第07讲 两条直线平行和垂直的判定（2个知识点+1个要点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 两条直线平行和垂直的判定（2个知识点+1个要点+6种题型+过关检测） 一、两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 判断两条不重合的直线是否平行的方法 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在 二、两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 要点：直线的平行、垂直关系在平面几何中的应用 直线的平行与垂直是平面几何中的两种重要的位置关系.由此,理解并掌握直线的平行与垂直关系有助于培养数形结合、转化与化归的数学思维,强化直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养.在解题方面,主要应用于几何形状的判断、探究与证明等题型,通常与数形结合、函数与方程等思想相结合 1.在平面几何中,解决与直线平行、垂直有关的问题的一般步骤: (1)建立适当的平面直角坐标系,将问题中涉及的几何要素放入坐标系中研究.建立坐标系时需注意对称、平行或垂直等特殊位置关系,务必使坐标简洁,易求易算 (2)写出或设出相关点的坐标: (3)利用直线的斜率公式求出相关直线的斜率,注意区分直线的斜率是否存在,必要时分情况讨论 利用直线平行、垂直与斜率的关系解决形状判断、参数求解等问题 2.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 题型1：两条直线平行关系的判定 【例题1】（20-21高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【变式1】（20-21高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？ 题型2：两条直线平行关系的应用 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 题型3：两条直线垂直关系的判定 【例题3】（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】（22-23高二上·新疆·期中）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【变式3】（21-22高二上·全国·课前预习）判断与是否垂直： （1）的斜率为，经过点，；( ) （2）经过点，；经过点，．( ) 题型4：两条直线垂直关系的应用 【例题4】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与直线相互垂直，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【变式1】（23-24高二上·云南玉溪·期中）若直线与直线垂直，则m的值为（    ） A． B． C． D．或0 【变式2】（23-24高二上·山东临沂·期末）若直线与互相垂直，则 . 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    题型5：直线平行、垂直的综合应用 【例题5】（2021高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 【变式2】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 【变式3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 题型6：几何图形的特征的应用 【例题6】（2021高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 一、单选题 1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 2．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线：和：互相垂直，则实数（    ） A．2 B． C．3 D．4 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（20-21高二上·天津武清·阶段练习）已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．（21-22高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（    ） A．10°，10° B．80°，80° C．10°，100° D．100°，10° 二、多选题 9．（23-24高二上·广东江门·期中）已知直线和，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二上·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若两直线与平行，则实数的值可以为（    ） A．3 B．2 C．-2 D．1 三、填空题 12．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若直线与直线平行，则 . 13．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 . 14．（21-22高二下·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 四、解答题 15.（23-24高二上·全国·课后作业）已知，点满足，且，试求点的坐标. 16．（高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 18．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 19．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 两条直线平行和垂直的判定（2个知识点+1个要点+6种题型+过关检测） 一、两条直线平行的判定 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 判断两条不重合的直线是否平行的方法 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在 二、两条直线垂直的判定 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直 注意点： (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝－. 要点：直线的平行、垂直关系在平面几何中的应用 直线的平行与垂直是平面几何中的两种重要的位置关系.由此,理解并掌握直线的平行与垂直关系有助于培养数形结合、转化与化归的数学思维,强化直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模等数学核心素养.在解题方面,主要应用于几何形状的判断、探究与证明等题型,通常与数形结合、函数与方程等思想相结合 1.在平面几何中,解决与直线平行、垂直有关的问题的一般步骤: (1)建立适当的平面直角坐标系,将问题中涉及的几何要素放入坐标系中研究.建立坐标系时需注意对称、平行或垂直等特殊位置关系,务必使坐标简洁,易求易算 (2)写出或设出相关点的坐标: (3)利用直线的斜率公式求出相关直线的斜率,注意区分直线的斜率是否存在,必要时分情况讨论 利用直线平行、垂直与斜率的关系解决形状判断、参数求解等问题 2.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 题型1：两条直线平行关系的判定 【例题1】（20-21高二·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点、，则直线、的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】计算出两直线的斜率，结合斜率关系可得出结论. 【详解】由题意可知直线的斜率，直线的斜率． 因为，所以，或、重合． 故选：A. 【变式1】（20-21高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于B中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于D中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 【变式3】（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？ 【答案】答案见解析 【详解】不一定．直线的斜率，与直线的斜率相等． 故当直线经过点（1，0）时，直线与重合； 当直线不经过点（1，0）时，直线与平行． 题型2：两条直线平行关系的应用 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】利用直线与轴平行但不重合的性质直接求解即可． 【详解】∵直线：平行于y轴， ∴，解得，，． 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条直线的斜率分别为和，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，利用二次函数的性质可求最大值. 【详解】因为两条直线互相平行，所以，所以， 当且仅当时取等号，故实数a的最大值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线：和直线：．若与平行，求a的值． 【答案】 【分析】方法一 ：求出直线的斜截式方程，利用两直线斜率相等，且纵截距不相等时互相平行，解出a的值； 方法二：由一般式方程，两直线平行系数关系得到方程组，求解即可得到a的值. 【详解】方法一 ： 当时，：，：，不平行于； 当时，：，：，不平行于； 当且时，两直线可化为：，：， 则当时，有， 解得， 综上可知，当时，． 方法二：对于两直线， 当它们平行时，有  ， 所以对于直线：和直线：， 当时，则， 则， 可得，故当时，． 题型3：两条直线垂直关系的判定 【例题3】（22-23高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D 【变式1】（22-23高二上·新疆·期中）直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】法一：分别求得两直线的斜率，由可判断两者垂直； 法二：由直线一般式得，故两者垂直. 【详解】法一：由得其斜率为，由得其斜率为，故，所以这两条直线互相垂直. 法二：因为，所以这两条直线互相垂直. 故选：B. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是 ． 【答案】垂直 【分析】分，，三种情况讨论即可. 【详解】①当时，直线过点和点， 直线过点和点， 此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此； ②当时，直线过点和点，直线过点 和点．此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此； ③当时，直线的斜率，直线的斜率， 此时，∴． 故答案为：垂直. 【变式3】（21-22高二上·全国·课前预习）判断与是否垂直： （1）的斜率为，经过点，；( ) （2）经过点，；经过点，．( ) 【答案】 垂直 垂直 【分析】利用坐标分别求直线的斜率，根据斜率公式，即可判断两直线是否垂直. 【详解】解：（1）设直线，的斜率分别为，，则，，因为，所以． （2）设直线，的斜率分别为，，则由，的横坐标相等，得的倾斜角为，则轴；，则轴．故． 故答案为：垂直；垂直 题型4：两条直线垂直关系的应用 【例题4】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与直线相互垂直，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用直线与直线垂直的条件求解即可. 【详解】 故选:A. 【变式1】（23-24高二上·云南玉溪·期中）若直线与直线垂直，则m的值为（    ） A． B． C． D．或0 【答案】B 【分析】利用直线垂直公式直接求解. 【详解】若直线与直线垂直, 所以，解得. 故选：B 【变式2】（23-24高二上·山东临沂·期末）若直线与互相垂直，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据垂直关系得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 题型5：直线平行、垂直的综合应用 【例题5】（2021高二·全国·专题练习）已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设D(x，y)，根据两直线平行和垂直时，其斜率间的关系得出方程组，解之可求得点D的坐标得选项. 【详解】解：设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴·＝－1，∴x＋5y－9＝0， ∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0，由得，， 故选：D. 【变式1】（21-22高二上·全国·课后作业）已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，则顶点D的坐标为 . 【答案】(3,4) 【分析】设D为(x,y)，由平行四边形知对边所在的直线斜率相等，列方程组即可求D的坐标. 【详解】设顶点D的坐标为(x,y)， ∵ABDC，ADBC， ∴，解得， ∴点D的坐标为(3,4). 故答案为：(3,4). 【变式2】（23-24高二上·全国·课前预习）已知直线，，试讨论： (1)的条件是什么？ (2)的条件是什么？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）根据直线平行关系与斜率、截距的关系可直接得到结论； （2）根据直线垂直与斜率的关系可直接得到结论. 【详解】（1）若，则，此时与轴的交点不同，即； 的条件为：且. （2）若，则；反之，若，则； 的条件为：. 【变式3】（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知直线，直线，其中． (1)若直线经过点，且，求m，n； (2)若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用点在直线上，求出再利用两直线垂直的充要条件求出即可； （2）与之间的距离的最大值问题转化为两直线定点间的距离进行求解即可. 【详解】（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得， 又因为，所以，解得． 综上所述，． （2）根据题意，直线过定点，直线过定点． 因为，所以与之间的距离 当时，与之间的距离取得最大值． 此时， 又因为直线AB的斜率，直线的斜率为， 所以，解得， 所以直线的方程为． 题型6：几何图形的特征的应用 【例题6】（2021高二·全国·专题练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D的坐标. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【变式2】（20-21高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，，其中且.试判断四边形的形状. 【答案】矩形 【分析】可借助斜率验证四边形对边平行，邻边垂直，对角线不垂直即得解 【详解】由斜率公式，得， ， ， ， ， . ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形. 又，∴. 又，∴与不垂直， ∴四边形为矩形. 【变式3】（20-21高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【详解】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形 一、单选题 1．