精品解析：重庆市南开中学校2025年届高三8月第三次质量检测数学试题

6学科网命组卷网 重庆南开中学高2025届高三（上)数学练习 本试卷分为第卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第 I卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上 第I卷（选择题共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的： 1.已知全集U=R,集合A={因y=V2x-}B={y-2",xeR},则°x∈(GA小UB是 xe{x0吲的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域以及指数函数的性质化简集合，即可由交并补运算以及充要条件的定义求解， 【详解】由A={y=V2x-}可得2x-2≥0解得0≤x≤2 所以A={0≤x≤2，B=例y>0G,A=x<0或x>2,(GAUB={dx≠0叫 故选：C P 2.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 3. 第1页/共32页 命学科网组卷网 A.0 B.Z 2 C.2 D.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出sinC,cOsa,再由两角差的余弦公式计算可得. 【1为om引 1V3 (22 1V3 即角的终边经过点 22 所以sina= 1 2cosa= 所以cosa- cosa cos- +sins-lx5+5xl-s 6 6 62222-2 故选：D 3.已知函数f()为偶函数，其图像在点(》处的切线方程为x-2y+1=0,记f()的导函数为 f(,则f(-)=() -1 A.2 B C.-2 D.2 【答案】A 【解析】 【分析】先推导出偶函数的号数为奇函数，再根据条件得到了0，再利用奇函数的性质求了(-) 【详解】因为()为偶函数，所以f()=f(x),两边求导，可得[f(x]=[f(x]→ f'(x)=f'(-x)(-x)f'(x)=-f'(-x) 第2页/共32页 6学科网6组卷网 又f(x)在f(0)处的切线方程为：x-2y+1=0, 所f0-支 所(-)=-f0=号 故选：A 4设函数f)=og,x-r2,则不等式f(r-2)≥f2x+2)的解集为() A.【4,0] B.[-4,0) c[-4,-0U(-1,01D【-4,-0U(-1,0) 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式， 解得即可 【详解】函数f四=logx-x的定义域为{到x≠0， 且f(-x=log,-x-(-x=1og,x-x2=f(),所以f=lg,x-x2为偶函数， 当x>0时f(=1ogX-,因为y=log,与y=-x2在0，+m)上单调递增， 所以f(y=log2x-x在0，+切)上单调递增。 则()在(0,0)上单调递减，不等式f-2)≥f2x+2), x-2≥2x+2 即 ,等价于了x-2≠0 ,解得 或 f0x-2)≥f(02x+2) 2x+2≠0 4≤x<-1-1<x≤0 -4,-1)U(-1,0] 所以不等式的解集为 故选：C 第3页/共32页 命学科网命组卷网 5.已知函数f(x)=x+2x+al血x,若函数f(x)在(0,1)上单调，则实数a的取值范围是() Aa≥0 B.a<-4 ca≥0as-4 或 D.a>0a<-4 或 【答案】C 【解析】 【分析】由思意转化为了()≥0或了'()≤0，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得口的取值范 围. 【解1(9在版同Q)上湖.儿=2x2+经20xe@,文 f(x)=2x+2+8≤0，x∈(0,1 ,即a≥-2x2-2x或a≤-2x-2x恒成立， s=-2x-2x=2+3,xel00. 函数在区间(0,1)上单调递减，函数8()的值域是-4,0)， 所以a≥0或a≤-4. 故选：C 6设方程308，=l的两根为，(：<3)，则() A.0<x<1,x2>3 B1 c.0<xx2<1 D.+为>4 【答案】C 【解析】 【分析】由数形结合及零点的判定方法可确定出 0<x<1<为<2，即可判断AD,计算出 第4页/共32页 命学科网命组卷网 1og()<0, 可判断BC. 【详解1由og,对=1可得8=(G, 在月-一直角坐标系中同时画出医数y=6g,刘和一（目) 的图象，如图所示： y=logxl () we<g3.oe,2=e,2（g-g 0<x<1<x2<2 由图象可知， 所以K+五<3枚A,D错误 log;)logs+log=- + 因为5<m)>⑥ 所以1og(x)<0, 所以0<5<1，即 x2,故B错误，C正确 故选：C 7.