精品解析：广东省番禺区2023-2024学年高一下学期期末质量监测数学试题

2023学年第二学期高中教学质量监测试题 高一数学 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 4. 某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表： 年级 高一 高二 高三 抽样人数 36 34 30 平均身高 则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 7. 已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 11. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ） A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形 C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是________． 13. 已知是方程的一个根，则________ 14. 已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若点A，B，C共线，求实数m的值； （2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值． 16. 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． （1）求这组样本平均数和方差； （2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； （3）若厂家改进生产线，使得生产出每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 17. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． （1）证明：平面CDF； （2）证明：四棱锥是正四棱锥； （3）试判断平面ABE与平面BCE否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 18. 已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，且． （1）求A的大小； （2）若，的面积为，求a，b； （3）求的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，且，． （1）若，求A与； （2）证明：函数是偶函数； （3）证明函数是周期函数； （4）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期高中教学质量监测试题 高一数学 本试卷共5页，19小题，全卷满分150分，考试时间为120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名和座位号、准考证号填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在答题卡相应位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】求出复数所对点的坐标即可判断作答. 【详解】在复平面内，复数对应的点位于第三象限. 故选：C 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面积公式求解即可. 【详解】依题意，设圆台较大底面的半径为，较小底面的半径为，则， 故. 故选：D 4. 某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如下表： 年级 高一 高二 高三 抽样人数 36 34 30 平均身高 则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式求解. 【详解】由题意可知：抽取的总人数为，各年级的频率依次为， 所以该校高中学生的平均身高可估计为. 故选：C. 5. 已知函数，方程有3个实数解，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出的图象，方程有3个实数解，转化为与的图象有3个不同的交点，然后根据图象求解即可. 【详解】的图象如图所示， 因为方程有3个实数解， 所以与的图象有3个不同的交点， 由图可知. 故选：A 6. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，甲是否击中对乙没有影响，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（ ） A. 与，与，与，与都相互独立 B. 与是对立事件 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立事件和对立事件定义可知AB正误；根据独立事件概率乘法公式可知C错误；根据对立事件概率公式可求得D错误. 【详解】对于A，两人射击结果没有相互影响，与，与，与，与都相互独立，A正确； 对于B，表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，表示事件“乙中靶且甲未中靶”， 与不是对立事件，B错误； 对于C，与相互独立，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A. 7. 已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算及数量积的定义，即可求解. 【详解】由在边上运动，且为边长为的正三角形， 所以， 又，所以， 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱BC，，的中点，点P为底面上任意一点，若直线BP与平面EFG无公共点，则下列命题中， ①平面EFG ②平面平面 ③所有点P在直线上 ④BP与所成的角为，则的最小值是 正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据直线BP与平面EFG无公共点进行判断，对于②，根据面面平行的判定定理结合正方体的性质分析判断，对于③，结合①②分析判断，对于④， 【详解】对于①，因为直线BP与平面EFG无公共点，所以平面EFG，所以①正确， 对于②，连接，因为点E，F，G分别是棱BC，，的中点， 所以∥，∥， 因为∥，所以∥， 因为平面，平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面平面，所以②正确， 对于③，由①②知平面，平面EFG，所以平面， 因为平面平面，点P为底面上任意一点， 所以所有点P在上，所以③错误， 对于④，因为∥，所以为BP与所成的角， 因为平面，平面，所以， 所以， 由③可知点P在上，所以当为的中点时，最小为， 所以的最小值为，即的最小值是，所以④正确. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为在上递减，且， 所以，所以A错误， 对于B，因为在上递减，且， 所以，所以B正确， 对于C，因为在上递增，且， 所以， 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为在上递增，且， 所以，所以， 所以， 因在上递增，， 所以，所以， 所以，所以，所以D正确. 故选：BCD 10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（    ） A. 图（1）的平均数中位数众数 B. 图（2）的平均数<众数<中位数 C. 图（2）的众数中位数<平均数 D. 图（3）的平均数中位数众数 【答案】ACD 【解析】 【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A正确； 图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B错误，C正确； 图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D正确. 故选：ACD. 11. 堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》．如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）．如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑．则（ ） A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形 B. 鳖臑的四个面均为直角三角形 C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍 D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于B，根据鳖臑的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断，对于C，根据棱锥的体积公式结合已知条件分析判断，对于D，根据堑堵、阳马与鳖臑的定义分析判断. 【详解】对于A，如图，由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以阳马的四个侧面都是直角三角形，所以A错误， 对于B，如图由题意可知平面，平面， 所以， 因为平面，平面， 所以， 所以鳖臑的四个面均为直角三角形，所以B正确， 对于C，设长方体的长，宽，高分别为，则， 所以阳马的体积，鳖臑的体积， 所以阳马的体积是鳖臑的体积的两倍，所以C正确， 对于D，由题意可知堑堵、阳马与鳖臑都是由同一个长方体分割而成，且堑堵、阳马与鳖臑的顶点都是原长方体的顶点， 所以堑堵、阳马与鳖臑均可以补成原长方体， 所以它们的外接球的半径都等于原长方体外接球的半径，所以D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 对于一组数据2，3，3，4，6，6，8，8，则第50百分位数是________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据百分位数的定义直接求解即可. 【详解】因为， 所以第50百分位数为第4个数和第5个数的平均数. 故答案为：5 13. 已知是方程的一个根，则________ 【答案】14 【解析】 【分析】利用实系数的一元二次方程的虚根成对原理即可求出． 【详解】是关于方程的一个根， 也是关于方程一个根， ， ， 解得，， 故答案为14 【点睛】本题考查一元二次方程的虚根成对原理、韦达定理，属于基础题． 14. 已知函数在区间上单调递增，且对任意的恒成立，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由在区间上单调递增，可得，再由对任意的恒成立，转化为，利用函数的单调性求出的最小值，从而可出的取值范围. 【详解】的对称轴为， 因为在区间上单调递增，所以，得， 因为对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 令（）， 因为和在上递增， 所以在上递增， 所以，所以，得， 综上，， 即a的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若点A，B，C共线，求实数m的值； （2）若△ABC为直角三角形，求实数m的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】首先求出，，的坐标； （1）依题意可得，再根据平面向量共线的坐标表示计算可得； （2）对直角分三种情况讨论，若为直角，则，所以，即可求出参数的值，其余类似； 【详解】解：（1）因为，，， 所以， 因为、、三点共线，所以，所以，解得 （2）①若为直角，则，所以，解得 ②若为直角，则，所以，解得 ③若为直角，则，所以，即，因为，所以方程无解； 综上可得，当或时为直角三角形 16. 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的为二等品．下面是检验员从一批产品中随机抽样的6件产品的评分： 10.1 9.8 10.0 9.7 10.0 9.8 经计算得，其中为抽取的第i件产品的评分，． （1）求这组样本平均数和方差； （2）从以上随机抽取的6件产品中任意抽取2件，求这两件均为一等品的概率； （3）若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.2．再从改进后生产的产品中随机抽取6件产品，估计这6件产品的平均等级是否为一等品？说明理由． 【答案】（1）平均数9.9，方差0.02 （2） （3）新样本平均等级不一定是一等品，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差计算公式求解即可； （2）由列举法结合概率公式求解； （3）根据平均数公式得出改进后生产的产品评分的平均数，再由平均数的定义作出判断. 【小问1详解】 ， 样本方差为 ， 【小问2详解】 用，，表示抽取的6件产品中的三个一等品， 用，，表示抽取的6件产品中的三个二等品， 则该试验的样本空间可表示为 共有15个样本点． 设事件A为两次都抽到一等品，它包含了3种等可能的结果， 即． 所以． 即两件均为一等品的概率为． 小问3详解】 因为改进后随机抽取的6件产品是改进前抽取的6件产品每个提高0.2分， 所以估计改进后生产的产品评分的平均数， 所以可以认为这6件产品平均等级为一等品. 因为样本数据具有随机性这6件产品不一定是一等品， 所以新样本平均值不一定达到10分以上，所以新样本平均等级不一定是一等品． 17. 金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．河南某实业集团股份有限公司是国内人造金刚石的排头兵，人造金刚石年生产能力达15亿克拉，是国内同行业第一，世界第三金刚石生产基地．金刚石呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，且对角面（如ABCD）都是正方形． （1）证明：平面CDF； （2）证明：四棱锥是正四棱锥； （3）试判断平面ABE与平面BCE是否垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）不垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可知对角面AFCE是正方形，则，然后由线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接AC与BD，设，连接EO，根据题意利用等腰三角形的性质可证得， ，则由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而可证得结论； （3）取BE中点G，连接AG，GC，AC，则，，是二面角的平面角，设该正八面体棱长为，表示出，然后利用勾股定理的逆定理分析判断即可 【小问1详解】 由题意可知，对角面AFCE是正方形， 所以， 又因为平面CDF，平面CDF， 所以平面CDF． 【小问2详解】 如图1，连接AC与BD，设，连接EO， 图1 图2 则 因为， 所以， ， 又因为平面ABCD，又因为平面ABCD，且 所以平面ABCD． 所以四棱锥是正四棱锥． 【小问3详解】 如图2所示，取BE中点G，连接AG，GC，AC， 根据等边三角形性质可知，， 所以是二面角的平面角， 设该正八面体棱长为， 则，， 则在中，， 所以，所以平面ABE与平面BCE不垂直． 18. 已知a，b，c分别是三内角A，B，C所对三边，且． （1）求A的大小； （2）若，的面积为，求a，b； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得答案； （2）由求出，再由余弦定理可得答案； （3）利用两角和的正弦展开式可得，设，由的范围求出的范围，再由余弦定理得，可得，利用配方法可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得 ， 因为， 所以， 即， 因为，所以，故， 所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 即，所以， 又因为，即， 所以； 【小问3详解】 因为， 所以， 设，因为，所以， 由（1）知，由余弦定理， 得，， ， ， 当时，取最小值；时，取最大值． 所以的取值范围是． 19. 已知函数的定义域为，且，． （1）若，求A与； （2）证明：函数是偶函数； （3）证明函数是周期函数； （4）若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1） 根据函数值计算求出余弦函数的参数值； （2）应用偶函数定义证明； （3） 应用周期定义证明； （4）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 【小问1详解】 因为， ① 令，可得，， 因为，所以， 由，得． 由，得， 解得． 因为，所以， 所以，则 ， 所以． 解法二：因为，所以 ． ． 因为，所以， 解得，或． 当时，，与已知矛盾，所以， 由，且，得 所以． 【小问2详解】 由（1）得，， ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； 【小问3详解】 令得，， 即有， 从而可知，， 故， 即． 所以函数是一个周期为的周期函数． 【小问4详解】 由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点． 又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和． ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，． 在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 【点睛】方法点睛：赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$