第05讲 充分条件、必要条件和充要条件（3种题型+2个易错点+过关检测）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

第05讲 充分条件、必要条件和充要条件（3种题型+2个易错点+过关检测） 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 4.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件 题型1：充分条件与必要条件的判定 【例题1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“，”的 条件． 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 题型2：充分条件与必要条件的探求 【例题2】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【变式1】（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）写出“”的一个必要非充分条件是 ． 【变式3】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 题型3：充分条件与必要条件的应用 【例题3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式3】．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 易错点1：条件判定不全面而致误 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 【变式3】（20-21高一上·重庆九龙坡·期中）若集合，，试写出： （1）的一个充要条件； （2）的一个必要不充分条件. 易错点2：不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例题2】（22-23高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 一、单选题 1．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江西南昌·期中）成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·河南·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（23-24高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 10．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 三、填空题 12．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”填空 （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）当时，“”是“”的 . 13．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）写出“”的一个充分条件 （2）写出“”的一个必要条件 16．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列各题中，是的什么条件： (1)数能被6整除，数能被3整除； (2)，； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)，． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 19．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 充分条件、必要条件和充要条件（3种题型+2个易错点+过关检测） 一、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 充分条件或必要条件的判断方法 (1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若p对应的集合为A，q对应的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． (4)充分、必要条件不唯一. 二、充要条件 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 3.判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 ①定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． ②集合法：即利用集合的包含关系判断． ③传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 4.应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 ①根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系． ②根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 注意点： (1)判定定理是数学中一类重要的定理，阐述了结论成立的依据，也就是说判定定理给出了结论成立的充分条件． (2)性质定理同样是数学中一类重要的定理，阐述了一个数学研究对象所具有的重要性质，其作用是揭示这个研究对象的某个特征，性质定理给出了结论成立的必要条件 题型1：充分条件与必要条件的判定 【例题1】（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知p：“三角形是锐角三角形”，q：“三角形的内角中有锐角”，则p是q的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由锐角三角形的定义说明充分性成立，再由直角三角形或钝角三角形中也有锐角说明必要性不成立； 【详解】若三角形是锐角三角形，则其内角都是锐角； 但当三角形的内角中有锐角时，该三角形不一定是锐角三角形， 也可能是直角三角形或钝角三角形． 故是的充分不必要条件． 故选：B. 【变式1】（25-26高一上·全国·课后作业）甲：“实数满足”，乙：“实数满足”，则甲是乙的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】当时，实数满足，但此时不成立； 反过来由得． 综上所述，“实数满足”是“实数满足”的必要不充分条件， 故选：A 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“，”的 条件． 【答案】必要不充分 【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当时，满足，但不满足，，故充分性不成立， 当，时，成立，故必要性成立. 故答案为：必要不充分 【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【分析】先化简得出，再结合充分不必要条件判断各个选项. 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 题型2：充分条件与必要条件的探求 【例题2】（23-24高一上·上海·期末）的一个充要条件是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即，所以A符合题意； 由，可得或，所以选项B是的充分不必要条件； 选项C和D都为的既不充分也不必要条件. 故选：A. 【变式1】（23-24高一上·江西新余·期中）若，则的一个必要不充分条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】的一个必要不充分条件是指由能推出的条件，但反之不能推出. 【详解】设的一个必要不充分条件为，则且， 故只有B选项成立. 故选：B 【变式2】（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）写出“”的一个必要非充分条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据集合的包含关系可得出结果. 【详解】因为，故“”的一个必要非充分条件是“”. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式3】（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【分析】分析可知，即可得出结果. 【详解】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 题型3：充分条件与必要条件的应用 【例题3】（23-24高一上·辽宁·阶段练习）已知不等式成立的充分不必要条件是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式的解集，再由集合间的包含关系即可求出m的取值范围. 【详解】解不等式可得， 又不等式成立的充分不必要条件是，所以可得； 即，解得； 经检验不等式两边不会同时取到等号， 所以m的取值范围是. 故选：D 【变式1】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的子集， 故有， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 【变式3】．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知集合，，． (1)若是的充分条件，求实数的范围； (2)若，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若是的充分条件，则，由子集性质计算即可得； （2）若，则，结合子集性质，对与分类讨论并计算即可得. 【详解】（1）若是的充分条件，则， 即，即实数的范围是； （2）由，故， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 综上所述，的取值范围为. 易错点1：条件判定不全面而致误 【例题1】（24-25高一上·上海·课后作业）“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．即非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用绝对值的性质证明充分性，举反例否定必要性即可. 【详解】若，则，故充分性成立， 当时，满足，但不满足，故必要性不成立，故A正确. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可. 【详解】将代入中，得， 所以“”是“”的充分条件； 由，得，即或， ∴“”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【变式2】（23-24高一上·山西晋中·阶段练习）“”是“”成立的 条件(填：“必要不充分”，“充分不必要”，“充要”，“既不充分也不必要”). 【答案】充分不必要 【分析】根据绝对值的意义，求得不等式的解为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【变式3】（20-21高一上·重庆九龙坡·期中）若集合，，试写出： （1）的一个充要条件； （2）的一个必要不充分条件. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）首先求出集合，再根据集合，求出参数的取值范围， （2）由（1）即可求出的一个必要不充分条件； 【详解】解：因为集合， 所以集合，， （1）若，则， 故的一个充要条件是. （2）由（1）知的充要条件是， 所以的一个必要不充分条件可以是.（答案不唯一） 易错点2：不能正确区分命题的条件与结论而致误 【例题2】（22-23高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件 【详解】因为方程有一正根和一负根，则有， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：C 【变式1】（23-24高一上·重庆江北·阶段练习）已知两个命题p：，q：，则p是q的 条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要）. 【答案】充要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】当时， 若中至少有一个为零，则成立， 若，则， 若，则， 综上，当时，成立，故充分性成立； 当时，，即， 整理得，所以成立，故必要性成立； 所以p是q的充要条件. 故答案为：充要 【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知是实数，集合，．求证：“”是“”的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】利用充分性和必要性的定义求解即可. 【详解】充分性：当时，， 则； 必要性：若，则， 所以，即； 综上，“”是“”的充要条件． 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）证明：“是方程的实数根”的充要条件是“”． 【答案】证明见解析. 【分析】根据代入方程，因式分解即可求证充分性成立，将代入方程中即可求证必要性． 【详解】证明：①充分性，当时，， 代入方程，得，解得，充分性成立， ②必要性，当时，代入方程，则，必要性成立， 综上，是方程的实数根的充要条件是 一、单选题 1．（22-23高一上·湖南株洲·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充要条件的定义，可得答案. 【详解】将代入方程中，显然方程成立；解方程，可得； 故“”为方程“”的充要条件. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南·阶段练习）已知，为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】可以推出；但，则不一定为0. 故选：A. 3．（21-22高一上·江苏南京·期中）设，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据必要不充分条件得，即可求解． 【详解】由题意得，且， 故选：D． 4．（22-23高一上·江西南昌·期中）成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先得出充要条件，再由必要不充分条件的定义求解. 【详解】对于A，由题可知成立的充要条件是， 当时，能得出，而成立，不能得出， 故是的充分不必要条件，故A错误； 对于B，是的充分必要条件，故B错误； 对于C，当时，不能得出，而时，不能推出， 故是的既不充分也不必要条件，故C错误； 对于D，当时，不能得出，而时，能推出， 故是的必要不充分条件，故D正确； 故选：D. 5．（22-23高一上·河南商丘·阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设集合或，集合，根据是的充分不必要条件，得到集合是集合的真子集，最后根据集合的包含关系判断即可. 【详解】设集合或，集合， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 故， 所以B选项符合要求，ACD选项不符合要求. 故选：B. 6．（23-24高一上·河南·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件的要求分别判断即得，对于较复杂的命题，应先求出其等价命题在判断. 【详解】因，由“”可得“”，即“”是“”的充分条件； 而由“”显然不能得到“”，即“”不是“”的必要条件. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 7．（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系及交集的定义，结合充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由，得， 而，则， 故“存在集合C使得，”是“”的充分条件； 由，存在一个集合，使得，，如图， 所以“存在集合C使得，”是“”的必要条件.    故选：C. 8．（23-24高一上·广东潮州·期末）“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的要求进行顺向和逆向两个方向判断能否推出即得. 【详解】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”，即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件， 荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”，故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）使“”成立的一个必要不充分条件可以是（　　） A． B．或 C． D． 【答案】AC 【分析】根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，， 所以由推得出，由推不出， 即是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件； 同理可得是的必要不充分条件； 所以使“”成立的一个必要不充分条件可以是，. 故选：AC 10．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】AD 【分析】根据题意，结合间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确. 故选：AD. 11．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且，D正确， 故选：BD． 三、填空题 12．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”或“充要条件”填空 （1）“”是“”的 ； （2）“”是“”的 ； （3）当时，“”是“”的 . 【答案】 必要不充分条件; 充要条件; 充分不必要条件. 【分析】结合不等式、集合、充要条件的相关知识判断即可. 【详解】（1）易得出“”是“”的必要不充分条件； （2）“”和“”都表示，故“”是“”的充要条件； （3）当时，“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：必要不充分条件；充要条件；充分不必要条件. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，p是q的必要条件的是 ． （1）p：x>2且y>3，q：x＋y>5； （2）p：四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 【答案】（2） 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】（1）由于x＋y>5推不出x>2且y>3，故p不是q的必要条件． （2）由四边形是正方形可以推出四边形的四个角都相等，故p是q的必要条件． 故答案为：（2） 14．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，设；．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用给定条件得到，，再转化为子集问题求解即可. 【详解】若是的充分不必要条件，则，， 故有，解得，又，故. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）写出“”的一个充分条件 （2）写出“”的一个必要条件 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【分析】根据充分条件和必要条件即可求解. 【详解】（1）可填：；；且；这三种中的任何一种； （2）可填：（形如，其中的答案都是对的）． 16．（2023高一·江苏·专题练习）指出下列各题中，是的什么条件： (1)数能被6整除，数能被3整除； (2)，； (3)有两个角相等，是正三角形； (4)，． 【答案】(1)是的充分不必要条件 (2)是的充要条件 (3)是的必要不充分条件 (4)是的必要不充分条件 【分析】分别判断能否推出，能否推出即可． 【详解】（1）因为能被6整除的数一定能被3整除，但能被3整除的数不一定能被6整除， 所以，但， 所以是的充分不必要条件． （2）由得，或， 由得，或， 所以， 所以是的充要条件． （3）因为有两个角相等不一定是正三角形，但正三角形一定有两个角相等， 所以，， 所以是的必要不充分条件． （4）由得，， 因为不能推出，能推出， 即，但， 所以是的必要条件不充分条件． 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知集合，，证明：“”的充分非必要条件是“”. 【答案】证明见解析 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及集合元素的特征证明即可. 【详解】集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于集合，即是的充分条件； 又，而，即由推不出，即必要性不成立； ∴“”的充分非必要条件是“”. 18．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 19．（24-25高一上·全国·单元测试）已知非空集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求； （2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围． 【详解】（1）已知集合，． 当时，，或 又， ； （2）因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以， 所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$