（22-23高二上·全国·课后作业）下列说法中正确的有（    ） A．若两直线平行，则两直线的斜率相等 B．若两直线的斜率相等，则两直线平行 C．若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直 D．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于 【答案】C 【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A错误； 对于B，若两直线的斜率相等，则两直线平行或重合，所以B错误； 对于C，若两直线的斜率乘积等于，则两直线垂直，故C正确； 对于D，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于，故D错误； 故选：C 2．（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】因为两条直线平行， 所以直线斜率相等或斜率不存在， 当两直线斜率不存在时，即，两直线为，成立； 当两直线斜率存在时，即，解得，两直线为成立， 综上或. 所以“”是“两条直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 3．（23-24高二上·河北保定·期末）已知直线：和：互相垂直，则实数（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用两直线垂直的充要条件列方程求解即可. 【详解】因为直线：和：互相垂直， 所以， 解得． 故选：B. 4．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角与斜率及两条直线之间的位置关系可得. 【详解】直线的倾斜角为，斜率， 因为，所以，即， 故选:C． 5．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．或1 【答案】B 【分析】 根据平行可解得实数，验证可得正确的选项. 【详解】因为，故，故或， 当时，的方程均为，它们重合，故舍去； 当时，，，它们平行， 故选：B. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 7．（20-21高二上·天津武清·阶段练习）已知等腰直角三角形的斜边所在的直线是，直角顶点是，则两条直角边，的方程是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据，所在直线互相垂直，则由验证即可. 【详解】因为，所在直线互相垂直， 所以其斜率， 经检验A，C，D故错误， 而选项B满足， 故选：B 【点睛】本题主要考查直线的方程以及垂直关系的判断，属于基础题. 8．（21-22高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为10°，直线l1l，直线l2⊥l，则l1与l2的倾斜角分别为（    ） A．10°，10° B．80°，80° C．10°，100° D．100°，10° 【答案】C 【分析】由两线的位置关系，结合已知条件及直线平行、垂直的判定，即可求倾斜角大小. 【详解】∵l1l， ∴它们的倾斜角相等，即l1的倾斜角为10°， ∵l2⊥l，若l2的倾斜角为，则， ∴，即， ∴. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二上·广东江门·期中）已知直线和，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由两直线平行、垂直的条件计算可得答案. 【详解】若，则且，解得，故A错误，C正确； 若，则，解得，故B正确，D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·全国·课后作业）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 11．（23-24高二上·甘肃白银·期末）若两直线与平行，则实数的值可以为（    ） A．3 B．2 C．-2 D．1 【答案】BC 【分析】由两直线平行的充要条件列方程求解即可，注意检验是否重合. 【详解】若两直线与平行， 则，解得，经检验符合题意． 故选：BC. 三、填空题 12．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若直线与直线平行，则 . 【答案】/ 【分析】由直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由与平行，则，所以. 故答案为：. 13．（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知直线和，若，则 . 【答案】2 【分析】根据两直线平行，则两直线斜率相等，得到，解出即可. 【详解】直线的斜率为，， 直线的斜率，即， 经检验，满足题意. 故答案为：2. 14．（21-22高二下·山东菏泽·开学考试）已知三点，则△ABC为 三角形. 【答案】直角 【分析】根据直线斜率关系即得. 【详解】如图，猜想是直角三角形， 由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率， 由，得即， 所以是直角三角形. 故答案为：直角. 四、解答题 15.（23-24高二上·全国·课后作业）已知，点满足，且，试求点的坐标. 【答案】 【分析】设，由题意可得，再根据斜率公式即可得解. 【详解】由，得，， 设，由题意可知，且， 则，， 因为，且， 所以， 所以，解得， 即. 16．（高二·全国·课后作业）已知四边形ABCD的顶点，，，是否存在点A，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】或 【分析】分和两种情况，利用平行，垂直列方程组求解坐标即可 【详解】设点．若，则，解得， 点． 若，则，解得，点 【点睛】本题考查两直线的位置关系，考查直线交点，注意分类讨论的应用，是基础题 17．（24-25高二上·全国·课后作业）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行． (1)经过点，，经过点，； (2)的倾斜角为60°，经过点，． 【答案】(1) (2)或与重合 【分析】（1）由，且A，B，C，D，四点不共线，可判断； （2）由，可判断. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 因为，又， 所以，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线， 所以． （2）设两直线，的斜率分别为，． 由题意知，． 所以，所以或与重合． 18．（23-24高二上·四川·期中）已知，，，. (1)若直线与平行，求的值； (2)若为直角三角形，求的值. 【答案】(1) (2)或12或 【分析】（1）根据求解，然后再判断四点不共线即可； （2）根据直线垂直的斜率关系，分三种情况求解即可. 【详解】（1）依题意可得， 即，解得. 又，， 所以，所以A、B、C、D四点不共线， 所以. （2）若A为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 若为直角，则，即， 解得. 综上，的值为或12或. 19．（22-23高二上·安徽黄山·期中）已知直线，直线． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1），，若，则，求出参数后，需代入验证，排除两直线重合的情况； （2），，若，则，由此求参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 当时，， ，即，符合题意； 当时，，即， ，即，此时与重合，不符合题意. 所以. （2）因为，所以， 整理得：，即：，解得：或， 所以或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$