精品解析：四川省达州市宣汉县高级中学培文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

四川省达州市宣汉中学2023-2024学年九年级上学期 期末数学模拟测试题 一、选择题．（本大题共10个小题，每题只有一个正确的选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．含有两个未知数，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．等式左边不是整式，此方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列说法正确的是　　 A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 矩形都是相似图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定方法，相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是菱形，错误，应该是对角线相等的平行四边形是矩形． B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形，错误，应该是两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形． C、等边三角形都是相似三角形，正确． D、矩形都是相似图形，错误，对应边不一定成比例． 故选C． 【点睛】本题考查矩形，菱形，正方形的判定方法，相似三角形的判定方法，相似多边形的判定方法，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3. 如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可． 【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱矩形竖放在长方体矩形的中间． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 4. 不透明的口袋内装有红球和白球共12个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2016次球，发现有504次摸到白球，则口袋中红球的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 【详解】解：设口袋中红球的个数为x个，根据题意可得 ， 解得：x=9， 即口袋中红球有9个， 故选D． 【点睛】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 5. 已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　） A. 2：3 B. 9：4 C. 3：2 D. 4：9 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2， ∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：2． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 6. 反比例函数图象上有三个点，其中 ，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质当时，随的增大而减小即可求得． 【详解】解：∵反比例函数是双曲线，两个分支分别在第一三象限， ∴当时，随的增大而减小，，当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，明确还是是解题的关键． 7. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：将方程进行因式分解可得：（x－5）（x－8）=0，解得：x=5或x=8，根据三角形三边关系可得：这个三角形的第三边长为5，则周长为：3+4+5=12． 考点：（1）解一元二次方程；（2）三角形三边关系 8. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD的中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 【答案】C 【解析】 【分析】根据AE∥BC，E为AD中点，找到AF与FC的比，则可知△AEF面积与△FCE面积的比，同时因为△DEC面积=△AEC面积，则可知四边形FCDE面积与△AEF面积之间的关系． 【详解】解：连接CE，∵AE∥BC，E为AD中点， ∴ ． ∴△FEC面积是△AEF面积的2倍． 设△AEF面积为x，则△AEC面积为3x， ∵E为AD中点， ∴△DEC面积=△AEC面积=3x． ∴四边形FCDE面积为5x， 所以S△AFE：S四边形FCDE为1：5． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题关键是通过线段的比得到三角形面积的关系． 9. 如图，A，B反比例函数y=图象上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC＝BD＝OC，S四边形ABCD＝9，则k值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16． 【答案】B 【解析】 【分析】分别延长CA、DB，它们相交于E，如图，设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝OD•t＝t•5t，则OD＝5t，所以B点坐标为（5t，t），于是AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t，再利用S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB得到•5t•5t﹣•4t•4t＝9，解得t2＝2，然后根据k＝t•5t进行计算． 【详解】解：分别延长CA、DB，它们相交于E，如图， 设AC＝t，则BD＝t，OC＝5t， ∵A，B是反比例函数y=图象上两点， ∴k＝OD•t＝t•5t， ∴OD＝5t， ∴B点坐标为（5t，t）， ∴AE＝CE﹣CA＝4t，BE＝DE﹣BD＝4t， ∵S四边形ABCD＝S△ECD﹣S△EAB， ∴•5t•5t﹣•4t•4t＝9， ∴t2＝2， ∴k＝t•5t＝5t2＝5×2＝10． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝xk图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是【 】 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①连接CD（如图1）． ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB． ∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）． ∴ED=DF，∠CDF=∠EDA． ∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°． ∴△DFE是等腰直角三角形． 故此结论正确． ②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC． ∴四边形CEDF是平行四边形． 又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形． 又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形． 故此结论错误． ③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N， 由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN． 由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF． ∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）． ∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积． ∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化． 故此结论错误． ④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴FE=DF． 当DF与BC垂直，即DF最小时， EF取最小值2．此时点C到线段EF的最大距离为． 故此结论正确． 故正确的有2个：①④．故选B． 【详解】请在此输入详解！ 二、填空题．（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由比例的性质进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握运算法则进行解题． 12. 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据频率稳定在附近，得到概率为，进而利用概率求出数量即可． 【详解】解：由题意，得：摸到红球的概率为， ∴， ∴； 故答案为：25． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果是____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查根的判别式和绝对值的化简，根据方程有两个不相等的实数根求得，然后化简绝对值即可． 【详解】根据方程有两个不相等的实数根可得：，解得：， 则原式 故答案为：1． 14. 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，求得B和E的坐标，然后E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小，利用勾股定理即可求得E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小． 【详解】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， ∵BD＝3，AD＝6， ∴AB＝9， 设B点的坐标为（9，b）， ∴D（6，b）， ∵D、E在反比例函数的图象上， ∴6b＝k， ∴E（9，b）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝9b﹣k﹣k﹣•3•（b﹣b）＝15， ∴9b﹣6b﹣b＝15， 解得：b＝6， ∴D（6，6），E（9，4）， 作E点关于x的对称得E′，则E′（9，﹣4），连接DE′，交x轴于P，此时，PD+PE＝PD+PE′＝DE′最小， ∵AB＝9，BE′＝6+4＝10， ∴DE′＝＝， 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式，本题属于中等题型． 15. 在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明求得，，再根据相似三角形判定与性质得到后面正方形的边长是前一个正方形边长的，进而得到第2024个正方形的边长，过轴于E，延长交x轴于P，根据相似三角形的判定与性质求得，由此可得出点到轴的距离是对应正方形边长的，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，则， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∵点在轴上，， ∴,， ∴， ∴，， 同理，，，…， ∴； 如图，过轴于E，延长交x轴于P， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， 同理可得，点到轴的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，得到正方形边长之间的关系是解答的关键． 三、解答题．（本大题共10个小题，满分90分） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用因式分解的方法解方程是解本题的关键； （1）先把方程化为，再得到两个一次方程，再解一次方程即可； （2）先把方程化为，再得到两个一次方程，再解一次方程即可； 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，． 【小问2详解】 ， 整理得：， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？ 【答案】旗杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．利用，即可求得，最后根据即可解题． 【详解】解：设与交于点G， 由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴． 答：旗杆的高度为． 18. 已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0，有两个不相等的实数根. ⑴求实数m的最大整数值； ⑵在⑴的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22－x1x2的值. 【答案】⑴m的最大整数值为m=1（2）x12+x22－x1x2= 5 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数关系求解即可． 【详解】⑴由题意，得：△＞0，即：>0 解得 m＜2， ∴m的最大整数值为m=1； (2)把m=1代入关于x一元二次方程x2－2x+m=0得x2－2x+1=0, 根据根与系数的关系：x1+x2 =2，x1x2=1， ∴x12+x22－x1x2= （x1+x2）2－3x1x2=(2)2-3×1=5 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点. （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较，当时，和的大小. 【答案】（1）；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）把y=3代入y=2x+1即可求得A的横坐标，则A的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）根据函数图象及图象的位置即可确定x的范围． 【详解】解：（1）把代入，得， . .. 把代入，得， ， 反比例函数的表达式为 （2）当时，： 当时，；当时，. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想． 20. 已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据CG2=GE•GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出结论； （2）先根据∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 21. 为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项)，并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视的学生人数． (3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率． 【答案】（1）见解析；（2）480人；（3）. 【解析】 【分析】先求出被调查的总人数，再根据各项目人数之和等于总人数可得看电视的人数，据此可补全条形图； 用总人数乘以样本中看电视人数所占比例可估计该校喜爱看电视的学生人数； 画树状图展示12种等可能的结果数，再找出恰好抽到2名男生的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：被调查的总人数为人， 看电视的人数为人， 补全图形如下： 人， 所以估计该校喜爱看电视的学生人数为480人； 画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到2名男生的结果数为6， 所以恰好抽到2名男生的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率也考查了统计图． 22. 某市著名景点“凤凰楼”，一耸入云的文化丰碑，坐落于凤凰山之巅周末，阳光明媚，小明、小芳等同学一起登凤凰山，在山顶，他们想用一些测量工具和所学知识测量“凤凰楼”的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察发现，观测点与“凤凰楼”底部间的距离不易测得，因此他们运用如下方法来进行测量：如图，小芳在小明和“凤凰楼”之间的直线BM上放一平面镜，在镜面上做一个标记，这个标记在直线BM上对应位置为点C，镜子不动，小明看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“凤凰楼”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米，然后，小明从点D沿DM方向走了24米，到达“凤凰楼”影子的末端F处，此时，测的小明身高FG的影长米，米如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜厚度忽略不计请你根据题中提供的相关信息，求出“凤凰楼”的高AB的长度． 【答案】“凤凰楼”的高AB的长度为39m． 【解析】 【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出∽，∽，进而利用相似三角形的性质得出AB的长． 【详解】解：由题意可得：， ，， 故∽，∽， 则，， 即，， 解得：， 答：“凤凰楼”的高AB的长度为39m． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确利用已知得出相似三角形是解题关键． 23. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%； （2）选择方案①更优惠． 【解析】 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得平均每次下调的百分率； （2）根据题意可以分别计算出两种方案下的优惠额度，从而可以解答本题． 【详解】解：（1）解：设平均每次下调的百分率为x，则 6000（1-x）2=4860 解得：x1=0.1， x2=1.9（不合题意，舍去） ∴平均每次下调的百分率10% ； （2）方案①可优惠：4860×100×（1－0.98）=9720(元) ， 方案②可优惠：100×80=8000(元) ， ∴方案①更优惠． 24. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上的动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F． （1）如图1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长； （3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB． 【答案】（1）见解析；（2）BP＝2.4；（3）tan∠PCB＝. 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得∠A=∠D=∠ABC=∠BCD=90°，由余角的性质和对顶角的性质可得∠DFC=∠APE，即可得结论； （2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得AE=B1E，AP=B1F，即AF=B1P，由折叠的性质可得BP=B1P=a，BC=B1C=4，根据勾股定理可求BP的长． （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B=∠PCB，设EQ=8k，QF=5k，可得B1F=5k，EF=EQ+QF=13k，由勾股定理可得B1E=12k，由相似三角形的性质可得EH= ，HQ= ，即可求tan∠PCB． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90° ∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°， ∵折叠 ∴∠ABC＝∠PB1C＝90°， ∴∠B1EF+∠B1FE＝90°， 又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC， ∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D， ∴△APE∽△DFC （2）∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF， ∴△APE≌△B1FE（AAS）， ∴AE＝B1E，AP＝B1F， ∴AE+EF＝PE+B1E， ∴AF＝B1P， 设BP＝a，则AP＝3﹣a＝B1F， ∵折叠 ∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4， ∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1 ∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在Rt△DFC中，CF2＝DF2+CD2， ∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9， ∴a＝2.4 即BP＝2.4 （3）∵折叠 ∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP， ∴CP垂直平分BB1， ∴∠B1BC+∠BCP＝90°， ∵BC＝B1C， ∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90° ∴∠PB1B＝∠PCB， ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD∥BC ∴∠B1BC＝∠B1QF， ∴∠B1QF＝∠BB1C， ∴QF＝B1F ∵EQ：QF＝8：5， ∴设EQ＝8k，QF＝5k， ∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k， 在Rt△B1EF中，B1E＝ ＝12k， 如图，过点Q作HQ⊥B1E于点H， 又∵∠PB1C＝90°， ∴HQ∥B1F ∴△EHQ∽△EB1F， ∴== ∴== ∴EH＝，HQ＝ ∴B1H＝ ∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝＝ 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是解本题关键． 25. 已知：如图，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题： （1）求点B坐标； （2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=，求k的值； （3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P（0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）B（0，4）；（2）k=10；（3）存在，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）． 【解析】 【分析】（1）解方程x2-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=x+b求出b=4，即可得出B（0，4）； （2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB=，过点C作CH⊥x轴于H，则CH∥OB，由平行线得出△AOB∽△AHC，得出 ，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入双曲线得出k=10即可； （3）先求出点E的坐标，再分三种情况讨论计算即可得出结论． 【详解】（1）解方程x2﹣7x﹣8=0得：x=8，或x=﹣1． ∵线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根， ∴OA=8， ∴A（﹣8，0）， 代入y=x+b得：﹣4+b=0， ∴b=4， ∴B（0，4）； （2）在Rt△AOB中，OA=8，OB=4，∴AB==4， 过点C作CH⊥x轴于H，如图1所示： 则CH∥OB， ∴△AOB∽△AHC， ∴，即， 解得：CH=5，AH=10， ∴OH=10﹣8=2， ∴C（2，5）． ∵双曲线y=（k≠0，x＞0）经过点C， ∴k=2×5=10； （3）存在．理由如下： 分两种情况： ①当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，过E作EG⊥x轴于G，作EM⊥AC交直线l于M，如图2所示： 则EG∥OB， ∴△AGE∽△AOB， ∴， ∴EG=OB=1，AG=AO=2， ∴OG=8﹣2=6， ∴E（﹣6，1）． ∵EM⊥AC， ∴设直线EM的解析式为y=﹣2x+c， 把点E（﹣6，1）代入得：12+c=1， 解得：c=﹣11， ∴直线EM的解析式为y=﹣2x﹣11， 当y=7时，7=﹣2x﹣11， ∴x=﹣9， ∴M（﹣9，7）． ∵C（2，5）， ∴点N的坐标为（﹣1，11）； 当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的一边时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣7，3）； ②当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，作EG⊥l于G，CH⊥l于H，如图3所示： 则∠EGM=∠MHC=90°，EG=7﹣1=6，CH=7﹣5=2． ∵四边形EMCN是矩形， ∴∠EMC=90°， 由角的互余关系得：∠GEM=∠HMC， ∴△EGM∽△MHC， ∴， ∴GM•MH=CH•EG=2×6=12， 又∵GM+MH=6+2=8， ∴GM=2，MH=6， ∴M的坐标为（﹣4，7）． ∵E（﹣6，1），C（2，5）， ∴N（0，﹣1）； 当CE为以C、E、M、N为顶点的矩形的对角线时，同理得出满足条件的另一点N的坐标为（﹣4，1）； 综上所述：存在以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形，点N的坐标为（﹣1，11）或（﹣7，3）或（﹣4，﹣1）或（0，﹣1）． 【点睛】此题时反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，分类讨论是思想，解（3）的关键是求出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市宣汉中学2023-2024学年九年级上学期 期末数学模拟测试题 一、选择题．（本大题共10个小题，每题只有一个正确的选项，每小题4分，满分40分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是　　 A. 对角线相等的平行四边形是菱形 B. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 C. 等边三角形都是相似三角形 D. 矩形都是相似图形 3. 如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（　　） A. B. C. D. 4. 不透明的口袋内装有红球和白球共12个，这些球除颜色外其它都相同，将口袋内的球充分搅拌均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，不断重复该摸球过程，共摸取2016次球，发现有504次摸到白球，则口袋中红球的个数是（　　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 5. 已知△ABC∽△A1B1C1，若△ABC与△A1B1C1的相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的周长之比是（　　） A. 2：3 B. 9：4 C. 3：2 D. 4：9 6. 反比例函数图象上有三个点，其中 ，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. .以3、4为两边长的三角形的第三边长是方程x2-13x+40=0的根，则这个三角形的周长为（ ） A. 15或12 B. 12 C. 15 D. 以上都不对 8. 如图，已知▱ABCD中，E是边AD中点，BE交对角线AC于点F，那么S△AFE：S四边形FCDE为( ) A. 1：3 B. 1：4 C. 1：5 D. 1：6 9. 如图，A，B反比例函数y=图象上两点，AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，AC＝BD＝OC，S四边形ABCD＝9，则k值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16． 10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形； ②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为． 其中正确结论的个数是【 】 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题．（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分） 11. 已知，则__． 12. 一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有5个．每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出a的值大约是______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则化简代数式的结果是____． 14. 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB相交于点D．与BC相交于点E，且BD＝3，AD＝6，△ODE的面积为15，若动点P在x轴上，则PD+PE的最小值是_____． 15. 在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形，点在y轴上且坐标是，点在轴上，的坐标是，，以此继续下去，则点到x轴距离是_____． 三、解答题．（本大题共10个小题，满分90分） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 为测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，标杆与旗杆的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离三点共线，则旗杆的高度为多少？ 18. 已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0，有两个不相等的实数根. ⑴求实数m的最大整数值； ⑵在⑴的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22－x1x2的值. 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象都经过点. （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较，当时，和的大小. 20. 已知：如图，在四边形中，，对角线、交于点，点在边上，连接交线段于点，． （1）求证：； （2）连接，求证：． 21. 为了解某中学学生课余生活情况，对喜爱看课外书、体育活动、看电视、社会实践四个方面的人数进行调查统计，现从该校随机抽取n名学生作为样本，采用问卷调查的方式收集数据(参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项)，并根据调查得到的数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)若该校共有学生2400名，试估计该校喜爱看电视学生人数． (3)若调查到喜爱体育活动的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中任意抽取2名，求恰好抽到2名男生的概率． 22. 某市著名景点“凤凰楼”，一耸入云的文化丰碑，坐落于凤凰山之巅周末，阳光明媚，小明、小芳等同学一起登凤凰山，在山顶，他们想用一些测量工具和所学知识测量“凤凰楼”的高度来检验自己掌握知识和运用知识的能力他们经过观察发现，观测点与“凤凰楼”底部间的距离不易测得，因此他们运用如下方法来进行测量：如图，小芳在小明和“凤凰楼”之间的直线BM上放一平面镜，在镜面上做一个标记，这个标记在直线BM上对应位置为点C，镜子不动，小明看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“凤凰楼”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小明眼睛与地面的高度米，米，然后，小明从点D沿DM方向走了24米，到达“凤凰楼”影子的末端F处，此时，测的小明身高FG的影长米，米如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜厚度忽略不计请你根据题中提供的相关信息，求出“凤凰楼”的高AB的长度． 23. 广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售． （1）求平均每次下调的百分率． （2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？ 24. 在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P为AB边上动点（P与A、B不重合），将△BCP沿CP翻折，点B的对应点B1在矩形外，PB1交AD于E，CB1交AD于点F． （1）如图1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图1，如果EF＝PE，求BP的长； （3）如图2，连接BB′交AD于点Q，EQ：QF＝8：5，求tan∠PCB． 25. 已知：如图，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣8=0的一个根，请解答下列问题： （1）求点B坐标； （2）双曲线y=（k≠0，x＞0）与直线AB交于点C，且AC=，求k的值； （3）在（2）的条件下，点E在线段AB上，AE=，直线l⊥y轴，垂足为点P（0，7），点M在直线l上，坐标平面内是否存在点N，使以C、E、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$