若a=0.001+sin0.001.b=lnl.001c=cw-1 ,则() b>c>a A. B.c>a>b c.c>b>a D.a>c>b 【答案】D 第5页/共32页 6学科网6组卷网 【解析】 析】令 f(x)=x+sinx g(x)=In(x+1) h(x)=e-1 p(x)=h(x)-f(x)=e*-1-x-sinx g(x)=h(x)-g(x)=e*-1-In(x+1) 然后利用导数判断函 数的单调性，利用函数的单调性可比较大小 【详解】令f()=x+sinx,g()=ln(x+）.h(x)=e-1 p(x)=h(x)-f(x)=e*-1-x-sinx q(x)=h(x)-g(x)=e*-1-In(x+1) 则p()=e-1co9-=e4， 令m-.m间-e+.当.m0.pg单. 所当2)时.pkpr份)-e-1w6-1mg-6-15<0, 2 茶p内k[0)时#，所Pl00I<p0=0,隋以e<a: 当e).9-e4,◆nqa.则国-e+a +>0 -g)上an.g1间-0. 所以4()在0)小上单调通指。 所以9(0.01)>4(0)=0，所以c>b, 综上，a>c>b. 故选：D 第6页/共32页 命学科网命组卷网 【点睛】关键点睛：此题考查导数的应用，考查比较大小，解题的关键是根据己知条件构造函数，然后利 用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小，考查数学计算能力，属于较难题 8已知可导数f)的定义该为R/位为商商数，设g因是因的导数.若2x+刊为含 数且8(0)=). kg2k=() 2,则后 11 11 13 13 A.2 B.2 C.2 D.2 【答案】B 【解析】 为奇函数，结合导数运算∫'(x-1)=f'(-x-1),由g(2x+1)为奇函数，得到 g(x++8(x+=0,通过整理可符8(+4)=-g(冈，进而分析得到 8(8k+2)=g(8k+4)=2,8(8k+6)=g(8k+8)=2keZ ，从而得出结果 ,后为商数.信-小-登- 即fx-1)=-f(-x-),两边求导得'(x-)=f（x-), 则8(x-)=8(-),可知8（冈关于直线x=-1对称， 又8(2x+1)为奇函数，所以8(2x+1)+8(-2x+1)=0, 即8(x+)+8(-x+)=0,可知()关于直线（，0)对称， 第7页/共32页 6学科网列组卷网 令=1，可符32)+g0)=0,即8(2)=-g0)=2 由8(x-)=8(x-),可得8(=8(x-2) 由8(x+)+8(-x+)=0,可得8()+8(x+2)=0,即8()=-8(-x+2) 可得8(t-2)=-8(x+2),即8(x+4)=-g() x=0.可得8④=-80)=： 令=2.可686=g2-克： 且8(x+8)=-8(x+4)=-[-8(]=8(,),可知8为8()的周期 可知3(+2)=8(8+4)=2.8(8k+6)=8(8+8到-=&eZ 52e2=0+2546+9410)-6+47+8到=号 故选：B. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中 根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f()的图象的对称轴方程为x=3,则函数f()的解析式可以是《) A.f(x)=x+ x+3 B.f(x)=e3+e3- 第8页/共32页 6学科网列组卷网 c.f(x)=x4-18x2 D.f(x)=x2-6x 【答案】BD 【解析】 【分析】依次验证各选项中的函数是否满足(6-)=∫（冈即可 【详解】若f(冈的图象的对称轴方程为x=3,则(6-)=f(田)： 对于A.6-刘=6-，f回A 对于B,f6-)=e+e=f),B正痛， 对于，f(0)=0,f(6)=6-18×6=648.∴f(0)≠f(6) 即(6-)=f(四不恒成立，C错误： 对于D,f(6-=【6-x-6(6-x=r-6x=f(),D正确 故选：BD. 10日知函数f()-2sinr+2(eosr+l) sinx+cosx+1,则() Af()的值域为[-V2V2] B.f()是周期函数 c.f(x)在(4 +2km,元+2k ,k∈Z 单调递减 D.了)的图修关于直线-牙对称，但不关于点（ 对称 【答案】BCD 【解析】 第9页/共32页 命学科网命组卷网 【分析】对于A,利用三角恒等变换化简函数表达式为 f(x)=sinx+cosx+1=2sinx+ 4 +I(x∈R) 但是注意到sinx+cosx+1≠0，由此即可判断： 对于B,在定义域内，由诱导公式可得(x+2)=f(冈， 由此即可判断：对于C,在函数有意义的前提 下，由正弦函数单调性、复合函数单调性即可判断；对于D,利用代入检验法，并注意定义域是否相应的 关于直线或点对称即可判断。 【详解】对于A72sn.e+2儿cosx+刊）2snx0osx+2smx+2cosx+2→ sinx+cosx+1 sinx+cosx+1 (sin x+cosx+)=sinx+cosx+ sinx+cosx+1 因为sinx+cosx+1≠0，且 sine rcosr-in] 所以f(x)的值域是[-V2,0U(0,1+V2],A错误. 对于B,f国图定收D-红-受+2加且*+2，eZ 对在xD拉有+2a=2n(+2+1=n(+}1=.B正 对于,+2+2ke有义. =2n++2+2keE 第10页/供32页 6学科网列组卷网 对.f-m[任}1=5+1=fe y=n+》l信大于直-对.且因定文关T-音对标 x= 所以f(x)的图像关于直线=4称. f(a如(+引=1 但的定义域不关于4对象 所以的图象不关于4称， D正确， 故选：BCD. 11.已知函数y=(x)在R上可导且f(0)=-2,其导函数f'()满足： fx)-2f因-2x-1,则下 列结论正确的是() A函数f()有且仅有两个零点 B.函数3()-f()+20有且仅有三个零点 c.当0≤x≤2时，不等武f()230(x-2)恒成立 D.f()在L,2]上的值域为[-2e,0] 【答案】AC 【解析】 第11页/共32页 6学科网命组卷网 【分析】对A:构造函数 (x)=(x) e2:,根据题意求得f(x)=(x-2(x+1)e2“,令f(x)=0即可求解 后判断；对B:对(x)=(x-2)x+1)e2 求导分析其单调性，结合零点存在定理，即可判断：对C:对 x的取值分类讨论，在不同情况下研究函数单调性和最值，即可判断：对D:根据B中所求函数单调性， 即可求得函数值域 【详解】令()=() .则s)T22x故hxx+c(C为常数 h0=0=-2.c=-24=-x-2. f(x)=(x2-x-2）e2“=(x-2)(x+1)e2 今f()=(x-2x+)e2“=0,解得x=2或x=-1, 故函数（四）有且仅有两个零点，选项A正确， f'(x)=(2x2-5)e2 √10√10 2’2 上单调递减 四）-a0m- -7-如 第12页/供32页 6学科网命组卷网 V10 又f(2)=0,·存在5∈ 2, 使得f(x)=-2e2: 当x<h0 使得f(x)=-2e2 综上所述，f(冈=-2e有且仅有两个根，即8()=f+202 有两个零点，故选项B错误： ·f(x)≥3e(x-2）..(x-2x+1)e2≥3e4(x-2) 当x∈[0,2时，x-2<0,(x+1)e2≤3e 令m=(c+1小e2,则m=(2x+3e2>0 故m-(x+)e在[0,2)上单调递增，m)<m2)=3c,满足题意： 当x=2时，f2)=0也满足不等式f(23e'(x-2列 综上所述，当0≤x≤2时，不等式f(冈23c'(x-2）恒成立，故选项C正确 V10 10 10 单调递减， 在 上单调递增，且 1-0eo<-2e2 2 f()=-2e2,f(2)=0,故函数f(x)在[，2]上的值域为 -0e,0 2 故选项D错误 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、零点、不等式恒成立和值域问题；其中解决 向题的关键是能够构造函数A()= e2x,准确求出∫(x)的解析式，属难题 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 第13页供32页 6学科网6组卷网 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2已知尚了田中力无2在A三 9 【答案】 【解析】 【分析】函数f(x)在2' 上存在单调递增区间，转化为了()>0在22上有解，利用二次西数的 性质求实数b的取值范围。 【我b4店 上存在单调递增区间， 闭+r-622c 2x 令)=2-2r+1,因为0)=1>0，所以只M2)>0安4日>0. 9 b< 即8-4+>0或2-b+1>0,解得4 9 所以实数b的取值范围是 -0 故答案为： 4 、4,1 13max5,x,飞}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x,y,则max工，2少之+宁 的最小值是 第14页/供32页 命学科网组卷网 【答案】2 【解析】 【分析】 N-ma 专+网>0>0.则粉2+ 41 ”,借助于基本不等式可得 N之8，验证等号成立的条件2少4/ 32 ,即得N 【详解】设 因>0>0：a2华+ s,222w2于-8,g 4.1 4.1 当且仅当x=2y= +尸=2，即x=2,y=1时，等号成立，放max{2少产+了月的最小值为2 故答案为：2。 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据max{:,,}的含义，设出 4 N=max{x,2y, 2+ )sN 4,1 2xv( ’,即得 y ,将问题转化为 2+7 的最小值，而这可 以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件即得. (x+1)e,x≤0 14.