精品解析：海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（A卷）

海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高二年级下学期 期中考试数学试题A卷 一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分） 1. 已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义，即可求解. 【详解】解:， 解得 故选：D 2. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令 解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得： 解得： 故选：A 3. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可. 【详解】根据题意进行分类： 第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）； 第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）. 所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法． 故选：D. 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）． A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】函数求导，计算，利用切线与直线垂直，求得a值. 【详解】因为， 所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率， 由切线与直线l垂直知，即，解得． 故选：C． 5. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C. 数列，，，，…的一个通项公式是 D. 数列，，…，是递减数列 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的函数特征，可判断A;比较数列的项，可判断B;根据数列的前几项可验证数列的通项公式，判断C;观察数列的项的变化，可判断D. 【详解】因为数列是一类特殊的函数，其自变量 ,故数列的图象是一群孤立的点，A正确； 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…的对应项不一样，故不是同一数列，B错误； 观察数列，，，，…的前四项规律，可知一个通项公式是，C正确； 数列，，…，的每项是越来越小，故数列是递减数列，D正确， 故选：B 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 1 C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】把已知式变形后，由二项式定理求解． 【详解】，因此所求的系数即为的展开式中的系数， 由二项式定理知系数为． 故选：C． 7. 已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求函数的导数，根据函数的单调性，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围. 【详解】，因为函数在区间上单调， 所以或，当恒成立， 即或，得或，因为， 所以. 故选：B 8. 设首项为1的数列的前n项和为，已知， 现有下面四个结论 ①数列为等比数列； ②数列的通项公式为； ③数列为等比数列； ④数列的前n项和为. 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得，可得①正确，利用等比数列求出，根据前n项和求，可判断②③，计算，并分组求和可判断④. 【详解】因为， 所以， 又. 所以数列为首项是2，公比是2的等比数列， 所以， 则. 当时，， 但， 所以①正确，②③错误， 因为， 所以的前n项和为， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由求数列的通项公式，属于中档题. 9. 设集合，则（　　） A. {2，3} B. {1，2，3，5} C. {1，2，5} D. {1，5} 【答案】B 【解析】 【分析】依据并集的定义去求即可解决. 【详解】 故选：B 10. 设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ ⑤ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】依据平行公理可知①判断正确；依据线面平行判定定理否定②；依据线面垂直性质定理可知③判断正确；依据面面平行判定定理否定④；依据面面平行判定定理可知⑤判断正确. 【详解】①.判断正确；② 或.判断错误； ③ .判断正确；④ 或 或与相交. 判断错误； ⑤.判断正确； 综上，推导正确的3个 故选：C 11. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（　　） 气温x/℃ 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的值，再据此模型计算出时卖出奶茶的杯数. 【详解】， 由，可得，则 则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为9 故选：A 12. 如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. 7 C. 10 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理求得AB的长度，再去求的值，进而可求得△ABC的面积. 【详解】由， 可得，解之得或（舍） 则， 又，则 则 则△ABC的面积为 故选：C 13. 已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 若m，，，则的最小值为是 D. 存在m，n，，且，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式构造首项、公比的方程组，求得首项、公比从得到通项公式，进而判断A、B是否正确；由得，利用基本不等式判断C是否正确；将变为由等式左右两边数的奇偶性判断D是否正确 【详解】由得，所以，所以A错误，B正确； 因为，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，所以C正确； 若，则，所以，左边为奇数，右边为偶数，上式不可能成立，所以D错误. 故选：BC. 14. 下列说法正确的有（ ） A. 随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大 B. 随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为 C. 根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05 D. 若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关 【答案】AD 【解析】 【分析】对A、C、D：根据案例分析相关知识逐项分析判断；对B：根据二项分布结合组合数的性质分析判断. 【详解】对于选项A：根据方差的计算公式可知：方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大，故A正确； 对于选项B：随机抛掷质地均匀的硬币100次，设出现正面向上的次数为，则， 则， 根据组合数的性质可知， 即， 所以，即出现50次正面向上的可能性小于，故B错误； 对于选项C：因为， 根据小概率的独立性检验，可判断与无关，故C错误； 对于选项D：由经验回归方程为可知， 所以变量与负相关，故D正确； 故选：AD. 二、非选择题（共58分） 15. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】参变分离，得到有三个不同的解，构造，求导得到其单调性和极值最值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围. 【详解】由题意得有三个不同的解， 当时，不合题意， 当时，即有三个不同的解， 令，则， 当或时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且，当时，恒成立， 故的图象如下： 要想有三个不同的解，则，实数的取值范围是. 故答案为： 16. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】（1）14400 （2）30960 （3）20160 【解析】 【分析】（1）分2步进行分析，先排列三个发言以外节目，产生6个空，再从6个空位中任选3个，安排三个发言节目即可； （2）分励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个和励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在最后一个求解； （3）根据题意共有8个的先后位次，往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，从8个位置选2个放置，其它位置任意排列求解. 【小问1详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有6个空位， ②在6个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有＝14400种； 【小问2详解】 励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙排在第一个，方法数为：种情况， 励志歌曲甲不排在第一个并且励志歌曲乙不排在第一个与最后一个，方法数为：种情况， 共有：＝30960种情况． 【小问3详解】 根据题意，五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．共有8个的先后位次；往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，是固定顺序，8个位置选2个，有种方法，其它位置，任意排列， 共有的方法数：＝20160种情况． 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 （1）当时，函数在单调递减； 当时，函数在单调递减；函数在单调递增． 当时，函数在单调递增． （2）. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，分类讨论，确定和的解，得单调区间； （2）问题可变形为对任意恒成立，引入函数，利用导数确定它的单调性，得对任意恒成立，再用分离参数转化为求函数的最值，得出的范围． 【详解】解：（1）因为，， 所以，， 若，即， 当时，，函数单调递减； 若，，当时，，函数单调递增； 若时，即，， 若时，，函数单调递减； 若时，，函数单调递增； 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在单调递减；函数在单调递增． 当时，函数在单调递增． （2）因为， 所以，即对任意恒成立， 设，则， 所以，当时，，函数单调递增， 当时，， 若，则， 若，因为，且在上单调递增， 所以， 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，，则，所以在单调递增， 所以，即的取值范围为． 【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题的解题关键是在于转化，转化为求函数的单调性，化简不等式，再用分离参数法转化为求函数的最值．本题属于困难题． 18. 在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）名女生不能相邻，有多少种不同的排法？ （2）名男生相邻有多少种不同的站法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等） （5）从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色的朗诵，有多少种选派方法？ 【答案】（1）1440； （2）576； （3）3720； （4）840； （5）432. 【解析】 【分析】（1）利用插空法求解；（2）利用捆绑法求解；（3）利用分类讨论求解；（4）利用缩倍法求解；（5）利用分步乘法原理求解. 【小问1详解】 解：分步进行分析： ①将名男生全排列，有种情况，排好后有个空位， ②在个空位中任选个，安排名女生，有种情况， 故名女生不能相邻的排法有种； 【小问2详解】 解：分步进行分析： ①将名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有种情况， ②将这个整体与名女生全排列，有种情况， 故名男生相邻的排法有种； 【小问3详解】 解：分种情况讨论： ①女生甲站在右端，其余人全排列，有种情况， ②女生甲不站在右端有种站法，女生乙有种站法，其余人全排， 有种情况， 故一共有种； 【小问4详解】 解：首先把名同学全排列，共有种结果， 甲、乙、丙三人内部的排列共有种结果， 要使甲、乙、丙三个人按照一个从高到低从左到右的顺序排列， 结果数只占种结果中的一种， 故有种. 【小问5详解】 解：分步进行分析： ①名男生中选取名男生，名女生中选取名女生，有种情况， ②将选出的人全排列，承担种不同的角色，有种情况， 故有种. 19. （1）设函数．求的极大值； （2）求证：时， 【答案】（1）极大值0； （2）证明： 要证时，，只需证：即可， 设，，则， 故当时，，故在上单调递增， 故当时，，即，∴． 【解析】 【分析】(1)求导，解方程，判断单调性，然后可得极值； (2)作差，构造函数，利用导数求单调区间，根据单调性可证. 【详解】（1）由题意可知，函数的定义域为，， 故当时，，故函数在上单调递增； 当时，，故函数在上单调递减． 故当时，取到极大值，． （2）略. 20. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图： （1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数； （2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率； 【答案】（1）；众数40、中位数42.1，平均数41.5 （2） 【解析】 【分析】（1）依据频率分布直方图的性质去求a值和众数、中位数及平均数； （2）依据古典概型去求这两人恰好属于同一组别的概率. 【小问1详解】 由题意得：，所以； 众数为最高小矩形底边中点的横坐标，即40； 设中位数为x，则 平均数为： 则可以估计这200人的年龄的众数为40、中位数为及平均数为 【小问2详解】 利用分层抽样的方法从第一组抽取4人，从第二组抽取6人， 依题意，所求的概率为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南省琼海市嘉积中学2023-2024学年高二年级下学期 期中考试数学试题A卷 一、选择题（共14小题，每小题3分，共42分） 1. 已知函数的导函数为，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 3. 老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（ ） A. 248种 B. 168种 C. 360种 D. 210种 4. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）． A. B. 1 C. D. 2 5. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 数列的图象是一群孤立的点 B. 数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列 C. 数列，，，，…的一个通项公式是 D. 数列，，…，是递减数列 6. 的展开式中的系数为（ ） A. B. 1 C. D. 20 7. 已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设首项为1的数列的前n项和为，已知， 现有下面四个结论 ①数列为等比数列； ②数列的通项公式为； ③数列为等比数列； ④数列的前n项和为. 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 设集合，则（　　） A. {2，3} B. {1，2，3，5} C. {1，2，5} D. {1，5} 10. 设a，b，c是空间不同的三条直线，α，β是不同的平面，则下列推导正确的个数是（　　） ① ② ③ ④ ⑤ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x（单位：°C）的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为，则据此模型预计时卖出奶茶的杯数为（　　） 气温x/℃ 5 10 15 20 25 杯数y 26 20 16 14 14 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 12. 如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是边长为7的等边三角形，，则△ABC的面积为（　　） A. 5 B. 7 C. 10 D. 20 13. 已知等比数列满足：，，，则下列结论中正确的有（ ） A. B. C. 若m，，，则的最小值为是 D. 存在m，n，，且，使得 14. 下列说法正确的有（ ） A. 随机变量的方差越大，则随机变量的取值与均值的偏离程度越大 B. 随机抛掷质地均匀的硬币100次，出现50次正面向上的可能性为 C. 根据分类变量与的样本数据计算得到，根据小概率的独立性检验（），可判断与有关，且犯错误的概率不超过0.05 D. 若变量关于变量的经验回归方程为时，则变量与负相关 二、非选择题（共58分） 15. 已知函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 16. 某中学预计在“五•四”青年节当天，为高三学生举办成人礼活动，用以激励在备考中的高三学生．学工处共准备了五首励志歌曲，一个往届优秀学生视频发言，一个教师代表发言，一个应届学生代表发言．根据不同的要求，求本次活动的安排方法． （1）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （2）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？ （3）往届优秀学生视频发言必须在应届学生代表发言之前，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 18. 在班级活动中，名男生和名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）名女生不能相邻，有多少种不同的排法？ （2）名男生相邻有多少种不同的站法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲、乙、丙三人按从高到低从左到右排列，有多少种不同的排法？（甲、乙、丙三位同学身高互不相等） （5）从中选出名男生和名女生表演分四个不同角色的朗诵，有多少种选派方法？ 19. （1）设函数．求的极大值； （2）求证：时， 20. 为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到如下频率分布直方图： （1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的众数、中位数及平均数； （2）从第1，2组中用分层抽样的方法抽取10人，并再从这10人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $