模块02 函数及其性质（测试卷）-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破（新高考版）

模块02函数及其性质（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•自贡二模）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 2．（2024•顺德区模拟）函数的单调增区间为　　 A． B． C． D． 3．（2024•信州区校级模拟）设，则有　　 A． B． C． D． 4．（2024•天津模拟）函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 5．（2024•天津模拟）函数的图象如图所示，则的解析式可能为　　 A． B． C． D． 6．（2024•江阴市校级一模）已知函数则图象上关于原点对称的点有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．（2024•子长市校级三模）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．（2024•毕节市模拟）已知函数的图象在轴上方，对，都有（1），若的图象关于直线对称，且，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•天河区校级模拟）函数和的定义域为，若的最小正周期为，的最小正周期为，则　　 A．为周期函数 B．为周期函数 C．为周期函数 D．为周期函数 10．（2024•江宁区校级二模）若的定义域为，满足对任意，，都有，且（2），则下列说法正确的是　　 A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 11．（2024•金安区校级模拟）设，，且，则下列关系式可能成立的是　　 A． B． C． D． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•汉中一模）设函数，则　　． 13．（2024•鲤城区校级模拟）已知幂函数的图象过点，则复数（2）（5）（其中为虚数单位）的模的大小　　． 14．（2024•莲湖区校级模拟）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•子长市校级三模）已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当，时，求函数的值域． 16．（2024•绵阳模拟）已知，且，函数的最小值为2． （1）求，的值； （2）求的最大值． 17．（2024•孝南区校级模拟）已知函数，其中． （1）若函数的最大值是最小值的5倍，求的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，，若，求的值． 18．（2024•庐阳区校级模拟）某商场零食区改造．如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且． （Ⅰ）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （Ⅱ）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值． 19．（2024•金东区校级模拟）设函数的定义域为．给定闭区间，若存在，使得对于任意， ①均有（a），则记（a）（D）； ②均有（a），则记（a）（D）． （1）设，，，求（D），（D）； （2）设，，．若对于任意，，均有（D）（D），求的取值范围； （3）已知对于任意，（D）与（D）均存在．证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的，，与中至少一个成立”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 模块02函数及其性质（测试卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．（2024•自贡二模）函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可 【解答】解：由题意可得， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式，是基础题． 2．（2024•顺德区模拟）函数的单调增区间为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【解答】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题． 3．（2024•信州区校级模拟）设，则有　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解． 【解答】解：由题意可知，， ， ， 综上所述，． 故选：． 【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，是基础题． 4．（2024•天津模拟）函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断． 【解答】解：方法一：因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除，； 当时，，即，因此，故排除． 故选：． 方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除，； 又，所以排除． 故选：． 【点评】本题主要考查函数图象的判断，属于基础题． 5．（2024•天津模拟）函数的图象如图所示，则的解析式可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意，由函数的图象分析的定义域、奇偶性和特殊值，由此分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，由函数的图象，的定义域为，的图象关于原点对称， 且（1），当时，， 依次分析选项： 对于，，其定义域为，有，则为偶函数，其图象关于轴对称，不符合题意； 对于，，有（1），不符合题意； 对于，，其定义域为，有，为奇函数，其图象关于原点对称， 且（1），符合题意； 对于，，当时，，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的定义域和奇偶性，属于基础题． 