湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学复习小题精练（1）

长郡中学2025届高三数学复习 小题精练（1） 姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．设集合，．则（    ） A． B． C． D． 2．设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（    ） A．3 B．1 C． D．4 3．已知，那么的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知点是直线上相异的三点，为直线外一点，且，则的值是（   ） A． B．1 C． D． 5．记为等比数列的前项积.设命题，命题，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．《九章算术》中关于“刍童”（上、下底面均为矩形的棱台）体积近似计算的注释：将上底面的长乘以二与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘以二与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一，现有“刍童”，其上、下底面均为正方形，若，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为，则按《九章算术》的注释，该“刍童”的体积为（    ） A．8 B．24 C． D．112 7．已知点P是以F1，F2为焦点的双曲线=1（a＞0，b＞0）上一点，=0，tan∠PF1F2=，则双曲线的离心率为 A． B．2 C． D． 8．已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且 ，则下列结论错误的是（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 二、多选题 9．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，激发了学生对航天的热爱.某校组织高中学生参加航天知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩分为四组，分别为，得到频率分布直方图如图所示，则（    ） A． B．这组样本数据的分位数为88 C．若从这100名学生成绩不低于80分的学生中，随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率为 D．若用样本的频率估计总体，从该校高中学生中随机抽199人，记“抽取199人中成绩不低于90的人数为”的事件为，则最大时，. 10．已知函数的图象如图所示，点，在曲线上，若，则（   ） A． B． C．的图象关于点对称 D．在上单调递减 11．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点且与交于两点，满足与相交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．面积的最大值为1 三、填空题 12．等比数列中，每项均为正数，且，则 . 13．已知椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B，点P在线段AB上（不包括端点），O为坐标原点，直线OP与椭圆相交于M，N两点，点M在第一象限，则的最大值为 ． 14．在直三棱柱中，是棱上一点，平面将直三棱柱分成体积相等的两部分.若四点均在球的球面上，则球的体积为 . 参考答案 1．B 【分析】化简M，N，由交集运算即可求解． 【详解】集合，， 则． 故选：B 2．C 【分析】由题意可得，然后代入化简，可求出其模 【详解】由题意可得，所以， 故其实部为3，虚部为1， 所以模长为, 故选：C． 3．A 【分析】根据同角三角函数的平方关系化成关于的方程，结合余弦函数值的范围进行计算. 【详解】由，， 即，则， 根据余弦值的范围，且分母可知不符题意， 为所求. 故选：A 4．A 【分析】化简得，再利用三点共线系数和为1的结论即可得到方程，解出即可. 【详解】，即， 因为点是直线上相异的三点，则点三点共线， 则，解得. 故选：A. 5．B 【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，即，即或， 故不是的充分条件， 若，则有， 故是的必要条件，即是的必要不充分条件. 故选：B. 6．C 【分析】先画出图形，连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图，根据题意结合图形得到是“刍童”其中一条侧棱与与底面所成角的平面角，从而求得该刍童的高，进而根据刍童的体积公式即可求得结果． 【详解】连接，交于点，连接，交于点，连接，过作，如图， . 因为“刍童”上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以底面，又，所以底面， 所以是“刍童”其中一条侧棱与底面所成角的平面角，则， 因为，所以， 易知四边形是等腰梯形，则， 所以在中，，则，即“刍童”的高为， 则该刍童的体积. 故选:C. 7．C 【详解】试题分析：根据双曲线的定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，进而根据tan∠PF1F2=，可得|PF1|=2|PF2|，分别求得|PF2|和|PF1|，进而根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得． 解：∵=0， ∴PF1⊥PF2， ∵tan∠PF1F2=， ∴|PF1|=2|PF2| ∵|PF1|﹣|PF2|=2a， ∴|PF2|=2a，|PF1|=4a； 在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2， ∴4c2=4a2+16a2，解得e=． 故选C． 考点：双曲线的简单性质． 8．C 【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C. 【详解】因为，， 取，可得，又，所以；A对； 取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对； 取，可得，又， ； 所以，D对； 故选：C. 9．AB 【分析】对于A，由频率之和为1结合频率分布直方图数据即可求解；对于B，先求出成绩在和内的频率，进而判断分位数的范围即可根据百分位数的定义直接进行求解；对于C，分别求出成绩不低于80分和不低于90分的人数，即可求解概率；对于D，先由频率分布直方图得成绩不低于90分的概率，接着由二项分布概率公式求出，再令即可求解. 【详解】对于A，由频率分布直方图得，故A对； 对于B，由频率分布直方图结合选项A可知： 成绩在内的频率为， 成绩在内的频率为， 所以分位数在80到90分之间，故分位数为，故B对； 对于C，成绩不低于80分的共有人，不低于90分的共有人， 则随机抽取3人，则此3人的分数都不低于90分的概率，故C错； 对于D，由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的概率， 由题意，由题意， 令即， 所以即， 解得，故为29或30，故D错. 故选：AB. 10．AC 【分析】根据两点间距离公式，结合正弦型函数的周期性、单调性、对称性逐一判断即可. 【详解】由图可知， 由，解得（负值舍去）， 所以，解得，A正确； 则，将点代入得，，即， 由于在的增区间上，且，所以，B错误； 因为，令，，解得，，取，则关于点对称，C正确； 令，，解得，，取，则在上单调递减，D错误. 故选：AC 11．ABD 【分析】根据抛物线标准方程，结合向量关系求选项；进而根据四边形为平行四边形求选项；当轴时，根据对称性求选项；最后设，因为过焦点，则，则，求选项. 【详解】因为，则平分线段，又，则平分线段， 则四边形为平行四边形，故A对； 因为四边形为平行四边形，所以， 对于抛物线可证其有性质，证明如下： 若斜率存在，设：，， 与方程联立，得：， 由直线过焦点，成立， ，， ， 若斜率不存在，则：，易求得， ， 故，故B对； 当轴时，根据对称性，在轴上，此时，故错； 对于抛物线可证其有性质，证明如下： 设，因为过焦点， 设：， 与方程联立，得： ， 则，则 ， 则，又，则， 即为等腰三角形，且轴为的垂直平分线，故必在轴上， 此外，，则，则， 当与抛物线相切时，取得最大值1，即的最大值为1，故D对， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：若线段是抛物线的一条过焦点F的弦，则 ，. 12．4 【分析】根据等比数列性质和对数运算求解即可. 【详解】由题意得. 故答案为：4. 13． 【分析】将直线的方程与椭圆C的方程联立，根据韦达定理，得到，根据，，再根据，即可求得答案. 【详解】 设 直线的斜率为，则直线的方程为：， 联立方程得， 则，所以， 因为椭圆C：的上顶点为A，右顶点为B， 所以，则直线的方程为， 因为点P在线段AB上，直线OP与椭圆相交于M，N两点，所以， 因为点M在第一象限，所以，，，则 所以，， ， 由，整理得，， 当时， 故答案为： 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法： （1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值． 常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 14． 【分析】由平面将直三棱柱分成体积相等的两部分，确定点为的中点，再确定的外心以及三棱锥的高，最后求三棱锥的外接圆半径即可. 【详解】如图，连接. 因为， 且 所以， 所以， 所以， 因此，即为的中点. 取的中点的中点，连接， 则，且， 所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以， 又因为平面平面， 且平面平面, 所以平面， 则平面. 因为是的外心， 且的外接圆半径， 三棱锥的高. 设球的半径为，则， 则5， 所以球的体积. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面解题. （1）通过平面将直三棱柱分成体积相等的两部分可确定点的位置； （2）求三棱锥的外接球半径，先确定底面三角形的外接圆半径及高，再通过即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $$