精品解析：江西省上饶市广丰金桥学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试题

江西省上饶市广丰金桥学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷 （考试范围：北师大版（2019）必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 若向量满足且同向，则 C. 若三点满足则三点共线 D. 将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 2. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. D. 4. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. 1 C. D. 7. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列几何关系表达正确的是（ ） A. ，，m，n共面 B. ，，m，n共面 C. ，，m，n异面 D. ，，m，n异面 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为 D. 若，其中为锐角，则的值为 10. 如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 11. 在四面体中，平面ABC，，点，Q为AC的中点，，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（ ） A. 平面平面PBC B. 若平面平面PBC，则一定有 C. 若平面平面PBC，则一定有 D. 点R是平面PBC上的动点，，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______． 13. 设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数__________． 14. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 16. 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 17. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 18. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 19. 如图，在三棱锥中，已知，，底面，E为SB中点，为线段BC上一个动点． （1）证明：平面平面； （2）若为线段BC中点，求二面角的余弦值； （3）设为线段AE上的一个动点，若平面，求线段MF长度的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上饶市广丰金桥学校2023-2024学年高一下学期期末检测数学试卷 （考试范围：北师大版（2019）必修第二册） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B. 若向量满足且同向，则 C. 若三点满足则三点共线 D. 将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】A 【解析】 【分析】根据象限角的概念判断A，利用向量的定义以及共线定理判断B,C，利用任意角的定义判断D. 【详解】因为斜三角形的内角是锐角或钝角， 且锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，所以A正确； 因为两个向量不能比较大小，所以B错误； 由可得， 根据向量的共线定理可知，三点不共线，所以C错误； 将钟表的分针拨快10分钟，则顺时针旋转了， 所以分针转过的角的弧度数为，所以D错误， 故选:A. 2. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意利用弧长公式可求得答案 【详解】由题意可知扇形的弧长，半径， 所以扇形的圆心角的弧度数是， 故选：A 3. 已知，，，则（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知：，根据模长公式结合数量积的运算律分析求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以. 故选：B. 4. 如图，在中，是的中点，是的中点，过点作直线分别交于点，，且，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算得，再利用三点共线结论得系数和为1，即，再利用基本不等式求出最值即可. 【详解】因为是的中点，且， 所以. 因为三点共线，所以， 即，所以， 当且仅当时，等号成立. 故选：A. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 6. （ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 7. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 作出正三棱柱，设其外接球的半径为，找出球心的位置，根据正三棱柱的几何特征求出，进而可求得该正三棱柱外接球的表面积. 【详解】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为. 设、分别为下、上底面的中心，且球心为的中点， 又，，， 设球的半径为，则， 所以. 故选：B. 【点睛】本题考查正三棱柱外接球表面积的计算，解题的关键就是列等式求出外接球的半径长，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8. 如图，下列几何关系表达正确的是（ ） A. ，，m，n共面 B. ，，m，n共面 C. ，，m，n异面 D. ，，m，n异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的一个周期为 B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为 D. 若，其中为锐角，则的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据平移变化求，由奇偶性可求出，可判断C；根据已知化简可得，将目标式化为，由和差角公式求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的最小值周期，所以是函数的一个周期，A正确； 对于B，因为， 所以，点不是函数的对称中心，B错误； 对于C，由题知，， 若函数为偶函数，则，得， 因为，所以的最小值为，C正确； 对于D，若， 则， 因为为锐角，，所以， 所以 ，D正确. 故选：ACD 10. 如图，点A，B在上，则下列所给条件可以求出数量积的是（ ） A. ，， B. ， C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用向量数量积定义即可求得；对于B，利用垂径定理可求得，计算即得；对于C，因没有和夹角，无法得出；对于D，利用向量分解和数量积运算律、垂径定理等计算即得. 【详解】对于A，由向量数量积的定义式，，故A正确； 对于B，如图，过点作于点，因，， 则，由A项分析易得，故B正确； 对于C，因，仅知道，不能求出，故C错误； 对于D，与B项同法作辅助线，因,而,且， 故,即D正确. 故选：ABD . 11. 在四面体中，平面ABC，，点，Q为AC的中点，，垂足为H，连结BH，则正确的结论有（ ） A. 平面平面PBC B. 若平面平面PBC，则一定有 C. 若平面平面PBC，则一定有 D. 点R是平面PBC上的动点，，则当直线AR与BC所成角最小时，点R到直线AB的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B、C：根据线面、面面垂直逐项分析判断；对于D：转化为圆锥.结合垂直关系分析运算. 【详解】易知三棱锥是“基本图”，它各个面均为直角三角形，且平面PAB，平面平面ABC，平面平面ABC，，平面PAC， 对于A：由平面PAC知，， 又因为，平面BQH，所以平面BQH， 又平面PBC，平面BQH平面PBC，故A正确； 对于B：过点C作，由于平面平面PBC，且两面的交线为MN， 由面面垂直的性质得平面AMN，平面AMN， ， 且平面PAB，平面PAB，， 又平面PBC， 平面PBC，平面PBC，，B正确； 对于C：在平面PBC条件下，N可以在直线PC上运动，C不正确． 对于D：由题意可得，则， R点的轨迹是以M为圆心为半径的圆，动线段AR是圆锥的母线， AR与平面PBC所成的角为定角，AR与BC所成的角最小时//． 过作平面ABC，，垂足为N，则为到直线AB的距离． 由四边形是矩形得，D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的部分图像的示意图如图所示，已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】借助图象结合三角函数的周期性可计算出函数解析式，再由所给条件可得，代入计算即可得解. 【详解】由图可得，又，故， ，又，故， 则有，，即，， 又，则，即， 由，则， 即， 故或，， 即或，， 又，故， 则. 故答案为：. 13. 设，是两个不共线向量，，，．若A，C，D三点共线，则实数__________． 【答案】-7 【解析】 【分析】求出，设，得到方程组，得到. 【详解】， A，C，D三点共线，设，则， 故，解得. 故答案为：-7 14. 已知复数，，，且复数，在复平面内对应的点分别为和，，则的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义，可得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆，而的几何意义为定点到圆上点的距离，进而可解. 【详解】由已知得对应点为， 由得的几何意义为以原点为圆心，半径为2的圆， 则的几何意义为点到圆上点的距离， 如图可得最大距离为，最小距离为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， ∴函数的取值范围是. 16. 已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【详解】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值. 17. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）记向量的相伴函数为，求当且时，的值; （2）设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）和 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【小问1详解】 由已知可得：， 所以， 因为， 所以，所以， 所以， 所以 ， ， 【小问2详解】 ， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. 【小问3详解】 ， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 18. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解； （2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得:，即， 所以，所以，， 解得：，. 【小问2详解】 ，，， 所以. 19. 如图，在三棱锥中，已知，，底面，E为SB中点，为线段BC上一个动点． （1）证明：平面平面； （2）若为线段BC中点，求二面角的余弦值； （3）设为线段AE上的一个动点，若平面，求线段MF长度的最小值． 【答案】（1）证明：因为底面,平面，所以， 又,平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，E为SB中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别证明和推得平面，即得结论； （2）由（1）易得为二面角的平面角，分别求得,即得结论； （3）通过作于点，作推得平面平面，满足平面，设，将表示成的函数形式，求其最小值即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，平面， 所以，，平面平面， 可知为二面角的平面角， 因，则，,， ， 由（1）知平面，平面，故， 得，故． 【小问3详解】 过点作AB的垂线，垂足为，过点作， 因为，，且，平面，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面，所以平面平面， 平面，所以平面． 设，因，则，，， 则， 故当时，线段MF的最小值为． 【点睛】思路点睛：本题主要考查面面垂直的证明、求解二面角以及距离最值问题，属于较难题.解题思路为：利用一般利用线面垂直证明面面垂直；通过二面角一个面内的点在另一个面的射影得到平面角求解；一般要选设一个量（边或者角）为参数，构建关于参数的函数，求其最值得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $