精品解析：甘肃省定西市漳县第一中学2024-2025学年高一上学期入学质量检测数学试卷

漳县第一中学2024年秋季高一入学质量检测考试 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 2. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费x元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，，则（ ） A. 55° B. 70° C. 60° D. 65° 6. 如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，按照此方法可以将目标B的位置表示为（ ） A. B. C. D. 7. 以下图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 若满足，则以为边的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动.设点P的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形的面积为12 B. AD边的长为4 C. 当时，是等边三角形 D. 当的面积为3时，x的值为3或10 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 分解因式：________. 12. 方程的解为________. 13. 某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”） 1日 2日 3日 4日 5日 2022年 26 27 30 33 31 2023年 22 25 24 24 22 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________. 15. 如图，点在上，若，则的度数为________. 16. 如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为________. 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算：. 18. 解不等式组：. 19. 先化简，再求值：，其中. 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点和点D，F均在格点上，点E为AB边上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹. （1）在图①中作射线CF，在其上找到一点M，使； （2）在图②中画以AC为对角线平行四边形ABCG； （3）在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使. 21. 自古以来，“福”是人们祝吉的绝妙佳词，是人们共同追求的人生目标，也是中华民族千古永恒的祈福迎祥主题.龙年来临之际，某班开展了“迎龙年新春，写创意福字”的活动.下列作品是四张编号分别为的创意福卡，除图案外其它均相同.现将四张卡片图案面朝下，洗匀后放在桌面上.小明从中随机抽取一张卡片后放回，再从中任意抽取一张后对两张卡片进行创意解说. （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明抽到卡片所有可能出现的结果总数； （2）求小明抽到的两张卡片图案恰好相同的概率. 22. 根据以下素材，探索完成任务. 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂. 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离. 【素材3】参考数据：，，，. （1）求A、C两点之间的距离.（结果精确到0.1m） （2）求OD长. 四、解答题：本大题共5小题，共40分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级20名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，38，38，38，25，25. 【整理数据】 谈心时间（分钟） 20 25 35 38 40 频数 3 4 3 a b 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级班主任谈心时间 e f 38 54.65 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：c=_______，e=_______，f=_______. （2）根据扇形统计图，将谈心时间不低于37分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？ （3）【数据应用】八年级20名班主任的谈心时间相关信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级班主任谈心时间 32.55 38 37 47.729 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释. 24. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E. （1）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （2）若点F是OC边上一点，且为等腰三角形，求直线FB的表达式. 25. 如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E. （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径. 26. 黄金分割比是生活中比较多见一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点. （1）【模型建立】如图1，在中，，，的角平分线交腰于点，请你证明点是腰的黄金分割点； （2）【模型应用】如图2，在中，，若，则请你求出的度数； （3）【模型迁移】如图3，如果在中，，为边上的高，、、的对边分别为若点是的黄金分割点，那么该直角三角形的三边之间是什么数量关系？并证明你的结论. 27. 如图1，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C. （1）求面积； （2）如图1，若，过点D作交y轴于点E，点P是抛物线上BC下方的一动点，连接PD，PE，求面积的最大值以及取最大值时点P的坐标； （3）将原抛物线向左平移2个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F.在（2）的条件下，在直线BC上存在一点M，平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形.求所有符合条件的点N的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 漳县第一中学2024年秋季高一入学质量检测考试 数学 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效. 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1. 2024的相反数是（ ） A. B. C. D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】利用相反数的意义求解即得. 【详解】2024的相反数是. 故选：C 2. 当时，代数式的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接代入计算即可. 【详解】当时，. 故选：A 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数的除法运算即可. 【详解】. 故选：D. 4. 小红所在城市的居民用水实行“阶梯价格”收费，收费办法是：每户用水不超过，每立方米水费x元；超过，每立方米加收1.05元，小红家今年3月份用水，缴纳水费89.6元，根据题意列出方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合总水费是89.6元列出满足题意的方程即可得答案，重要的是理解“阶梯价格”的概念. 【详解】根据题意，列出的方程为. 故选：A 5. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，，则（ ） A. 55° B. 70° C. 60° D. 65° 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对称及平行线的性质计算即得. 【详解】依题意，四边形与四边形关于直线对称，则， 又，则， 所以. 故选：B 6. 如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，按照此方法可以将目标B的位置表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标的第一个数表示角度，第二个数表示到中心的距离，即可表达出B的位置． 【详解】解：目标的位置表示为， 故选：B． 7. 以下图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用轴对称图形的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，图形关于经过正上及正下的两个圆弧中点的直线对称，A是； 对于B，图形关于经过圆心及内接正三角形顶点的直线对称，B是； 对于C，图形关于经过圆心及内接正方形顶点的直线对称，C是； 对于D，找不到一条直线，使得图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，D不是. 故选：D 8. 若满足，则以为边的是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先由非负数的性质可得，再结合勾股定理知识即可判断三角形的形状. 【详解】∵三边长满足， ∴，∴， ∵，且，∴是直角三角形. 故选：D． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的抛物线的顶点位置，确定的正负，进而求出直线经过的象限即可. 【详解】由二次函数的图象，得抛物线顶点在第四象限，即，解得， 而直线经过点，点分别在轴，轴的负半轴上， 因此直线经过第二、三、四象限， 所以一次函数的图象不经过第一象限. 故选：A 10. 如图①，在矩形中，，对角线相交于点O，动点P从点A出发，沿向点D运动.设点P的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示，则下列结论错误的是（ ） A. 四边形的面积为12 B. AD边的长为4 C. 当时，是等边三角形 D. 当的面积为3时，x的值为3或10 【答案】C 【解析】 【分析】结合矩形的特征以及路程与的面积之间的关系图象可求出，再逐一分析选项即可求得答案. 【详解】当P点在AB上运动时，的面积逐渐增大， 当P点到达B点时，面积增大到3， 所以，即， 则四边形ABCD的面积为12，故A正确； 当P点在BC上运动时，的面积逐渐减小， 当P点到达C点时，减少到0，此时满足， 又因为，所以，故B正确； 当时，P位于AB上，此时， 但是，因此不是等边三角形，故C错误； 由y与x的函数关系图象可知当P点到达B点时面积为3，即满足题意， 当P点在BC上运动（不含B点）时，面积小于等于3， 当P点运动到D时，的面积为， 此时，故D正确； 故选：C. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. 分解因式：________. 【答案】 【解析】 【分析】提公因式分解因式即得. 【详解】. 故答案为： 12. 方程的解为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先要使得式子有意义，在计算即可. 【详解】依题意可得，即且. 所以, 解得. 故答案为：. 13. 某市2022年和2023年5月1日至5日每日的最高气温（单位：℃）如表：则这五天的最高气温更稳定的是________年.（选填“2022”或“2023”） 1日 2日 3日 4日 5日 2022年 26 27 30 33 31 2023年 22 25 24 24 22 【答案】2023 【解析】 【分析】先根据方差的定义列式计算出2022、2023年的方差，再依据方差的意义求解即可. 【详解】2022年的平均气温为， 则其方差为， 2023年的平均气温为， 则其方差为， 因为，所以这五天的最高气温更稳定的是2023年； 故答案为：2023 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据给定条件，利用判别式列出不等式求解即得. 【详解】由关于x的一元二次方程有实数根，得，解得且， 所以m的取值范围是且. 故答案为：且 15. 如图，点在上，若，则的度数为________. 【答案】 【解析】 【分析】可根据圆周角定理直接得到的度数. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：. 16. 如图，中，，，点D，E分别在边AC，BC上，且，连接DE，点M是AB的中点，点N是DE的中点，则线段MN的长为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的线性运算可得，结合数量积运算求模长即可. 【详解】由题意可知：，则， 因为点M是AB中点，点N是DE的中点， 则， 两式相加可得， 则， 即，所以. 故答案为：. 三、解答题：本大题共6小题，共32分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 计算：. 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数运算和根式运算即可. 【详解】原式. 18. 解不等式组：. 【答案】. 【解析】 【分析】分别解一元一次不等式，再求出解的公共部分即得. 【详解】解不等式，得，解不等式，得， 所以不等式组的解为. 19. 先化简，再求值：，其中. 【答案】 【解析】 【分析】先化简再代入求值. 【详解】 ， 因为，所以原式 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点和点D，F均在格点上，点E为AB边上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹. （1）在图①中作射线CF，在其上找到一点M，使； （2）在图②中画以AC为对角线的平行四边形ABCG； （3）在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使. 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用即可找到点位置； （2）利用平行四边形对角线互相平分即可作出； （3）利用三角形全等知识即可找到点位置. 【小问1详解】 点即为所求. 【小问2详解】 平行四边形 即为所求. 【小问3详解】 点 即为所求. 21. 自古以来，“福”是人们祝吉的绝妙佳词，是人们共同追求的人生目标，也是中华民族千古永恒的祈福迎祥主题.龙年来临之际，某班开展了“迎龙年新春，写创意福字”的活动.下列作品是四张编号分别为的创意福卡，除图案外其它均相同.现将四张卡片图案面朝下，洗匀后放在桌面上.小明从中随机抽取一张卡片后放回，再从中任意抽取一张后对两张卡片进行创意解说. （1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明抽到卡片所有可能出现的结果总数； （2）求小明抽到的两张卡片图案恰好相同的概率. 【答案】（1）列表见解析，所有可能结果为16种 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接列表即可． （2）由表格可得所有等可能的结果数以及小明抽到的两张卡片恰好图案相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表可以看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等． 【小问2详解】 解：由上表可看出，在16种可能出现的结果中，抽到的两张卡片中恰好图案相同的卡片结果有4种，分别为，，，． ∴P（抽到的两张卡片恰好图案相同）． 22. 根据以下素材，探索完成任务. 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂. 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离. 【素材3】参考数据：，，，. （1）求A、C两点之间的距离.（结果精确到0.1m） （2）求OD长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作交延长线于，利用直角三角形边角关系及勾股定理求解即得. （2）过作于，由（1）的信息及勾股定理求解即得. 【小问1详解】 过点作交延长线与，连接， 在中，，， 由，得， 于是，在中，由勾股定理得， 因此， 所以A、C两点之间的距离约为. 【小问2详解】 过作于，则四边形为矩形， ， 在中，由勾股定理得， 所以长为. 四、解答题：本大题共5小题，共40分解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 23. 某校在育人工作中，其中一项是班主任每周与学生谈心，了解学生思想动态，及时对管理思路作出调整.为了解七年级班主任和学生的谈心情况，学校调查了七年级20名班主任一周与学生谈心的时间，将谈心时间、次数进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 谈心时间（分钟）：25，35，35，20，25，38，40，40，38，40，38，38，20，35，20，38，38，38，25，25. 【整理数据】 谈心时间（分钟） 20 25 35 38 40 频数 3 4 3 a b 【分析数据】 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级班主任谈心时间 e f 38 54.65 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：c=_______，e=_______，f=_______. （2）根据扇形统计图，将谈心时间不低于37分钟表彰为“最温暖的班主任”，则七年级有多少名班主任获得此荣誉称号？ （3）【数据应用】八年级20名班主任的谈心时间相关信息如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级班主任谈心时间 32.55 38 37 47.729 根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个年级的班主任在育人工作中投入更多一些？并给出一些合理解释. 【答案】（1），，； （2）10； （3）八年级的班主任，解释见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据求出，再利用频率、平均数、中位数的意义求解即得. （2）求出谈心时间不低于37分钟的频率，进而求出频数即可. （3）由两个年级的平均数、中位数、方差进行比较并判断. 【小问1详解】 由给定的数据得，，则， ， 将20个数据由小到大排列为：， 因此. 故答案为：；； 【小问2详解】 谈心时间不低于37分钟的班主任的频率为，则， 所以七年级有10名班主任获得此荣誉称号. 【小问3详解】 八年级的班主任在育人工作中投入更多一些， 因为两个年级的班主任一周与学生谈心的时间平均数相同， 但八年级的班主任一周与学生谈心的时间中位数高于七年级， 且八年级的班主任一周与学生谈心的时间的方差小于七年级， 所以八年级的班主任在育人工作中投入更多一些. 24. 如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E. （1）求反比例函数的表达式及点E的坐标； （2）若点F是OC边上的一点，且为等腰三角形，求直线FB的表达式. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出反比例函数的表达式及点E的坐标. （2）求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线FB的表达式. 【小问1详解】 依题意，轴，轴，由，得， 则线段的中点，由点在反比例函数的图象上，得，解得， 所以反比例函数的表达式为， 直线与反比例函数的图象交点. 【小问2详解】 由为等腰三角形，得，而点在线段上，则点， 设直线的解析式为，则，解得， 所以直线的解析式为. 25. 如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E. （1）求证：为的切线； （2）若，，求的半径. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，可证明 ，由，可得，即可证明； （2）连接，先证明，再利用相似比求出AB的长度，则的半径可求. 【小问1详解】 连接，如图： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为是的半径， 所以直线是的切线； 【小问2详解】 连接，如图： 因为，， 所以, 因为， 所以， 因为，所以， 所以，即，解得， 所以，即的半径为. 26. 黄金分割比是生活中比较多见的一种长度比值，它能给人许多美感和科学性，我们初中阶段学过的许多几何图形也有着类似的边长比例关系.例如我们熟悉的顶角是的等腰三角形，其底与腰之比就为黄金分割比，底角平分线与腰的交点为黄金分割点. （1）【模型建立】如图1，在中，，，的角平分线交腰于点，请你证明点是腰的黄金分割点； （2）【模型应用】如图2，在中，，若，则请你求出的度数； （3）【模型迁移】如图3，如果在中，，为边上的高，、、的对边分别为若点是的黄金分割点，那么该直角三角形的三边之间是什么数量关系？并证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和等于，求出，再根据是的角平分线，求出，所以和是相似的两个等腰三角形，并且，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理即可证明； （2）在边上截取，连接，再根据“，分别求出与的值都是，所以，根据相似三角形对应角相等和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，利用三角形内角和定理列式即可求出的度数； （3）根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，再根据代入整理即可得到之间的关系． 【小问1详解】 证明：∵在中，，， ∴， 又是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴又， ∴， ∴是的黄金分割点； 【小问2详解】 在底边上截取，连接， ∵，， ， ， ， ， 又， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵中，， 为上的高， ∴， ， ∵点是的黄金分割点， ∴， ， 该直角三角形的三边之间应满足． 【点睛】本题综合性较强，主要利用相似三角形对应边成比例、对应角相等，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理和性质并灵活运用是解题的关键． 27. 如图1，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C. （1）求的面积； （2）如图1，若，过点D作交y轴于点E，点P是抛物线上BC下方一动点，连接PD，PE，求面积的最大值以及取最大值时点P的坐标； （3）将原抛物线向左平移2个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F.在（2）的条件下，在直线BC上存在一点M，平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形.求所有符合条件的点N的坐标. 【答案】（1）6 （2） 面积的最大值为: , （3） 或 或 . 【解析】 【分析】（1）求出点 的坐标, 即可求解; （2）由即可求解; （3）当 为菱形的对角线时, 由中点坐标公式和 列出方程组, 即可求解; 、 为对角线时, 同理可解. 【小问1详解】 对于 , 当 时, , 令 , 则 或 3 , 则点 的坐标分别为: 、 , 则 的面积 【小问2详解】 如图，过点 作 轴交 于点 , 由点 的坐标得, 直线 的表达式为: 若 , 则 , 即点 , 由 知， 为等腰直角三角形, 则点 , 设点 的坐标为： ， 由点 的坐标得，直线 的表达式为： 则点 ， 则 即 面积的最大值为: , 此时, 点 的坐标为: ; 【小问3详解】 平移后的抛物线表达式为: 则点 和点 重合, 即点 的坐标为: , 设点 , 点 , 由（2）知，点 的坐标为： ； 当 为菱形的对角线时，由中点坐标公式和 得： 即点 的坐标为: ; 当 为对角线时，由中点坐标公式和 得： 解得 即点 的坐标为: ; 当 为对角线时，由中点坐标公式和 得： 解得 即点 的坐标为: . 综上, 点 的坐标为: 或 , 或 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$