己知函数(x)= Inx ,x>0 ，函 数g(N)=f2()-(a+2)f(内)+20若函数g(內恰有三个 零点，则口的取值范围是 ( 【解析】 第15页/供32页 6学科网命组卷网 【分析】利用导数分析函数()的单调性，作出函数（冈的大致图象，令8（女=0可得，(）-2 或f(x)=a,由条件结合图象可得Q的取值范围 【详解当x≤0时，f)=(x+)e,所以f'()=e+(x+)e=(x+2)e, 当K-2时，'()<0，函数()在（0,2)上单调递减， 当2<x≤0时，()>0，函数()在(-2,0]上单调送指 且f(0)=1,f(-2)=-e2.f(-H)=0 当x<-1时，f()0,当1<x≤0时，()>0， 当x→0时，与一次函数'=x+1相比，函数》=6增长速度更快， 从倒0 当0.fgr- x2 当0<x<e时，f(x)>0,函数f(x在(0，e)上单调递增， 当e<x<”时，f()<0,函数f(四在(6+切)上单调道减。 且fe)=e.f0=0. 当x>1时，f()>0,当0<x<1时，f()<0, 当→+时，与对数函数少=血X相比，一次西数y=不增长速度更快， 第16页/供32页 6学科网命组卷网 f(x)-Ix 当x>0,且x→0时， 根据以上信息，可作出函数（凶的大致图象如下。 函数8()=f产()-(a+2)f(✉)+20的零点个数与方程（✉）-(a+2/()+2a=0的解的个数一致， 方程f()-(a+2)f()+2a=0,可化为(f()-2f(x)-a=0, 所以f(x)=a或f(x)=2。 由图象可得()=2没有解. 所以方程了()-(a+2/()+2a=0的解的个数与方程f()=a解的个数相等， 而方程儿)=0的解的个数与函数'=f(四的图象与函数y=a的图象的交点个数相等， 由图可知： 当（是小(）时.网微y=内的图章与西意ya的图条有3个文点 故答案为： ((g 【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解 第17页/供32页 6学科网6组卷网 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.求下列函数的导数. (1y=cic0sx-f(4为常数)： (2)y=3n(2.x+5)+lmr 【答案】(1)e*(cosx-sin) 6 1-Inx 十 (2)2x+5x2 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，以及复合函数的求导法则，准确计算，即可求解。 【小问1详解】 解：由函数y=ecos-2 =(e'cosx)-()=(c*Ycosx+e"(cosx)-0-c"(cosx-sinx) 【小问2详解】 解：由函数 y=3ln(2x+5)+Ix x, 3x2x+5×2x+列+xnX-6l-nr 可得y=3×、1 x2 2x+5x2. 16.已知函数1 四=ahx -+2 (1)当a=1时，求f田 的单调区间； x∈[l,+o)f(x)≥0， (2)对 恒成立，求a的取值范围. 第18页/供32页 6学科网命组卷网 0,+0) 【答案】(1)递增区间为 (2)几+o 【解析】 【分析】(1)把a=1代入，利用导数求出函数的单调区间即得. (2)取特值判断a>0,再借助(1)中信息及不等式性质可得a≥1，然后利用导数探讨0<a<1的情况 即得 【小问1详解】 当=1时，函数=xnx-2T-2+2的定义域为(0，o求导得f")=nx+ 11 -2*-2x 2x22, 11 令86)=hx+272x>0 0,求导得8倒)=1↓=2-1 当0<x<1时，g闭<0.当>1时，g)>0,则函数8(0在0，D上潘减，在，+四 上递增， g(x)≥g)=0mx∈(0，+o)f'(x)≥ ，即 ,当且仅当x=1时取等号， 所以函数田在0，+@)上单调道增，即函数心冈 0,+o) 在 的递增区间为 【小问2详解】 依题意， f2)=2aln2-5 >0 4,则a>0, 由(1)知，当x之1时， .x20 恒成立， 当a≥l时，x[L+o）,xhx之0， 则)-an号六+2h -3x-1+220 22x ,因此a≥1； 第19页/供32页 6学科网命组卷网 国-a0+b0-+2,令e=a0+n2, 一十 当0<a<1时，求导得 1 则数的，即闲在几悟上年清数.当e沿，了0=a-1<0, 1,+o) 所以a的取值范围是 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以按参数值分段讨论，利用导数结合函数零点探讨函 数值正负即可作答 17.为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识十基本运动技能 十专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛一校级联赛一选拔性竞赛一国际交流比赛”为一体的竞赛体系， 构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度.某校开展“阳光体育节”活动，其中传统 项目“定点踢足球”深受同学们喜爱.其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一 轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者 得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为2，乙每 2 次踢球命中的概率为3，且各次踢球互不影响. (1)经过1轮踢球，记甲的得分为X,求X的数学期望： (2)若经过”轮踢球，用P表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率. ①求B,PP ②规定D=0,且有P,=4p,+Bp,请根据O中D,乃，Ps的值求出A、B,并求出数列{D,}的 第20页/供32页 6学科网6组卷网 通项公式 【答案】(1) 石：@0A名，%=6.房8包4=号8=片，月- 【解析】 【分析】(1)X的可能取值为-1,0,1，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列与期望； (2)①=6，经过2轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是2轮甲各得1分，二是2轮中有1轮甲得 0分，有1轮甲得1分，由此能求出P.经过3轮投球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分： 甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分：甲3轮中有2轮各得1分， 1轮得分.由此能求出乃。 743 6 1 ②推导出A=p+即1，将B-0A-6B36:B216.代入得，B=7P+7P,推导 1 出{Pm一P}是首项与公比都是6的等比数列，由此能求出结果。 【详解】(1)记一轮踢球，甲命中为事件A,乙命中为事件B,A,B相互独立. 意P(4)=P(B)三.甲的得分X的可能取值为。 Px=-=P=P国P-}号-. P(X=0)=P(4)+r=(P()+rar间=x子+-X1-}2 PX==P(@=P(xP(回=-名 .X的分布列为： 第21页/供32页 可学科网命组卷网 X -1 0 1 P 3 2 6 E(X)=-1x+0x+1x 11 3 266. 的0南)A名 P2=P(X=0)P(X=1)+P(X=1(P(X=0)+P(X=I) =*名+合+8周-6 经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分：甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分； 甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得-1分. 8+cg+cg+ce写8 ②：规定PB%=0,且有D=4p+印，， A=p,+Bpo→ A=6 7 P2=Aps+Bp 1代入得： B=7 :P-B-。(D-P）,数列{.-p是等比数列， 公北为9=名首项为A-A名A-R-(日 1 =(a.-n*(-p)*+(a-w(G+G++g01-石】 第22页/供32页 6学科网6组卷网 6 【点睛】关键点睛：利用待定系数法得到D一了P+方P后，紧扣等比数列定义是解决问题的关镜 I8函数f(x)=lnr-a(r-) x+1. （4)讨论f()的单调性： (2)若函数f()有两个极值点，本，曲线y=f()上两点(：(：》，（西(3》连线斜率记为k, 2-a kx 求证： a-1; (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的 1 20个小球编号各不相同的概率为”，求证：p<。】 【答案】()当a≤2时.()在(0，+)上单增： 当a>2时，f(x)在(0，a-1-v-2a和a-1+V-2a,+o）上单增， 在(a-1-d-2a,a-1+V-2a上单减； In- -) a(x2-1) (2)证明：k=)-f)_山 -1 x2+1 x1-x2 X-x2 h主-2a(x-x) n￥ 2a(x-x2) =。(压+3+)_“名x西+x+为+打 x1-X2 1-x2 n戈 =五-，2a。=n-n五-1， x-x21+2a-2+1x-x2 第23页/供32页 6学科网列组卷网 2-a 血-h为-1>1-1n-lh龙>2 所以要证a-1,即证X-x a-1,即证x-x2x+x2, 2-1 电即Eh克-2》-h克-5<09成立 X2x+x2 x2左+1 X2 21客ca,勇货40=-2 t+1,由(1)知h()在(0，+o∞)上单增，且h()=0, 所以eQ,l时.0<0.所以（成立，原不等式得运， 《3)证明：由题可得P=)00100×99xx82x81 10020 因为99×81=902-92<902,98×82=902-82<902.91x89=902-12<902 又面（②）知1eL+）.40=n1-2-0 t+1 210-1 1029 102. Z=ln >0 取=10，有 910 91 919 10）19 10)19 即 ≥2, >e2 9 19 所以卫< 10 e2. 【解析】 【分析】(1)求导后对4分类讨论即可得： 第24页/共32页 6学科网6组卷网 nx-ln为>2 1= (2)借助斜率公式表示出k后化简，可转化为证明x一x2x+x2,借助换元法令x2,构造函 数h)=n1-2-) t+1,结合(1)问中所的即可得解； 19 10 (3)借助概率公式可得p借助放缩法可得P<10,结合(2)中所得可得血g) >2,即可得 证 【小问1详解】 f)定义被为0 )-》.+2-2x+l (x+1)2 x(x+1)2 对于方程2+(2-2ax+1=0,△=(2-2a}-4=4(a2-2a), 当A≤0，即0≤a≤2时，+(2-2@)x+1≥0，f'()≥0，f()在(0，+o)上单增， 当△>0，即a0或a>2时，方程+(2-2a)x+1=0有两不等根， x=a-1-v-2a,x=a-1+va-2a,而+=2(a-l),x=l, 所以当0时，<西<0，()>0在(0，+o)上恒成立.f(在0，+o)上单增： 当a>2时，0<x<x,x∈(0，x)或x∈(，to时，f()>0,x∈()时，f(<0, 所以f()在(0，)和(+o）上单增，在（：，6)上单减， 综上，当a≤2时，f在(0，+o)上单增， 当a>2时，f)在(0，a-1-a-2@)和(a-l+v匠-2a,+上单增， 在(a-1-v日-2a,a-1+V日-2a）上单减 【小问2详解】 第25页/供32页 6学科网列组卷网 略 【小问3详解】 略 9 ）19 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得出P< 10 后，借助2)向中所得，取二。，代入可 10 19 得9 >e2 即可得解 n m 19已知动点P与定点A(m,0)的距离和P到定直线x=m的距离的比为常数m.其中m>0,n>0,且 m丰n P C ，记点的轨迹为曲线， (1)求C的方程，并说明轨迹的形状： (2)设点B(-m,0),若曲线C上两动点M,N均在x轴上方，AMI BN,且AN与BM相交于点. 1 1 ①当m=2√2，n=4时，求证：AM'BN的值及△AB的周长均为定值： ②当m>m时，记△MB 的面积为S,其内切圆半径为”，试探究是否存在常数入，使得S=”恒成立？ 若存在，求九（用m,”表示）：若不存在，请说明理由. x2 2 【答案】1)C的方程为7+n2-m=1 当m<n时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆： 当m>n时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线. (2)①设点M(),N(x2),M'(),其中片>0h>0且本=-，为=-， 第26页/供32页 6学科网列组卷网 由台Hac程为后号-4a点o小aa2则】 因为AM11BN,所以x-2V2x2+2V2-为2-22x-2W2, 因t,M,4M三点我线，且BN=(5+22+片=与-22+（为=AM1 (法一)设直线MM'的方程为x=少+2N2,联立C的方程，得(C+2y+4W2-8=0, 42t 8 则出+%=P+24= 2+2, 4 2√2 1 AM+BN 所以AM BN AM-BN 4受0+别 4-V242r t 2 2+2 =1 4-2(y+⅓)+fy4-2. 8 1 1 所以AM'BN为定值1： AM -22 (法二）设∠Mh=0则有22-1M1cos64,解得1M=, 2+2c0s0' AM'22 同理由2W2+AM1eos04,解得MM1=2-2cos9: 第27页/供32页 6学科网列组卷网 1 1】2+2cos0+2-v2cos0-1 所以AM'BN AMAM 4 4 1 1 所以AMBN为定值1： 由椭圆定文BO+OM+M4=8,得IQM=8-Bg-AM, AM //BN,.. AM OM 8-BO-AM BN BO BO 解存1Bg=8-M)BN HM+BN,同理可每Ag=8-BN)AM AM +BN 所4g+ag=⑧-eN)M,&-w)HDN_8AM+Bv-2 lM-N AM+BN AM+BN AM+BN =8 2 1=8-2=6 AM BN 因为M=45,所以△1BQ的周长为定值6+42】 N 2=m+n)2 :②存在： 2n 【解析】 第28页/供32页 6学科网6组卷网 x2y2 【分析】(1)设P(x,),由题意可得疗+7一m,结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解 (2)设点M(,)N(西)M(）,其中片>0，h>0且￥=-x,y=-为 ①由AM1/BN可知M,A,M'三点共且B=MM1,设MM:x=少+22，联立C的方程，利 1 用韦达定理表示y+⅓，yy,进而表示出AMBN,结合(1)化简计算即可：由椭圆的定义，由 wag-u-8 AM+BW，进而表示出Ag+|Bg,化简计算即 可：i由可知M,AM'三点共线，且lBW=MM1,设MM,x=y+m,联立C的方程，利 1,12n 用韦达定理表示y+⅓，y,计算化简可得AM BN m2-n2,结合由内切圆性质计算即可求解 【小问1详解】 (x-m)2+y2 m 设点 由题意可知 n P(x,y) m nG-m+y-- n x2 经化简，得C的方程为疗十一m=1, 【小问2详解】 (i)略 t2 (①)）当m>n时，曲线C的方程为7m㎡一-7=1， 「，轨迹为双曲线， 第29页/共32页 6学科网命组卷网 根据（①的证明，同理可得M,A,M'三点共线，且BW=AM, (法一)设直线MM'的方程为x=y+m,联立C的方程， 得[(m2-n2)s2-2]2+2sm(2-)y+(m2-2=0, 2smm2-n2）（m2-n22 %+⅓=(m-ns2-%(m2-r)s-n,) 因为-}-g4-- 1 11 1 AM+AM' 所以AM BN AM AM'AMAM' mx-n+ ma sm sm x3-n n n n n mx-n +m2-n2 sm sm 当+M n m(+⅓)+ (m2-n2） n n0+⅓)+m-P, m2s2(m2-n2）ms n2当+ n 1 1 2n 将(*)代入上式，化简得AM BNm2-7, AM =m (法二)设 依条件有 m、3 +4Mlcs0”.解得AM= m2-n2 ∠MAx=O m n-mcos0 AM' m 同理由 m-n -hM个cos0”,解得1AM1=m-心 n+mcos0 第30页/共32页 命学科网组卷网 1 n-mcos0 n+mcos0 2n 所以AM BN AM AM'm2-R2+m2-n2m2-7. 由双曲线的定文BO+2M-M4=2n,每lQM=2n+MM-Bg AM OM 根据BN BO, 解得ag=2m+M)BM AM +BN 同很每aNO况，架得Ag-2a+BN11 AM0 AM+BN· 所AQ+1ag=2n+aNaM,2a+M)1aN-2n+ AM·BN AM+BN AM+BN AM+BN 2 =2n+ 1 】=2n+m--m2+m AM BN n, 由内切圆性质可知， s=204+a0+B2）-r 自9=瑞-+l4g0)-m. 2n(常数). 因此，存在常数2使得S=恒成立，且乙二m+) 2n. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关， 第31页/共32页 6学科网命组卷网 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 第32页/共32页 重庆南开中学高2025届高三（上）数学练习 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷都答在答题卷上. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 设函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设方程的两根为，，则（ ） A. ， B. C. D. 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的图象的对称轴方程为，则函数的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 是周期函数 C. 在单调递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称 11. 已知函数在R上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ） A. 函数有且仅有两个零点 B. 函数有且仅有三个零点 C. 当时，不等式恒成立 D. 在上的值域为 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是______． 13. 表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 14. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的导数． （1）（t为常数）； （2）． 16. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）对，恒成立，求a的取值范围. 17. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，且各次踢球互不影响． （1）经过1轮踢球，记甲的得分为，求的数学期望； （2）若经过轮踢球，用表示经过第轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率． ①求，，； ②规定，且有，请根据①中，，的值求出、，并求出数列的通项公式． 18. 函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； （3）盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 19. 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明轨迹的形状； （2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点． ①当时，求证：的值及的周长均为定值； ②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $