湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学复习小题精练2

长郡中学2025届高三数学复习 小题精练（2） 一、单选题 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一个“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一个重卦.在所有重卦中随机取一个重卦，则该重卦恰有2个阴爻的概率是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，满足，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（ ）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（    ）（取，） A．9 B．10 C．11 D．12 7．已知四棱锥的各顶点在同一球面上，若，为正三角形，且面面，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知为定义在R上且不恒为零的函数，若对，都有成立，则下列说法中正确的有（    ）个． ①； ②若当时，，则函数在单调递增； ③对，；     ④若，则. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．已知函数的图象关于直线对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．在上单调递增 D．若，则的最小值为 10．过点向抛物线作两条切线，切点分别为为抛物线的焦点，则（    ） A． B． C． D． 11．如图1，将三棱锥型礼盒的打结点解开，其平面展开图为矩形，如图2，其中A，B，C，D分别为矩形各边的中点，则在图1中（    ） A． B． C．平面 D．三棱锥外接球的表面积为 三、填空题 12．在正项等比数列中，，则的最大值为 ． 13．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，．若，则的取值范围是 ． 14．椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为 . 参考答案 1．A 【分析】解对数不等式化简集合A，求出指数函数值域化简集合B，再利用交集的定义求解即得. 【详解】由，得，则， 当时，，则，所以. 故选：A 2．B 【分析】根据复数的模得到关于a的方程，求出a的值，再根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可． 【详解】因为，且， 整理得，解得或， 即等价于或， 且是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 3．B 【分析】先计算出“重卦”的种数，然后再计算出恰有个阴爻的种数，根据比值求解出结果. 【详解】所有“重卦”共有种，恰有2个阴爻的情况有种， 所以该重卦恰有2个阴爻的概率为. 故选：B. 4．B 【分析】将的值依次代入解析式，解出的值即可求解. 【详解】， 即，则. 故选：. 5．B 【分析】由，得是中点，从而得出，，作于，即为向量在向量上的投影向量，设，求出，后可得结论． 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选：B． 6．C 【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“n次分形”后折线的长度，进而建立不等式解得答案即可. 【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为，图3线段长度为，…，“n次分形”后线段长度为，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足，则，即得，解得，所以至少需要11次分形. 故选：C. 7．C 【分析】作辅助线，找到球心的位置，证明到四棱锥所有顶点距离相等；根据勾股定理，求出球的半径，进而求出球的表面积. 【详解】如图，取的中点，取的中点，连接、，在线段上取一点，使， 过点作平面的垂线，使，连接， 易知四边形是等腰梯形，、、均为等边三角形， 所以， 因为平面， 所以， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面， 所以，即 又因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为为正三角形，为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又因为是的外心，所以， 所以， 所以即为四棱锥外接球的球心， 因为，， 所以 所以， 故选：C. 8．C 【分析】①利用赋值法，令即可得证，所以①正确. ②根据题意，取，，所以，所以②正确. ③时由①可得③成立；当时，由②得，利用累加法得，因此，所以，所以③正确． ④令，， ，因为，所以得，所以由③，利用等比数列的求和公式，得，所以④错误． 【详解】令有，令有. 所以①正确. ，因为，所以， 所以，又因为，且当时，， 所以. 所以②正确. 当时由①可得③成立； 当时，由②得，所以， 所以……， 累加得，即 ，所以，所以③正确． 令，，由①得，又因为，所以， 由③得，所以， 所以 ，所以④错误． 故选：C 9．BD 【分析】利用对称轴，结合，可解得；有了具体的解析式，就可以得，从而判断选项B是正确的；利用相位，可判断正弦函数在此区间不单调；利用可确定时，一定是相邻的两个最值点取到等号，即为半个周期，可确定D是正确的. 【详解】由函数的图象关于直线对称可得： ，解得：， 又因为，所以，即选项A是错误的； 此时， 则为偶函数， 所以选项B是正确的； 当，， 此时正弦函数在区间上不单调，所以选项C也是错误的； 因为，所以，而， 则的最小值就是半个周期，即，所以选项D是正确的. 故选：BD. 10．BC 【分析】设，利用导数的几何意义求出两切线斜率，即可求出两切线方程，然后根据韦达定理判断AB，根据焦半径公式化简求解判断CD. 【详解】设点为点，抛物线的方程为，即，则, 设，则切线PA，PB的斜率分别为， 切线方程分别为， 将的坐标及代入，并整理得， 可得为方程的两个实数根， 由韦达定理得，故A错误，B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：BC 11．ACD 【分析】对于A，结合展开图可得，判断A；对于B，利用平面向量数量积，求，判断B；对于C，利用线面垂直的判定定理，判断C；对于D，将三棱锥放在长方体中，求出外接球的表面积，判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，，所以，则， 又在中，，，故， 所以 ，故不垂直，故B错误； 对于C，因为在中，，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，因为 ， 所以三棱锥三组对棱相等，可以将其放入长方体中，    设外接球半径为，则有，解得，所以外接球的表面积为，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于D选项，根据三棱锥棱长相等，将其直接放在长方体中，求出外接球表面积. 12． 【分析】设等比数列的公比为，列出方程求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 13． 【分析】先应用向量平行结合正弦定理得出角，再根据诱导公式减少未知量，最后应用三角恒等变换化简应用三角函数值域求解. 【详解】因为，所以, 所以，，故， 又因为三角形为锐角三角形，所以, 所以 ， 因为三角形为锐角三角形 所以，即， 所以 所以 所以. 所以取值范围是， 故答案为： 14．/0.4 【分析】取中点，根据给定条件，可得，再利用椭圆定义，结合二倍角的余弦公式列式计算即得. 【详解】设椭圆的半焦距为c，取中点，连接，则， 由，得，于是，则，， 由直线的斜率为，得，即， 而，解得，即， ，于是，解得， 所以的离心率为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$