精品解析：重庆市江津、聚奎中学2023-2024学年数学八年级上学期期末调研模拟试题

重庆市江津、聚奎中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末调研模拟试题注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2 的平方根是 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 2. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 4或 3. 某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共道竞赛题，选对得分，不选或选错扣分，小英得分不低于分，设她选对了道题，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 120° 5. 下列算式中，计算结果等于a6的是（　　） A. a3+a3 B. a5•a C. （a4）2 D. a12÷a2 6. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 7. 下列图形中，轴对称图形的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 同旁内角互补 D. 平行于同一直线的两条直线平行 9. 下列四种说法：（1）分式的分子、分母都乘以（或除以）a 2，分式的值不变；（2）分式的值能等于零；（3）方程的解是；（4）的最小值为零．其中正确的说法有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（　　） A. 4a2 B. 4a2﹣ab C. 4a2+ab D. 4a2﹣ab﹣2b2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是___________ 12. 若，则______. 13. 如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，A．B两点对应的实数是和－1，则线段BC的长为______． 14. 化简：=__________ ． 15. 如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB=90°，AE=5，BE=12，则图中阴影部分的面积是___________． 16. 如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则＝__° 17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝_______ 三、解答题（共66分） 18. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点； （2）当∠BQD＝30°时，求AP长； （3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由． 19. 某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知，，于点． （1）求的大小； （2）求的长度． 20. 如图，已知△ABC其中两个顶点分别为：A（－4，1）、B（－2，4）． （1）请根据题意，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标； （2）若△ABC每个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，顺次连接这些点，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，判断△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系?并写出点B的对应点B1的坐标． 21. 在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，当点D是边上的中点时， ； （2）如图2，当是平分线时，若，求的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，平分，延长到E，使得，连接，如果，，那么 ． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F． （1）在图中找出与△ABD 全等的三角形，并说出全等的理由； （2）说明BD=2EC； （3）如果AB=5，直接写出AD的长为 ． 23. 在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）． （1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值． 24. 解方程(或方程组) (1) （2） 25. 证明：最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形． 26. 在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB，AB=6． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）如图，以OA，OB为边在第一象限作正方形OACB，点M（x，0）是x轴上动点，连接BM． ①当点M在边OA上时，作点O关于BM的对称点O′，若点O′ 恰好落在AB上，求△OBM的面积； ②将射线MB绕点M顺时针旋转45°得到射线MN，射线MN与正方形OACB边交点为N．若在点M的运动过程中，存在x的值，使得△MBN为等腰三角形，请直接写出x所有可能的结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市江津、聚奎中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末调研模拟试题注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 2 的平方根是 （ ） A. 2 B. -2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根的定义：如果一个数的平方等于,这个数就叫做的平方根,即可得解. 【详解】由题意，得 故选：D. 【点睛】此题主要考查对平方根的理解，熟练掌握，即可解题. 2. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（ ） A. 4 B. 16 C. D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】此题要分两种情况：当3和5都是直角边时；当5是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可． 【详解】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：； 当5是斜边长时，第三边长为：， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了利用勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 3. 某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共道竞赛题，选对得分，不选或选错扣分，小英得分不低于分，设她选对了道题，则根据题意可列不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知最后的得分为答对的每题得5分，再扣掉错误的每题2分，之后根据题意列不等式即可． 【详解】解：因为小英选对了题，所以这部分得分为， 可知错误的题数为，需要被扣掉分数为， 且不低于60分，即分， 故可列式； 故选：B． 【点睛】本题是一元一次不等式的应用，根据题意正确得出：最后得分=加分-减分，加分=答对的题目数×5，扣分=答错的题目数×2，即可解答本题． 4. 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（　　） A. 50° B. 60° C. 80° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据全等三角形对应角相等得出B=∠D=25°，再由三角形内角和为180°，求出∠DAE=50°，然后根据∠BAD=∠DAE+∠EAB即可得出∠BAD的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠B=∠D=25°， 又∵∠D+∠E+∠DAE=180°，∠E=105°， ∴∠DAE=180°-25°-105°=50°， ∵∠EAB=10°， ∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=60°． 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．综合应用全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 5. 下列算式中，计算结果等于a6的是（　　） A. a3+a3 B. a5•a C. （a4）2 D. a12÷a2 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及合并同类项法则和幂的乘方运算法则分别计算得出答案． 【详解】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误； B、a5•a＝a6，故此选项正确； C、（a4）2＝a8，故此选项错误； D、a12÷a2＝a10，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及合并同类项和幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 6. 若≌，则根据图中提供的信息，可得出的值为（ ） A. 30 B. 27 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】在△ABC中利用三角形内角和可求得∠A=70°，则可得∠A和∠D对应，则EF=BC，可得到答案． 【详解】∵∠B=50°，∠C=60°， ∴∠A=70°， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠A和∠D对应， ∴EF=BC=30， ∴x=30， 故选：A． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边、对应角相等是解题的关键． 7. 下列图形中，轴对称图形的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形概念对各图形分别分析求解即可． 【详解】第一个图形不是轴对称图形； 第二个图形是轴对称图形； 第三个图形是轴对称图形； 第四个图形不是轴对称图形， 综上所述，轴对称图形有2个． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，需要掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 8. 下列命题是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 同旁内角互补 D. 平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质及判定定理进行判断即可． 【详解】A、两直线平行，同位角才相等，错误，是假命题； B、两直线平行，同旁内角互补，不是相等，错误，是假命题； C、两直线平行，同旁内角才互补，错误，是假命题； D、平行于同一直线的两条直线平行，是真命题； 故选：D． 【点睛】主要考查了命题的真假判断，以及平行线的判定定理．真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立． 9. 下列四种说法：（1）分式分子、分母都乘以（或除以）a 2，分式的值不变；（2）分式的值能等于零；（3）方程的解是；（4）的最小值为零．其中正确的说法有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质判断（1）；根据分式值为零的条件判断（2）；根据分式方程的解判断（3）； 根据非负数的意义及分式值为零的条件判断（4）． 【详解】解：（1）分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故（1）错误； （2）分式的值不能等于零，故（2）错误； （3）当时，x+1＝0，显然不是原分式方程的解，故（3）错误； （4）的最小值为零，故（4）正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的性质，分式值为零的条件，注意解分式方程要检验． 10. 有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（　　） A. 4a2 B. 4a2﹣ab C. 4a2+ab D. 4a2﹣ab﹣2b2 【答案】B 【解析】 【分析】根据阴影部分面积=大长方形的面积-小长方形的面积，列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：余下部分的面积为： （2a+b）（2a-b）-b（a-b） =4a2-b2-ab+b2 =4a2-ab， 故选B． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 计算的结果是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先通分，然后根据同分母分式加减法法则进行计算即可. 【详解】原式= = = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了异分母分式的加减法，熟练掌握异分母分式加减法的运算法则是解题的关键. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件得出关于的不等式组，求得，进而求出，代入即可求出答案． 【详解】∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和负整数指数幂的性质，熟练掌握以及（，为正整数）是解题的关键． 13. 如图，在数轴上，点B与点C关于点A对称，A．B两点对应的实数是和－1，则线段BC的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据数轴上两点之间距离的计算方法求出AB，进而根据对称的性质，得出BC＝2AB得出结果． 【详解】解：∵A．B两点对应的实数是和－1， ∴AB＝﹣（﹣1）＝+1， ∵点B与点C关于点A对称， ∴BC＝2AB＝2（+1）＝2+2， 故答案为：2+2． 【点睛】考查数轴表示数的意义，理解数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的关键． 14. 化简：=__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的加法，除法转化成乘法，约分后可得结果． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握分式的混合运算的顺序与方法是解题的关键． 15. 如图，点E在正方形ABCD内，且∠AEB=90°，AE=5，BE=12，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】139 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出正方形的边长，根据S阴影=S正方形ABCD-S△AEB即可得答案. 【详解】∵AE=5，BE=12，∠AEB=90°， ∴AB==13， ∴S阴影=S正方形ABCD-S△AEB=13×13-×5×12=139. 故答案为139 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形中，斜边的平分等于两条直角边的平方的和，熟练掌握勾股定理是解题关键. 16. 如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则＝__° 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得到∠BDC=60°，根据平行线的性质求出∠2，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】如图， ∵△BCD是等边三角形， ∴∠BDC=60°， ∵a∥b， ∴∠2=∠BDC=60°， 由三角形的外角性质可知，∠1=∠2-∠A=40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、平行线的性质，掌握三角形的三个内角都是60°是解题的关键． 17. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝_______ 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】由折叠的性质可知∠B=∠AEB，因为E点在AC的垂直平分线上，故EA=EC，可得∠EAC=∠C，根据外角的性质得∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，由此可求∠C． 【详解】解：由折叠的性质，得∠B=∠AEB， ∵E点在AC的垂直平分线上， ∴EA=EC， ∴∠EAC=∠C， 由外角的性质，可知 ∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C， 在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°， 即2∠C+∠C=90°， 解得∠C=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质．解题的关键是把条件集中到直角三角形中求解． 三、解答题（共66分） 18. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D． （1）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点； （2）当∠BQD＝30°时，求AP的长； （3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）AP＝2；（3）DE的长不变，定值为3． 【解析】 【分析】（1）过P作PF∥QC交AB于F，则是等边三角形，根据AAS证明三角形全等即可； （2）想办法证明BD＝DF＝AF即可解决问题； （3）想办法证明即可解决问题． 【详解】（1）证明：过P作PF∥QC交AB于F，则是等边三角形， ∵P、Q同时出发，速度相同，即BQ＝AP， ∴BQ＝PF， 在和中， ， ∴， ∴DQ＝DP； （2）解：∵， ∴BD＝DF， ∵， ∴， ∴， ∴AP＝2； （3）解：由（2）知BD＝DF， ∵是等边三角形，PE⊥AB， ∴AE＝EF， ∴DE＝DF+EF ＝3，为定值，即DE的长不变． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，以及三角形中的动点问题，熟练掌握相关几何综合的解法是解决本题的关键. 19. 某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知，，于点． （1）求的大小； （2）求的长度． 【答案】（1）120°；（2） 【解析】 【详解】解：（1） =--= （2） 在中， 20. 如图，已知△ABC的其中两个顶点分别为：A（－4，1）、B（－2，4）． （1）请根据题意，在图中建立平面直角坐标系，并写出点C的坐标； （2）若△ABC每个点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘－1，顺次连接这些点，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，判断△A1B1C1与△ABC有怎样的位置关系?并写出点B的对应点B1的坐标． 【答案】（1）图见解析，点C的坐标为（3，3）；（2）图见解析，B1的坐标为（－2，－4） 【解析】 【分析】(1)直接利用已知点建立平面直角坐标系进而得出答案; (2)利用坐标之间关系得出△A1B1C1各顶点位置，进而得出答案． 【详解】解：（1）平面直角坐标系如图所示． 点C的坐标为（3，3）． （2）△A1B1C1如图所示． △A1B1C1与△ABC关于x轴对称． 点B的对应点B1的坐标为（－2，－4）． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，正确得出各对应点位置是解题关键． 21. 在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，当点D是边上的中点时， ； （2）如图2，当是的平分线时，若，求的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，平分，延长到E，使得，连接，如果，，那么 ． 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】本题考查了中线，角平分线的性质，列代数式．熟练掌握中线，角平分线的性质是解题的关键． （1）如图1，过A作于E，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过D作于E，于F，则，根据，计算求解即可； （3）由（1）可知，，由（2）可知，，可求的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过A作于E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图2，过D作于E，于F， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，， 由（2）可知，， ∴， ∴， 故答案为：9． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是∠BAC的平分线，CE⊥BD，垂足是E，BA和CE的延长线交于点F． （1）在图中找出与△ABD 全等的三角形，并说出全等的理由； （2）说明BD=2EC； （3）如果AB=5，直接写出AD的长为 ． 【答案】（1），见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）可利用ASA判断△ABD≌△ACF； （2）根据（1）可得BD＝CF，证明△BFE≌△BCE，可得出EF＝CE＝CF，继而可得出结论； （3）过D作DM⊥BC，设AD＝DM＝MC＝x，则可得DC＝x，根据AD＋DC＝AC＝AB＝5，可得关于x的方程，解出即可得出答案． 【详解】证明：（1）△ABD≌△ACF． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠FAC＝∠BAC＝90°， ∵BD⊥CE，∠BAC＝90°， ∴∠ADB＝∠EDC， ∴∠ABD＝∠ACF， ∵在△ABD和△ACF中， ， ∴△ABD≌△ACF（ASA）， （2）∵△ABD≌△ACF， ∴BD＝CF， ∵BD⊥CE， ∴∠BEF＝∠BEC， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠FBE＝∠CBE， ∵在△FBE和△CBE中， ， ∴△FBE≌△CBE（ASA）， ∴EF＝EC， ∴CF＝2CE， ∴BD＝2CE． （3）过D作DM⊥BC， 设AD＝DM＝MC＝x， 则DC＝由AB＝AC＝AD＋DC可得：x＋x＝5， 解得：x＝5−5， 即如果AB＝5，则AD的长为5−5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意掌握全等三角形的判定定理及等量代换的应用． 23. 在平面直角坐标系中，B(2，2)，以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）． （1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD． ①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD； ②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标； （2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值． 【答案】（1）①见解析；②点C的坐标为(0，﹣4)或(0，4)；（2）2 【解析】 【分析】（1）①证明△ABD≌△AOC（SAS），得出∠ABD＝∠AOC＝90°即可； ②存在两种情况：当点D落在第二象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，﹣4）； 当点D落在第一象限时，作BM⊥OA于M，由等边三角形的性质得出AO＝2OM＝4，同①得△ABD≌△AOC（SAS），得出BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，得出OC＝AB＝OA＝4，则C（0，4）； （2）作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，此时OM+MN的值最小，由等边三角形的性质和勾股定理求出ON＝2即可． 【详解】解：（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形， ∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°， ∴∠BAD＝∠OAC， 在△ABD和△AOC中，， ∴△ABD≌△AOC（SAS）， ∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD； ②解：存在两种情况： 当点D落在第二象限时，如图1所示： 作BM⊥OA于M， ∵B（2，2）， ∴OM＝2，BM＝2， ∵△OAB是等边三角形， ∴AO＝2OM＝4， 同①得：△ABD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°， 若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB， ∴OC＝AB＝OA＝4， ∴C（0，﹣4）； 当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示： 作BM⊥OA于M， ∵B（2，2）， ∴OM＝2，BM＝2， ∵△OAB是等边三角形， ∴AO＝2OM＝4， 同①得：△ABD≌△AOC（SAS）， ∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°， 若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB， ∴OC＝AB＝OA＝4， ∴C（0，4）； 综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）； （2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示： ∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线， ∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO， ∵ON'⊥AB，MN⊥OB， ∴MN＝MN'， ∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小， ∴OM+MN＝OM+MN'＝ON， ∵ON＝＝＝2， ∴OM+MN＝2； 即OM+NM的最小值为2． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及最小值问题；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 24. 解方程(或方程组) (1) （2） 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）采用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1） ﹙﹚²= = =或= ∴， （2） ①×2+②得：11x=22，即x=2 将x=1代入①得y=-1 所以方程组的解为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二元一次方程组的方法，掌握一元二次方程和二元一次方程组的常见解法是解答本题的关键． 25. 证明：最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】如图，在△ABC中，AB是最长边，CD是边AB的中线，可得，再根据最长边上的中线等于最长边的一半可得，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可得证． 【详解】证明：如图，在△ABC中，AB是最长边，CD是边AB的中线 ∵CD是边AB的中线 ∴ ∵最长边上的中线等于最长边的一半 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△ABC是直角三角形 ∴最长边上的中线等于最长边的一半的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的证明问题，掌握直角三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理、中线的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB，AB=6． （1）求AB所在直线的函数表达式； （2）如图，以OA，OB为边在第一象限作正方形OACB，点M（x，0）是x轴上的动点，连接BM． ①当点M在边OA上时，作点O关于BM的对称点O′，若点O′ 恰好落在AB上，求△OBM的面积； ②将射线MB绕点M顺时针旋转45°得到射线MN，射线MN与正方形OACB边的交点为N．若在点M的运动过程中，存在x的值，使得△MBN为等腰三角形，请直接写出x所有可能的结果． 【答案】（1）y= -x+6；（2）① S△BOM=；②当-6≤x≤0，x=6，x=时，△MBN为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）由题意可以求出A、B的坐标，再利用待定系数法可以得到AB所在直线的函数表达式； （2）①由已知可以求出OM的值，从而得到△OBM的面积； ②根据已知条件将M在x轴上运动，可以得到△MBN为等腰三角形时x所有可能的结果． 【详解】（1）∵OA=OB，AB=6， ∴A（6，0），B（0，6）. 设AB所在直线为y=kx+b，将点A，B坐标代入得， ，解得：， ∴AB所在直线的函数表达式为y= -x+6 . （2）① 如图，∵ 由轴对称性可知，BO′=BO=6， 在等腰Rt△AMO′中，AO′=， ∴OM=O′M=， ∴S△BOM=·OB·OM =×6×（）=. ②如图， 当-6≤x≤0时，BM=BN； 如图，当x=6时，M与A重合，N与C重合，NB=NM； 如图，当x=时，MB=MN. ∴当-6≤x≤0，x=6，x=时，△MBN为等腰三角形. 【点睛】本题考查正方形的动点问题，通过建立直角坐标系，利用数形结合的思想对问题进行讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$