6．（2024•江阴市校级一模）已知函数则图象上关于原点对称的点有　　 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】作出的图象，再作出函数，关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可． 【解答】解：作出的图象，再作出函数，关于原点对称的图象如图所示． 因为函数，关于原点对称的图象与，， 图象有三个交点，故图象上关于原点对称的点有3对． 故选：． 【点评】本题考查函数的图象，属于中档题． 7．（2024•子长市校级三模）已知函数的定义域为，对任意的，且，都有成立．若对任意恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得在上单调递增，从而可得 对任意恒成立，再由△求解即可． 【解答】解：不妨设， 又，， ， 即， 在上单调递增， 对任意恒成立， 又在上单调递增， ， 即对任意恒成立， △，解得或， 实数的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题考查了函数的单调性、一元二次不等式恒成立问题，属于中档题． 8．（2024•毕节市模拟）已知函数的图象在轴上方，对，都有（1），若的图象关于直线对称，且，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】先由函数的图象关于直线对称，得函数的图象关于直线对称，即函数是偶函数，可得．再把代入，可得函数周期为4，求得（1），（3），即可求解． 【解答】解：因为的图象关于直线对称，所以函数的图象关于直线对称， 即函数是偶函数，故有． 因为，都有（1），所以（1）， 所以，又函数 的图象在轴上方， 所以，所以，即函数的周期为4． 当，可得（3）（1）（1），所以（3），当，可得（1）， 所以，所以（1），所以（3）（1）． 故选：． 【点评】本题考查抽象函数的求值，属于中档题． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分。 9．（2024•天河区校级模拟）函数和的定义域为，若的最小正周期为，的最小正周期为，则　　 A．为周期函数 B．为周期函数 C．为周期函数 D．为周期函数 【分析】举出反例检验选项，，结合函数周期的性质检验选项，即可． 【解答】解：当时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，和可能不为周期函数，故选项错误， 但的周期均为，因此和均有为的周期，故选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数周期的判断，属于基础题． 10．（2024•江宁区校级二模）若的定义域为，满足对任意，，都有，且（2），则下列说法正确的是　　 A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【分析】对于，令即可验算； 对于，令即可判断； 对于，令，，得（1），进一步结合奇函数的定义即可求解； 对于，首先说明4是的周期，故只需求出，（1），（2），（3）的值即可验算． 【解答】解：中：令，得（2）（2）（2），又（2），所以，故不正确； 中：令得，， 所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故正确； 中：令，，得（2）（1），所以（1）， 又（1）， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故正确； 中：（1）， 所以，所以， 故4是的周期， 又，（1），（2）， 所以（3）（1），（4）， 所以（1）（2）（3）（4），故正确． 故选：． 【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性、周期性，考查了赋值法的应用，属于中档题． 11．（2024•金安区校级模拟）设，，且，则下列关系式可能成立的是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出，再分别构造函数，结合导数，利用函数单调性逐一分析能求出结果． 【解答】解：，， ，，，解得， 对于，， 设函数（a），，， （a）在上单调递减，则（a）（1）， ，故对错； 对于，，， 设（a），，， （a）在上单调递减，（a）（1）， ， 若，，对正确； 对于，， 设（a），，（a）， 则（a）在上单调递增，在上单调递减， （a），（1），， （a），，，故错误． 故选：． 【点评】本题考查构造函数、导数性质、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是难题． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．（2024•汉中一模）设函数，则　11　． 【分析】推导出，，由此能求出的值． 【解答】解：函数， ， ， ． 故答案为：11． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 13．（2024•鲤城区校级模拟）已知幂函数的图象过点，则复数（2）（5）（其中为虚数单位）的模的大小　　． 【分析】设出，代入，求出解析式，计算出，求出，计算出模长． 【解答】解：设幂函数，因为函数图象过点， 所以，解得，所以， 所以， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．（2024•莲湖区校级模拟）已知函数，若，且（a）（b），则的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，推得，再结合对勾函数的性质，即可求解． 【解答】解：，（a）（b）， ，解得或（舍去）， ， ， ， 令（a）， 由对勾函数的性质知函数（a）在上为减函数， 则（a）（1）， 故的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题（13+15+15+17+17 ）满分77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（2024•子长市校级三模）已知指数函数在其定义域内单调递增． （1）求函数的解析式； （2）设函数，当，时，求函数的值域． 【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解； （2）令，利用二次函数的单调性求解可得． 【解答】解：（1）是指数函数， ，解得或， 又在其定义域内单调递增，所以， ； （2）， ，， ，，令，，， ，，， （2）， ， 的值域为，． 【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题． 16．（2024•绵阳模拟）已知，且，函数的最小值为2． （1）求，的值； （2）求的最大值． 【分析】（1）由已知可得，由绝对值三角不等式可得，即可得答案； （2）结合（1）可得，，，结合辅助角公式及三角函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由，得， 所以，① 又由， 当且仅当，即时，等号成立， 且，所以，② 由①②得：，； （2）由（1）可知， 所以， 令，， 则，， 所以， 因为，所以， 所以当，即时，取最大值，且最大值为2， 所以当时，取最大值2． 即的最大值为2． 【点评】本题考查了绝对值三角不等式的应用、三角函数的性质及换元法的应用，属于中档题． 17．（2024•孝南区校级模拟）已知函数，其中． （1）若函数的最大值是最小值的5倍，求的值； （2）当时，函数的正零点由小到大的顺序依次为，，，，若，求的值． 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出的最值，即可得到方程，解得即可； （2）依题意可得，令，求出，即可求出，，从而得解． 【解答】解：（1）因为， 所以， 当时，， 当时，， 由，解得，故； （2）当时，， 令，有，有或， 可得或， 取，可得，， 又由，有，解得，故． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的性质，属于中档题． 18．（2024•庐阳区校级模拟）某商场零食区改造．如图，原零食区是区域，改造时可利用部分为扇形区域，已知米，米，区域为三角形，区域是以为半径的扇形，且． （Ⅰ）若需在区域外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； （Ⅱ）在区域中，设置矩形区域作为促销展示区，求促销展示区的面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）中，求出和，计算弧长，再求广告带的总长度． （Ⅱ）连接，设，中，求出和，中，求出，计算矩形的面积，求出最大值即可． 【解答】解：（Ⅰ）中，，，， 所以，所以，， 所以，，的弧长为， 所以广告带的总长度为（米． （Ⅱ）连接，如图所示： 设，中，，所以，， 中，由，得，所以， 所以矩形的面积为 ， 因为，所以， 当，即时取得最大值． 所以促销展示区的面积的最大值为平方米． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学运算核心素养，是中档题． 19．（2024•金东区校级模拟）设函数的定义域为．给定闭区间，若存在，使得对于任意， ①均有（a），则记（a）（D）； ②均有（a），则记（a）（D）． （1）设，，，求（D），（D）； （2）设，，．若对于任意，，均有（D）（D），求的取值范围； （3）已知对于任意，（D）与（D）均存在．证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的，，与中至少一个成立”． 【分析】（1）按照（D），（D）的定义利用导数求解即可； （2）由题意可得是在处的切线，分、分别求解即可； （3）按照（D），（D）的定义、及充要条件的定义证明即可． 【解答】解：（1）因为，，， 求导得， 所以在，上为单调递增函数， 因此（D）（2），（D）（1）； （2）因为， 所以，而（1）， 因为，（1）， 表示过点，斜率为的直线， 故是在处的切线， 而存在极值点， 又因为， 所以， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递减， 当时，此时与在上均为单调递增函数， 因此当（D）（D）时，恒成立， 即，，， 当时，则有，显然成立， 当时，则有， 因为， 所以； 当时，此时， 此时，，不符题意舍去； 综上，实数的取值范围为，； （3）证明：先证明必要性 若为上的单调递增函数， 则任取，，，， 由题意可得，， ，， 因为， 所以或或或， 因为为上的单调递增函数， 所以或或或， 所以，， 所以或成立． 同时对为上的单调递减函数，同理可证． 下面证明充分性 当与其中一式成立时， 不可能为常值函数， 先任取，，总有（D）（a）或（D）（b）， 假设存在，，使得（D）， 记，，，， 则（D）， 因为存在（D），则或， 不妨设（D）（a），则（D）（b）， 否则当，（D）， 此时（D）（a），（D），，矛盾； 进而可得（a）（b），则（a），（b）， 因此（a）（b）①． 最后证明为上的单调递减函数， 任取，，且，需考虑如下情况： 情况一：若， 同上述可得，，，， 所以（a）（b）． 情况二：若，则，否则（a）， ，，由此矛盾， 因为，，同情况一可得矛盾， 所以，（a），． 情况三：若，则，（a），否则，（a）， 记，，，（b）， 则，（a）， ，（b）， 同理若，，，， 所以（a）， 由①可得：，． 情况四：若，同上述可得，，． 综上，恒成立． （当为上的单调递增函数时，同理可证） 【点评】本题属于新概念题，考查了导数的综合运用、逻辑推能力，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$