第4章 指数与对数 真题演练&章末检测-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第4章 真题演练 1.(全国高考)设alog,4=2,则4*= ,_ ) 为M.月球质量为M..地月距离为R.L。点 1 1 A. 到月球的距离为r.根据牛顿运动定律和万有 16 引力定律,,满足方程; C D M M2 M 2.(2022·浙江)已知2"=5,log3=b,则4"- 3a3+3a+a5 很小,因此在近似计算中 -~3a. ) ( (1+g)2 B.5 _ A.25 则7的近似值为 ) 。 2# C. 10/{” . _ #) 3.(2022·天津)化简(2log3+log3)(log2+ 33M C. log2)的值为 _ ) B.2 A.1 6.(北京高考)根据有关资料,围棋状态空间复 C.4 D.6 杂度的上限V约为3*,而可观测宇宙中普 4.(四川高考)已知b>0,log,b=a,lgb=c,5*= 通物质的原子总数N约为10{*.则下列各数中 ( 10.则下列等式一定成立的是 ) A. d=ac ( ~ B. a=cd B.103 C. 1073 A.10{3 D. 10 C. c=ad 7.(四川高考)lg0.01+log,16= D. d=a+c 8.(浙江高考)若a=log3.则2*+2*= 5.(全国高考)2019年1月3日嫦娥四号探测器 9.(浙江高考)已知a>b>1.若log.b+ 成功实现人类历史上首次月球背面软着陆 5 我国航天事业取得又一重大成就,实现月球 背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是 = 地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题 10.(陕西高考)已知4*=2.lgx=a,则x= 发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围 绕地月拉格朗日L,点的轨道运行.L.点是平 11.(上海高考)方程log(9--5)= 衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量 log(31-2)+2的解为 第4章学霸051 第4章 章末检测 (时间:120分钟 总分:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 运算,数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍” 题目要求的. 已知lg2~0.3010.lg3~0.4771.设 =4x 1. 下列指数式与对数式的互化中不正确的是 (③)*,则N所在的区间为 ) A.(10*,10') B.(10,10*) A.e*=1与ln1=0 C.(10*,103) D.(10,10'*) B. log 9=2与9=3 7.(2024·江苏南通高一月考)若x,v满足 ln(3x+y)=lnx+lnv.则x+3v的最小值为 2 ( ~ D. log7=1与7=7 A.10+2/6 B. 10+23 2.(2024·江苏连云港高一月考)2*的值是 C.12 D.16 8.(2024·江苏南京师大附中高一期中)已知互 A.-5 B.5 D1 不相同的实数x.v:满足3=4=6,则23 的值为 ( __ 3.(2024·江苏连云港高一期中)已知 B.1 C.2 log(2x)=4.则x= D.3 A.-2 C.2 B.0 D.4 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分. 4.(2023·江苏盐城高一期中)化简(a-1)+ 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 (1-a)+(1-a)的结果是 ( ) 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有 A.1-a B.2(1-a) 选错的得0分. C.a-1 D.2(a-1) 9.(2024·江苏扬州高一月考)下列等式不成立 的是 5.(2024·江苏南京一中高一月考)已知10”= ( ) 3,10=4,则10= _~ A. log(8-4)=log8-log4 ( log_8 7 =log:4 8 B. log4 33 43 C. log8=3log2 C.3 D. 4 D. log(8+4)=log,8+log,4 6.(2024·江苏徐州高一期中)17世纪,在研究 10.(2024·江苏常州高一期中)已知正实数a. 天文学的过程中,为了简化大数运算,苏格兰 满足b*=4.且a+logb=3.则a+b的值可以为 ( 数学家纳皮尔发明了对数,对数的思想方法 ) A.2 B.4 C.5 即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法 D.6 必修第-册·SJ 学霸052 11.(2024·湖南浏阳一中高一月考)定义两个 16.(15分)(2024·江苏南京一中高一月考) 实数间的一种新运算“;”:x*y=lg(10*+ (1)化简:40→(-6) 10).x.yER.对于任意实数a.b.c.给出如 ) 下结论,正确的是 (2)已知a+a-l=7,分别求a+a},a+a} A. a*b=b*a 的值. B. (a*b)*c=a*(b*c) C. (a*b)+c=a*c+b*c D.(a*b)+c=(a+c)*(b+c) 三.填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 #### 13.(2024·江苏镇江高一月考)已知a>0.且a≠l +y log.x+log.y x.y为正实数,log。 ,则 3 )的值为 14.(2024·江苏南京金陵中学高一期中)设a> 17.(15分)(2023·江苏南通高一月考)设log3= 0,b>0,若4a+b=ab-4,则log(a-1)· m. log3-n. log(b-4)的最大值为 (1)试用m.n表示lg18; 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出 (2)求证:2mn<m+n<mn. 文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)(2024·江苏南通高一月考)计算: 22+1 (2)lg 5·lg20-lg2·lg 50-lg 25 第4章学霸053 18.(17分)(2024·江苏宿迁高一月考)(1)当 $9.(17分)已知2*·3*=2·3=6.求证:(a-$$ #.(1ad)有意义, a=5时,要使对数log2 1)(d-1)=(b-1)(c-1). 求实数x的取值范围; 8.(a)1og(一 (2)若关于x的方程log。 4)x+2a-5=0有且仅有一个解,求实 数a的取值范围 必修第一册·SJ 学霸0520.解：(1）3"=4=36.a=g336.b=log436 。+6=2kg63tlew4=kg(32×4)=1 2.1 942解折：设a,则D1,因为+子所以12.所以a 6,由=6”→6=62→2h=2→b=2.4=4.故答案为4：2 (2)由3=7，得g7=b,由og5=a,得a=2lg5,即1og5=2a 10而解桥：曲r=2得a=弓所以g=子解得V面.放答 log335 log 5+log:7 2a+b .loga35-og 21log 7+log3 案为/10. 11,x=2解析：设31=(>0)，则1g2(2-5)=g2(-2)+2→2- 第3关（练思维宽度） 5=4(1-2)>0=2-4+3✉0.>V5,1=3=31=3→x-1=1 21.ACD解析：因为2=3”=6.所以m=g26>0,n=lg,6>0.邺1 x=2.故答案为x=2 }=lg,2+kg3=1,故m+n=m(m≠n),故A正确： 第4章章末检测 1.B解析：对于A,°=1可化为0=og.1=n1.所以A中互化正确： 因为m>0,H>0,m+n=mn< m+） 2,所以m+a>4成立，故 对于B,喀9=2可化为32=9，所以B中互化不正确： C正确： 对于C8寸：之可化为，了弓所以c中互化正确： 16cao=n42am4+2(） =2(m2+m2) 对于D,g,7=1可化为7=7，所以D中互化正确故选B 故m2+2>8,故B错误： 2c解折：2时写放选C (m-1)2+(n-1)2=m2+1-2m+n2+1-2n=m2+m2-2(m+n)+ 2=m2+n2-2mm+2=(m-m)2+2>2,故D正确. 3.C解析：山lg(2x)=4得(W)‘=2x,即x2=2x,又x>0且x≠1. 故选ACD 所以x■2故选C. 4.C解析：√a-可有意义，.a-1≥0，即a1..(a-T)2+ 2.log,m=24.log,m40,logo:m12ogog. .同 (1-a)+(1-a)=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1.故选C. 方法总结 理可得g.了严406g()▣2心3og.(r）-og 根式有意义的条件： 日女动动网比这 =60 根指数为奇教，被开方数正负均可，结果的符号与被开方数的符号 相同： 第4章真题演练 根指数为偶数，被开方数非负，结果非负 1.B解析：由ag,4=2可得1g4=2,所以4=9，所以有4=g 5:宁√哥g9n 故选B 6.C解析：N=45×(3)的=20×3”，则1gN=g(20×30)=10g2+ 2C解折：因为2r=5,6=3=号3.即2=3.所以4= 20lg3=10×0.3010+20×0.4771=12.5520,所以N所在的区间为 (102.103).故选C 器号曾c 7.D解析：因为x,y满足ln(3x+y)=lmx+ny,所以3x+y>0,x>0,y> 3B解折：原式-(2x宁3+3）(2+宁2 0.所以n(3y)=nx+lny=ln,所以3r+y=,所以3◆ 于e3字02=2收选取 16,当且仅当3=，即x=y=4时取等号，故+3y的最小值为 、4B解桥：吧6=4,6=6相除得名名g,10=二又5=】 Y t 16故选D. 10.lgs10=d,d=口→d=a.放选B 8.B解析：设3=4=6=k,则1ogk=x,logk=y,log6k=z,代人 5D解桥：由MM "(RF=(R+ 、M 232写3，化简得2号3品=23 ((刀 气+R)M因为a=太，所以 M:M2 9.ABD解析：对于A,因为og2(8-4)=lg24=og222=2,lg28- 1+a) =(1+a)M1,得 og4=lg:23-lg222=3-2=1,所以log2(8-4)+Jog,8-log24.所 e兰-w,得兰（食）广 以A不成立： (1+a)2M1 g子e普=21，所以s log28 log22 3 (1+a)2 对于B,因为 3 业：，所以产小 ·R.故选D. M 崛兰，所以B不成立： 8D解折：设= 36 0西，两边取对数，得g=g0=g3- 对于C,因为og8=1g22=3g12,所以C成立： 对于D,因为log2(8+4)=lg212=g23+0g24=log23+2,g28+ 510=3614g3-0-9828.所以10，即兴最接近10故 log4=log23+log222=3+2=5,所以og(8+4)*lg8+lag24,所以 D不成立故选ABD 选D. 10.BC解析：由b"=4得a=lkg4=21g2,则2log2+log2b=3,即 7.2解析：lg0.01+g216=-2+4=2.枚答案为2 8子后解桥a3六4=32r=52425 g,blag,6=3,整理得(1hg:b)2-3g:6+2=0,解得g,6=2或 logb=1. 子，故答案为子5 当ogb=2时，b=4,a=1,则a+b=5: 当ogb=1时，6=2，t=2,则a+h=4. 参考答案学霸23 故选BC. 11.ABD解析：根据运算法则，a◆b=1g(10"+10),◆a=1g(10的+ 6寸（)=-6a 10),所以a串b=6a.故A正确： 可知(a等b)*e=lg(10°+10°+10)，a*(b*e)=g(10°+10+ (2)因为aa1=7.所以(o立a）广=a*+2*a1=9.a>0.所以 10),所以(a*b)*e=a(be),故B正确： (ab)+e=g(10r+10)+e=lg(10+10)+lgl0=g(10r+ a+m}>0,所以a+a=3 10e),ac+b◆e=lg(10°+10)+lg(10+10)=lg(10+10) a7+a7=(a7+m7)(a-1+a1)=3x(7-1)=18. (10+10心)=g(10+10+10r+102),所以(a*b)+c≠a*c+ log18 logs(6x3)1+logo3 1+n b*c,故C错误： (a+e)*(6+e)=lg(10r+10)=lg[10(10+10)]=g(10°+ 17.（1)解：k18g0%10e1010面13m I0)c,所以(ab)+c=(a+e)◆(b+c),故D正确 所以g3 故选ABD gQ6m,所以 g06m,即 6m,即 1e610 I-log 10=m, 故g10=1,故g18=+n=1+n_m+m logs 10 答案为7 1-:m-n 13.7±35 2 舞折：。g,故5 4 3. (2)证明：m=(u63)×(e3)<0.m+n.L,L (g),即x立片=3x,方程两边同除以，得iy三 igg0.+og6-log(6x6)=og3..gg3.6 g,9=2,所以1<+"<2又因为mn<0,所以2mn<m+n<m.放原 -+1=3,即2-3+1=0 mn 式得证 2,故答案 18,解：(由题意知：(+5)有意义.则+50，解得 为235 2 或0，所以实数x的取值范周为(-，写)U(0,+≤)： 14. 9 4 解析：由4a+b=a山-4得(b-4)a=b+4.又a>0,b>0,所以b 2e（ae:(a-4)+2-5J-0.即e(+a）月 4>0.同理可得a-1>0 因为4和+b=ab-4.所以ab-4和-b=4.所以(a-1)(6-4)=8 lg2[(a-4)x+2a-5j,所以+a=(a-4)x+2a-5>0①. 1og2(a-1)+og2(b-4)=log2[(a-1）(6-4)]=kog:8=3. 两边同乘x得(a-4)x2+(a-5)x-1=0.即[(a-4)x-1】(x+1)= 当a-1>1.且b-4>1时，即kg3(a-1)>0,log3(b-4)>0,由基本不 0②， 等式知ga(a-)·hg,(-4≤(a-0+hg:(6-4)]29 当a=3或a=4时.2的解为￥=-1.将x=-1代人①.得a-1>0 4 4 符合要求： 当且仅当1g,(a-1）=g,(6-4),即{a-)么-4=8即4=1+ (a-1=b-4. 当4≠4且a≠3时，2的解为=-1或。 22.b=4+22时等号成立， 当0<a-1<1时，b-4>1,此时1og2(a-1)·log2(b-4)<0: 若x=-1是①的解，则工+a=a-1>0,即a>1, 当0<b-4<1时，-l>l,此时1og(a-l)·log2(b-4)<0. g2(a-)1g(b-4)的最大值为？故答 若是①的解，则n=2-460.即a>2。 则要使方程①有且仅有一个解.则1<a≤2 15.解：(1)原式= 2-1 2 +价=2,2 2(2+1)(2-1) 2 2 综上.方程：(a）小-[(a-4)x+2a-51=0有且仅有 +个解时，实数a的取值范围是(1.2]U}3.4. (2-1)+1=2 (2)原式=(1-g2)(1+lg2)-g2(2-g2)-(2-2g2)=1-g22 19.证明：因为2”·30=2·3=6，所以2-l·30-1=1,2-1,3-1= 2lg2+lg22-2+2g2=-1. 1,所以(21·31)4=1，(21·3)-1=1.卿20， 3(4》=1①，2-1-》·3-1(-D=1②，由①②知 16解：)4+（子6）=4x()() 2-(-)=2-10,故(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1). 第5章 函数概念与性质 5.1函数的概念和图象 3.C解析：函数fx)=x,定义域为R选项4中，八x)=(金)2=x, 定义域为[0，+)，故A错误：选项B中，八x)=√=xl,定义 第1关（练速度） 1.AD解析：根据函数定义“集合A中的每一个元素，对应集合B中 域为R,故B错误：选项C中f(x)==x,定义域为R,故C正 唯一元素“来判断对于A,符合函数的定义，是从A到B的函数 故A正确：对于B,A中有元素0，在对应关系下y=0,不在集合B 确：选项D中，八)=，=1，定义城为≠0，故D错误.故选C 中，不是从A到B的函数.故B错误：对于C.A中元素x<0时，B中 4D解析：要使函数有意义.则一0解得≥1且x2,所以函 x-2≠0， 没有元素与之对应，不是从A到B的函数，故C错误：对于D,A中 数的定义域为[1,2)U(2,+x).故选D, 任意元素，在对应关系下y=【,都在集合B中，是从A到B的函数， 重难点拨 故D正瑜.故选AD. 2.D解析：函数的定义域和值域也可以是有限集，A错误：对于定义 求给定解析式的函数的定义城，其实质就是以菌数解析式中所含式 域中的每一个数x,在值域中都有唯一的数y和它对应，反之则不 子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解：对于实际问 然，故B错误.D正确：C品然错误，故选D. 题，定义城应使实际问题有意义： 必修第一册·SJ学霸24