法求零点的近似值 第3关（练思维宽度） 易知A,B有零点，且可用二分法求零点的近似值故选CD 21.B解析：令代x)=1,则方程几八x)]=0等价于爪)=0.已知a≠ 4.C解析：显然函数f八x)=xnx+2x-6的曲线在x∈[2,3]上是连线 0,则f代x)=4· 3 *0,由f)=g11=0,得=1，则关于x 不断的，由于2)<0A225)>0,所以2)·(2.25)<0，由零点存 在性定理可得八x)=xnx+2x-6的零点所在区间为(2.2.25)，所以 的方程几(x)]=0有且只有一个实数根，等价于关于x的方程 方程xnx+2x-6=0在区间(2.2.25)内一定有根.故选C 八x)=1有且只有一个实数根，作出f(x)的图象（图略），分为 5.B解析：由二分法可知，第一次计算八2)=1>0，又f八1)=-3<0 a0两种情况：①当a<0时，由图象可知直线)=1与y=)的 八3)=17>0，由零点存在性定理知零点在区间(1,2)上，所以第 la>0. 图象只有一个交点，恒满足条件：2当>0时，要使直线y=1与 次应该计算 3 0，又2)>0，所以零点在区间( 17 八x)=a· 3 ）的图象设有交点所以)=4…（兮）广>。 2上.故选B 即真0)>1.解得>1，综上，实数a的取值范围是(-x,0)U(1 +e). 6.B 解析：因为y=x,y=一 在R上均单调递增，则函数 22.解：(1)因为对任意的x∈R,4"+1>0.所以函数f八x)=g2(4+ 1)+2kx的定义域为R因为函数f八x)=g,(4+1)+2kx为偶函 数，则-x)=f八x）,即g2(4+1)-2=lg(4'+1)+2,所以 f代x)=x- 在R上单调递增，由数表知代0.5)<f0.5625)< 4e=lg2(43+1)-lg2(4+1)=g: 4+1 =log: 4(4+1) 0<f代0.625)<0.75)<f(1),由零点存在性定义知，函数f代x)的零 4"+1 4(4'+1) 点在区间(0.5625,0.625)内，所以函数f八x)的一个零点的近似值 g:不=g22=-2,所以k=- 、/ 为0.57.故选B 2 7.(1,2)解析：令x)=1gx+x-2,因为尺x)在定义城内单调递增。 22+1 (2)因为f代x)=log2(4+1)-x=log2(4+1)-log2=og2 且f1)=-1<0f尺3)=lg3+1>0,f2)=lg2>0,因为f1)·f(2)< 2 0,所以第一次用二分法求其近似解时，根所在区间应取(1,2).故 1g2(2+27), 答案为(1.2). 令u=2+27,任取x1,2后[0，+x),且1>2，则21>2≥1,1+ 2拉(2 5>0,则2>1，所以u,-42=2+,241】 2)+(）=(2-2)21-2.2-02-22 解析：设f(x）=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0,f(1)=2>0 2122 212 2'1 0,则，>42，所以函数=2+2在区间[0，+关)上单调递增.又因 0)·1)<0六第一次取区间(0.1)的中点=子 为外层函数y=lg24在区间(0，+∞)上单调递增，所以函数 代x)=g(2+2)在区间[0，+x)上单调递增 ·f1)<0,fx)的零点所在的区间 由2m+1)<m-2)可得f尺12m+11)</八1m-21),所以12m+1I< 1m-21,即(2m+1)2<(m-2)2,整理可得(m+3)(3m-1)<0,解 为（）小第三次区间（行）的中点=(）月 得-3xm< 3,因此实数m的取值范图是(-3,3)】 (3)函数八x)与g(x)的图像有2个公共点，由g(x)=八x)可得 是0（分）f(任）<0x)的零点所在的区同为 lg2(a·2*+2a)=4g2(2+2〉，可得0·2+2n=2'+2,即(a 1,3 1）·2+24·2-1=0.因为4(2*+2)>0.则>0， 245 设1=2>0.则(a-1)2+2t-1=0.又t=2在R上单周递增.由题 ()第三次取区间 24 的中点x= 28 意可知，关于：的方程(a-1)2+2-1=0有两个不等的正根，所 a-1≠0. 故答案为号 d=4a2+4(a-1)>0. 第2关（练准确率》 2a 以 0120 解翔5 2<a<1,即a的取值范围为 10.C解析：因为函数f八x)的图象在R上连续不断，且满足f尺1)<0 八2)>03)>0，所以由零点存在定理可得八x)在区间(1,2)上 至少有1个零点，在区间(2,3)上可能有零点故选C a>0. 11.C解析：设fx)=log1x-3+x,当连续函数f(x)满足f(a)）· fb)<0时J八x)在区间(a,b)上有零点，即方程喀x=3-x在区 间(a.b)上有解.又，八2)=log:2-1<0,f八3)=og13-3+3=1>0, ∴，八2)·八3)<0.故方程1gx=3-x在区间(2,3)上有解.即利用 第2课时用二分法求方程的近似解 二分法求方程唱1x=3-x的近似解.可以取的一个区间是(2,3) 第1关（练速度） 故选C 1.ACD解析：只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点 12.ABD解析：由二分法的步骤可知 左右函数值异号时，才可以用二分法求函数的零点的近似值， ①零点在区间(0,4)内.则有f(0)·f(4)<0,不妨设f(0)>0 必修第一册·SJ学霸74