精品解析：江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题

江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高二下学期期末检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ） A. 34 B. 33 C. 32 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知一位自然数有3个，两位自然数有6个，三位自然数有18个，利用列举法列出符合题意得自然数，即可求解. 【详解】由0,2,4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列， 则一位自然数有3个，两位自然数有个， 三位自然数有个，四位自然数有个， 又四位自然数为 2024为四位自然数中的第6个，所以. 故选：B 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得． 【详解】∵是等差数列， ∴，，所以， ∴公差， ∴， ∴， 故选：D． 3. 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ） A. 或1 B. 或1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别利用等比数列的通项公式和前项和公式，解方程组可得或. 【详解】设等比数列的首项为，公比为，依题意得， 解得或. 故选：A. 4. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】利用取整函数的定义及，直接计算即可. 【详解】由于， 而， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对取整函数定义的理解. 5. 已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象的性质，结合图象的变化快慢，即可判断选项. 【详解】①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢，故①正确； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快,故②正确； ③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，所以乙的瞬时增长快，故③正确； ④乙小区在时刻比在时刻陡，所以在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快，故④正确. 故选：D 6. 已知函数,则的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设，则，∴在上为增函数,在上为减函数，∴，，得或均有排除选项A，C，又中,，得且，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 7. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式和复合函数的求导法则逐项判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 8. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得出的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 所以当时，该质点的瞬时速度为． 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 当n＝15时，取得最大值为225 D. 的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知可求得，进而可得通项公式与前项和公式，再结合选项逐项判断即可. 【详解】因为，，所以，解得，，， 对于A．令n＝9，解得，故A正确； 对于B．d＝－2＜0，数列是递减数列，因此数列不是递增数列，故B错误； 对于C．，当n＝15时，取得最大值为225．故C正确； 对于D．， 令，，∴f（x）在上单调递增，∴的最小值为1，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知各项均为正数的数列的前n项之积为，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论取何值，均存在使得对任意成立 D. 无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项 【答案】AB 【解析】 【分析】根据与的关系即可判断A；根据递推关系求出周期从而判断B；取为一个具体值，并求出，根据数字规律即可判断C，D． 【详解】若，则，若，则，故，A正确； ， 故有，，B正确； 若，则，，，， 故数列从第2项开始按，1，2周期变化，其中没有与相同的项，故C，D均不正确. 故选：AB 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，可判定A正确；根据题意，转化为与的图象有3个交点，利用导数求得函数的单调性与极值，可判定B正确；当时，得到，讨论函数的单调性，结合极值点的定义，可判定C错误.当时，得到，函数单调递增，结合，可判定D正确； 【详解】对于A中，当时，可得，则，所以切线为A正确： 对于B中，若函数有3个零点，即有三个解， 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图像有3个交点， 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 又由时，，当时，且， 如下图： 所以，即实数的取值范围为，所以B正确： 对于中，当时，，可得， 令，在上单调递增， 且,所以存在使得， 所以在上，单调递减， 在上，单调递增，又, 所以在上，即，单调递减， 在上，即，单调递增， 所以是的极小值点，所以错误． 对于D中，当时，， 设，可得， 当时，在单调递减；当时，在单调递增， 所以当时，，所以， 所以，所以函数在上单调递增， 又因为，即， 所以有唯一零点且，所以D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列是等比数列，和是方程的两根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出. 【详解】在等比数列中，由题意知：， 所以， 所以， 所以由等比数列的性质可知， 即. 故答案为： . 13. 已知函数，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出. 【详解】函数，求导得， 于是，所以. 故答案为： 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得（），构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以，即． 令，则． 令，则， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立问题，解题的关键是将问题转化为在上恒成立，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列，中，，且当（为正整数）时，，． （1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜测． 【答案】（1），；，；，；猜测：数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分别令，结合题意代入求解，并根据所求结果猜想数列，的通项公式；（2）根据数学归纳法证明，注意时的运算说明． 【小问1详解】 令，则 令，则 令，则 猜想数列的通项公式为（为正整数）；数列的通项公式为（为正整数） 【小问2详解】 当时，成立 假定当时，成立 当时，则 即成立 ∴数列，的通项公式分别为：，（为正整数）． 16. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为q，由已知条件列方程组求和，可得数列的通项公式，再由得的通项公式； （2）由数列的通项，利用分组求和，结合等差数列和等比数列的前项和公式求. 【小问1详解】 设数列的公比为q，由已知， ， 则有，由，解得，所以； 由，得. 【小问2详解】 ， 所以 . 17. 若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若，，求的最大值． 【答案】（1） 法一：由题意得：，∴， ∴，，，，， 将以上式子累乘得：，也即成立． 法二：由题意得：， ∴，∴成立． （2） 法一：∵，∴， ∴， 则， ∴， ∴． 法二：考虑反证法，假设， 由得， ∴，∴， 同理：， ∴，∴， 同理可证：，，…，， 综上可得：，与条件矛盾， ∴假设不成立，∴成立． 法三：∵，∴，也即， 同时，由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：， 也即，同理可得： ， ， …… ， 将以上式子累加得：， ∴，∴，∴成立． （3）10. 【解析】 【分析】（1）法一：由得到，，，，，累乘法得到；法二：由得到； （2）法一：由题意得，从而得到，证明出；法二：考虑反证法，假设，得到，进而推出，假设不成立；法三：得到，且，利用累加法得到，证明出结论； （3）由可得，即，累加得，另外，故，故，化简得：，显然符合题意，此时，综上，的最大值为10． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由可得：， ∴，也即， ∴，，…，， 将以上式子累加得：，① 另外，，，…，， 将以上式子累加得：，② 结合①②式可得：， ∴，化简得：， 另外，显然有符合题意，此时， 综上，的最大值为10． 【点睛】思路点睛：数列的性质可参考这类下凸函数进行理解，不等式相当于函数图象上三条直线的斜率大小关系． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 【答案】（1） （2）2 （3） 先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【解析】 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【小问1详解】 由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 【小问2详解】 设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 19. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数值直接可得参数值； （2）假设存在，根据导数的几何意义可得，再利用垂直可得，再根据是否有解确定假设是否成立； （3）根据二阶导判断导数的单调性，分别讨论导数的正负情况，进而可得，再根据导数的正负情况分别解不等式即可. 【小问1详解】 由题设，函数定义域为，且， 由，则； 【小问2详解】 当时，，则， 即的斜率，假设存在，则的斜率， 则有解，即在上有解， 该方程化简为，解得或，符合要求， 因此该函数存在另外一条与垂直的切线； 【小问3详解】 ， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 设曲线的另一条切线的斜率为， ①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线； ②当时，，且， 趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大， 所以在、上各有一个零点、， 故当或时，都有 当时，故必存在， 即曲线存在相互垂直的两条切线，所以 因为， 由②知，曲线存在相互垂直的两条切线， 不妨设，， 满足，即， 又，， 所以， 故，当且仅当时等号成立， 所以，解得， 又，即 ，解得， 因为，， 所以． 综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰一中2023-2024学年高二下学期期末检测数学卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由0，2，4组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为，即，若，则（ ） A. 34 B. 33 C. 32 D. 30 2. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 20 B. 16 C. 14 D. 12 3. 已知是等比数列的前项和，若，则数列的公比是（ ） A. 或1 B. 或1 C. D. 4. 记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ） A. 23 B. 22 C. 24 D. 25 5. 已知甲､乙两个小区在这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确结论的个数为（ ） ①在这段时间内，甲小区比乙小区的分出量增长得慢； ②在这段时间内，乙小区比甲小区的分出量增长得快； ③在时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长得慢； ④乙小区在时刻的分出量比时刻的分出量增长得快． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数,则的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. B. 3m/s C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前n项和为，且满足，，则下列选项正确的有（ ） A. B. 数列是递增数列 C. 当n＝15时，取得最大值为225 D. 的最小值为1 10. 已知各项均为正数的数列的前n项之积为，且，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 无论取何值，均存在使得对任意成立 D. 无论取何值，数列中均存在与的数值相同的另一项 11. 已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在处的切线方程为 B. 若有3个零点，则的取值范围为 C. 当时，是的极大值点 D. 当时，有唯一零点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 数列是等比数列，和是方程的两根，则__________. 13. 已知函数，若，则__________. 14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列，中，，且当（为正整数）时，，． （1）计算，，，，，的值，并猜测数列，的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜测． 16. 设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和.已知，且､构成等差数列，令. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 若正实数数列满足，则称是一个对数凸数列；若实数列满足，则称是一个凸数列.已知是一个对数凸数列，． （1）证明：； （2）若，证明：； （3）若，，求的最大值． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意成立，求实数的值； （3）若，求证：． 19. 如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为． （1）当时，求实数的值； （2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由； （3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $