2.1 命题、定理、定义-【学霸题中题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(苏教版2019)

第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义 第1关练速度 10mn为准,你的时间; 6. 命题“6的倍数既能被2整除,也能被3整除” 的结论是 ( 1. 下列语句是命题的是 ) _~_ A. 空集是任何集合的子集 A. 这个数能被2整除 B. 这次数学考试难吗 B. 这个数能被3整除 C.x>15 C. 这个数既能被2整除,也能被3整除 D. 2x-1<0 D. 这个数是6的倍数 2.下列语句不是命题的是 1 7.(多选)(2023·江苏南京一中高一月考)下列 A.3=6 命题是真命题的为 ( ) B. 一次函数不是正比例函数 A. xENlx+1=0 不是空集 C.x0 B. 若a<0,则lal>0 D.对于xeR,总有x2>0 _ C. 相似三角形的对应角相等 3.(多选)下列命题中,是真命题的是 ( A.2不是素数 D. 若整数m是偶数,则n是合数 B. 自然数不都大于0 8. 把命题“到圆心的距离等于半径的直线是圆 C. 2022能被3整除 的切线”改写为“若p.则。”的形式为 D. -4不是偶数 4.“若x1.则p”为真命题,那么p不能是( _~ 9. 命题:“一个正整数不是合数就是素数” A.x>-1 B.x>0 条件p: ,结论q: C.x1 D.x2 是 命题(填“真”或“假”). 5.(2023·广东茂名高一期中)“红豆生南国,春 10. 下列命题:①若xy=1.则x.v互为倒数; 来发几枝?愿君多采撷,此物最相思!”这首 ②四条边相等的四边形是正方形 《相思》是唐代山水田园诗人王维的作品,王 ③平行四边形是梯形: 维字摩诘,号摩诘居土,苏轼有云:“味摩诘之 ④若ac2>bc{,则a>b. 诗,诗中有画;观摩诘之画,画中有诗,”这首 诗中,在当时的条件下,可以作为命题的是 其中真命题的序号是 _ 11.(2024·广东佛山高一月考)命题“若 3EA.ACB,则3EB”是 A.红豆生南国 B. 春来发几枝 (填“真命 C. 愿君多采撷 D. 此物最相思 题”或“假命题”) 必修第-册·SJ学霸014 第2关 练准确率 题 8题为准,你做对 ②如果MON=N.那么MCN: ③如果MCN.那么MUN=M: 12.(多选)(2024·江苏镇江一中高一月考)下 ) ④如果MUN=N.那么NCM 列命题是真命题的是 19. 把下列命题改写成“若p.则a”的形式,并判 A. 若x2+x-2=0.则x=1 断命题的真假 B.若x>1.则x2>1 (1)奇数不能被2整除 C.平行四边形的对角线互相平分 (2)当(a-1)+(b-1)=0时,a=b=1; D. 空集是任何集合的真子集 (3)已知x.v为正整数,当v=x+1时,v=3 13.(多选)(2023·安徽池州高一月考)下列命 x=2. 题是假命题的为 ) B.若2=1.则x=1 x) C.若x=y.则x=vD.若x<v.则x< ( 14.下列说法正确的是 __ A.“若x=4.则x2-3x-4=0”为真命题 B.“若x=-1.则x-3x-4=0”为假命题 C. “若x≠4.则x-3x-4≠0”为真命题 D. “若x=4.则x2-3x-4=0”为假命题 15.有下列命题:0E0;0;0.30 $eN;a.bCb.a;xlx-2=0.xEZ 是 ( 空集.其中正确的个数是 ~ C.5 A.4 B.3 D.2 16.(2024·山东济宁一中高一月考)甲、乙、丙 三人独立解答同一份试卷,试卷共有5题 每人都至少正确解答其中3题,则下列说法 一定正确的是 ( _~ A. 至少有2题有多于一人正确解答 B. 至少有1题三人都正确解答 C. 至少有1题三人都无法正确解答 D. 至多有1题无人正确解答 17.“若x>5.则xa”是真命题,则实数a的取值 范围是 18. 若V.N是两个集合.则下列命题中的真命 题序号是 ①如果MCN.那么MON=M 第2章学霸015 第3关 20. 已知v:方程x-2②x+m三0有两个不相等 练思维宽度 难度级别:☆众亡☆☆ 的实数根,a:m<1. 21. 设非空集合$=xlm<x<l\满足当xE$ (1)若,为真命题,求实数n的取值范围; 时,有x2=S.给出如下三个命题. (2)若p,9一真一假,求实数m的取值范围 <m<0. 其中正确命题的个数是 ) B.1 C.2 A.0 D.3 22.定义:若对非空数集P中任意两个元素a,b. 实施“加减乘除”运算(如a+b、a-b、axb、a→b (b0)),其结果仍然是P中的元素,则称 数集P是一个“数域”.下列四个命题:①有 理数集O是“数域”:②若有理数集。CV. 则数集M是“数域”:③“数域”必是无限集; ④存在无穷多个“数域”.上述命题哪些是正 确的?哪些是错误的?说明你的理由 必修第一册·SJ 学霸016(CmC)≠R,故错误： D.AnC=②，所以A二(CsC),又B二A,所以B二(CRC),故B∩ 且a0实数a的取值范周为{a<且a0 (CC)=B,放D正确 故选ABD 17.解：(1)依题意，A={xx2+4x+3=01=-3,-1,当a=1时，B= 11.BD解析：对于A.在集合A=1-2.-1.0.1.2中，-2-2=-4不 1x1x2-2x-3=0:=-1,31,所以AUB=-3.-1,31, 在集合A中，所以集合A不是封闭集，故A错误： (2)因为A∩B=|-3,则-3∈B.于是得(-3)2-2a×(-3)+a2 对于B.集合A=nln=2k,keZ,设x,yeA,则x=2k,y= a-3=0,即a2+5a+6=0,解得a=-2或a=-3 2k:,k1,4eZ,所以x+y=2(k+k2）eA,x-y=2(k1-k:)eA,y= 当4=-2时，B=|x1x2+4x+3=0{=1-3,-1,则A门B=|-3 4桃，k后A,所以集合A=1nln=2k,keZ为封闭集，故B正确： -1,不符合题意，枚舍去： 对于C,封闭集不一定是无限集，如01为封闭集，故C错误： 当a=-3时，B=|x1x2+6x+9=0=-3|,则A门B=-3},符合 对于D,若A为封闭集，取x=y,得xy=0EA,故D正确 题意， 故选BD. 综上，4的值是-3 12.8解析：由题意可知，当x=0时，y=0,x-y=0∈A: 18.解：(1)当a=1时，B=|x0<x<5,又A=xlx<-1或x>3|,所 当x=1时，y=0或y=1,x-y=1-0=1eA或x-y=1-1=0eA, 以A∩B=|x3<x<5, 所以B=|(0,0),(1.0).(1.1),所以集合B的子集共有23= (2)若选择①.AUB=A.则BCA: 8(个).故答案为8 若选2.A∩B=B.则B二A: 13.14解析：设方程x2-+15=0的两个根分别为x1,2,则， 若选3，(CgA)∩B=☑，则B二A e12.3,5,又·5=15，故=或则1+场=m 三个条件均等价于B二L (x1=5 2=3 当B≠⑦时.则a-1<2a+3.解得a>-4: 8设x2-5x+n=0的两个根分别为x4,则，e12,3,5,又 又BCA,则2a+3≤-1或u-1≥3.解得u≤-2或a≥4. 3+,=5,故{3或{，=2.则·=m=6, 综上所述，实数a的取值范围是(-4，-2]U[4.+x). (x=2, 19.解：(1)因为A=1,2,3,B=2.3.5.6. 故m+n=8+6=14.故答案为14. 所以A+4=2,34,5,61,ead(A+)=5≠3(3+D,故集合A不 14.16解析：由题意，集合X可能为☑，11,12,3引，11,2,11 2 3,12,3,}1,2,31,这8个集合的“容积”分别为0,1,2,3,2,3 满足性质M: 6.6.其中闾数有0,2.2,6,6，故偶子集有0,121,11,21,12.3， 月+6=4,5.6,78,9,10.11,12，md(B+B)=9≠44D,故集 11,2.3引，期S的所有偶子集的“容积”之和为0+2+2+6+6=16. 2 故答案为16. 合B不满足性质M 15.解：(1)因为A=|xx≤3或x≥9，B={x|-2<x≤9，所以A门 (2)因为a1<2<m3<2023,且a,eN.所以41≤2022 B=1xl-2<x≤3或x=9,AUB=R 要使a1+2+3最大.则a3=2022.2≤2021. (2)因为全集为R,A=xx≤3或x≥9川，B={x-2<x≤91，所以 当42=2021时，2023+2021=2×2022，则141,2021,2022， CRB=xx≤-2或x9I.所以(CRB)∩A=xlx≤-2或x>9. 2023不满足性质M: 16.解：(1)×1∈A,×12-3×1+1=04=2 当a2=2020时.a1≤2019 (2)当a=0时，=子，符合题意： 当41=2019时.2023+2019=2022+2020.则12019.2020. 2022,2023不满足性质M: 9 当4≠0时.4=(-3)2-4a=0a= 当a1=2018时.2022+2018=2×2020，则12018,2020.2022. 2023不满足性质M: 9 当41=2017时.2017+2023=2×2020，则12017.2020,2022 综上.4=0或a=4 2023不满足性质M: (3)若集合A中仅含有两个元素，即关于x的方程a2-3x+1=0 当41=2016时.|2016.2020.2022.20231满足性质M, 有两个不相等的实数解a0,且4=(-3)2-4>0，解得a<4 9 则使得a1+a2+最大.可得a=2022,4,=2020,a,=2016, 所以若集合A满足性质M,则a1++a3的最大值为6058. 第2章常用逻辑用语 2.1命题、定理、定义 集，为假命题.故选项A错误：对于选项B.若a<0.期1a1>0,为真 命题，故选项B正确：对于选项C.相似三角形的对应角相等，为真 第1关（练速度） 命题，故选项C正确：对于选项D,2为码数，但是2是质数，故选项 1.A解析：命题是能判断真假的陈述句，空集是任何集合的子集，是 D错误故选C 命圈，所以该选项符合题意：这次数学考试难吗不是陈述句，不是 8.若一条直线到圆心的距离等于半径，则它是圆的切线 命题，所以该选项不符合题意：x>15,不能判断真假，所以不是命 9.一个数是正整数它不是合数就是素数假 题.所以该选项不符合题意：2x-1<0,不能判断真假，所以不是命 10.①④ 题，所以该选项不符合题意.故选A 11.真命题解析：因为ACB且3eA,所以3eB.故答案为真命题 2.C解析：能判断真假的陈述句是命题.只有x>0无法判断真假，不 第2关（蛛谁确率） 是命题故选C 12.BC解析：对于A,解方程x2+-2=0,得x=-2或x=1,A错误： 3.BC解析：因为2是素数，所以A是假命题：因为0是自然数.不大 对于B,若x>1,则2>x>1,B正确：对于C,由平行四边形的性质 于0.所以B是真命题：2022能被3整除，所以C是真命题：-4是 知，平行四边形的对角线互相平分，C正确：对于D,空集不是空 偶数，所以D是假命题.故选BC. 集的真子集，D错误故选C 4.D解析：大于1的实数不…定大于2.枚选D. 13BCD解析：A选项，若=1 ,则x=,A正确：B选项，若2= 5.A解析：对于A选项，“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代 是事实，所以本句是命题：对于B选项，“春来发几枝”是疑问句， 1,则x=±1，B错误：C选项，x=y<0时.不能得到=5，C错误： 不是命题：对于C选项，“區君多采缬”是析使句.不是命题：对于D D选项，当x=-1,y=1时，x<y,但x2=)2,D错误故选CD. 选项，“此物最相思”是感叹句，不是命题故选A 14.A解析：由x2-3x-4=0,得x=4或x=-1.做A正确.故选A 6.C解析：命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能 15.C解析：根据元素与集合间的关系可判断0∈0；，0@N正确 被2整除，也能被3整除，故选C 0.3Q不正确，根据集合与集合之间的关系可判定0：2☑， 7.BC解析：对于选项A.xeN,x≥0，所以{xEN1x3+1=01是空 1“,bG1b,a|,{xx2-2=0,xeZ是空集正确.故选C 必修第一田·SJ学霸06 16.A解析：假设没有2题有多于一人正确解答，取极端情况，假设 为奇数时，a.b一个偶数，一个奇数 3人均答对3题，有一题3人均答对，且三人回答的其他两个问题 第2关（排准确率） 均不同，则至少还需要六道不同的题，与题设不符，故A正确： 6.D解析：对于A,1al=1,则a=±1，不能得出a=1,不满足题意.对 5道题编号为1,2,3.4,5，甲正确解答1.3,5，乙正确解答1,2,4 于B,a<1,不能得出-1<a<1,不满足题总.对于C,a<b+1,即-b< 5,丙正确解答2,3,4.则每题都只有2人正确解答，B错误： 1,不能得出：-b<0.即不能得出a<b,不满足题意.对于D,a>b+1 如果3人都正确解答了所有题.则C错误： 即-b>1,则可得出->0.即能得出>k.所以此时p是g的必要 如果三人都是正确解答1,2,3，这时有两题没有人正确解答， 条件，满足题意故选D D错误. -u>-1, 故迷A 7.C解析：因为p是g的充分不必要条件.所以3a<6,解得0<a< 17.(-x,5]解析：由题可知，1xlx>5G1xlx>na≤5故答案 (a>0. 为(-，5】. I,所以实数a的取值范围是a1O<a<1.故选C 18.①解析：由集合的包含关系知道，若M二N,则AMnN=M.故答案 8.ABC解析：由A∩B=B得BCA.所以“B=O”可推出“A∩B=B” 为①. 反之不成立，A选项正确：解方程x2-2x-3=0,得x=-1或x=3,所 19.解：(1)若个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题 以“x=3”的必要不充分条件是“x2-2x-3=0”,B选项正确：“m是 (2)若(a-1)2+(6-1)2=0,则a=b=1,是真命题. 有理数“可以推出”m是实数”，反之不一定成立，C选项正确：解方 (3)已知x,y为正整数，若y=x+1,则y=3.x=2,是假命题 程Ix|=1,得x=±1，则“x1=1”是”x=1”的必要条件，D选项错误 20.解：(1)若p为直命题，则应有1=8-4m>0.解得m<2故m的取值 故选ABC. 范围为}mlm<2, 9.充分必要 （2)①当p真，園时，有S得1≤m<2: 第3关（练思维宽度）】 10.解：(1)欲使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件.则只要 2当极，真时，有C无据 {<7}<-1或o3引，则只装-受≤-1，即m≥2故 综上，m的取值范围是1m1≤m<2 存在实数m≥2使“2x+m<0”是“x<-1或x>3”的充分条件 第3关（练思维宽度） (2)欲使"2x+m<0”是“x<-1或x>3”的必要条件，则只要 21,D解析：①当m=1时.1≥m=1且x2≥1，，1=1，∴，①正确。 ②当m=时.2=子放1≥子又产≤11e1≤1≤ {<}2<-1成o31,这是不可能的，故不存在实 数m使“2x+m<0“是“x<-1或>3“的必要条件 12E确3当1e宁时了且 重难点拨 2 至m写 充分条件，必要长件的应用一般表现在参数问匙的求解上，解题时帽 0.,③正确故选D. 注意： 22解：根据题意，由“数城”的定义可知， (1)把充分条件、必要条件转化为集合之同的关系，然后根据集合之 对于①，从有理数集Q中任取两个有理数a,(b≠0). 则a+b、a-b,a×b,a÷b(6≠0)都是有理数，故有理数集Q是数域 同的关系列出美于参数的不等式（或不等式组）求解 故命题①正确： (2)要注意区问端点使的检验.尤其是利用两个集合之何的关系求 对于②，已知有理数集QCM,若M=QU|云{，1Q,则云+ 解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定璃点值的取金， leM. 处理不当容号出现希解或增解的现象 此时数集M不是“数域”，故俞题②错误： 对于③，设“数域”P,aEP,bEP(假设a≠0)，则a+beP,则a+ 第2课时充要条件 (a+b)=20+bEP. 第1关（妹递度） 同理n+beP,n∈N,故“数域”必为无限集，所以命题3正确： 1,A解析：由MCN.则a=0或a=-2,则“a=0”能推出“MCN",满 对于④.形如1=a+r,x为无理数1口.beQ1这样的数集都是 足充分性：“MCN"不能准出“a=0”.不满足必要性，所以“a=0" “数域” 是“M二N”的充分不必要条件，故选A 故存在无穷多个“数城”，所以命题④正确 2A解析：p:x+y=-2,q:x,y都是-1，则当x,y都是-1时，满足 2.2充分条件、必要条件、充要条件 +y=-2,反之当x=1,y=-3时，满足x+y=-2,但x,y都是-1不成 立，即、是一P的充分不必要条件，则根据逆否命题的等价性知P 第1课时充分条件、必要条件 是的充分不必要条件放选A 3.B解析：显然1-21>1，但-2>1不成立，故充分性不成立：若a>6 第1关（练逸度）】 则1al≥a>b.故必要性成立.故“1al≥b"是“a>b”的必要不充分条 1.D解析：由“1忘x<4”是“xcm”的充分条件，画出如图所示的数轴 件，故选B 4.AC解析：因为(0.1)[0.+x).(0.1)≡(0,2)，所以由0<x<1 推出x≥0.由x≥0推不出0<x<1.即0<x<1是x≥0的充分不必要 条件.则x≥0是0<x<1的必要不充分条件：同理可得0<x<2是0< 观察数轴可得m≥4.故选D r<1的必要不充分条件.故选AC 2.BD解析：a<0,6<0时.如a=-2.b=-4,(a+1)2+(6+3)2=0不成 5.D解析：由题意可知，x∈A白x>-1,x生B一-1<r<1,所以“x芒A且 立，A不是必要条件：a<0.b<0一a+b<0.B是必要条件：a<0,b<0一 x使B”成立的充要条件是-1cx<1.故选D. 重难点拔 二0.C不是必要条件，D是必要条件故选即 充要条件的宫见判断方法 3.D解析：由2x-4≥0可得x≥2.则{x1x≥01星xlx≥2！，x1x≥ (1)定义法：根据一9,9一p进行判断。 1|早|x1x≥21,1xx≥3至x1x≥2，所以使得不等式2x-4≥0 (2)集合法：根据使P,成立的对象的集合之同的包含关系进行料断 成立的一个充分不必要条件是x≥3.故选D 6B解析：根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡“就一定 3解析：由4-m<0,得x<4由1≤3-x≤4，得-1≤x≤2p 要“攻破楼兰“，但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡” 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件，故选B 的-个必要不充分条件号>2，解得m>8枚选B 7.BC解析：由题意得p:A=-3,2,当a=0时，g:B=☑，当a≠0 5.既不充分也不必要解析：a和b都是奇数，则a+b是偶数，当a+b 时g:={ ,因为p是g的必要不充分条件，所以B军A,所以 参考答案学霸07