第06讲 直线的倾斜角与斜率（4个知识点+1个要点+2个易错点+6种题型+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 倾斜角与斜率（4个知识点+1个要点+2个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：直线的倾斜角的定义 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 知识点2：直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 知识点3：斜率与倾斜角的联系 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点4：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 要点：代数式的几何意义与应用 1. 证明分式不等式 2. 解决三点共线问题 3. 解决形如的取值范围或最值 题型1：求直线的倾斜角 【例题1】（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·四川巴中·期末）经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【变式2】（23-24高二上·上海青浦·期末）若直线 ，则直线的倾斜角是 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 题型2：求直线的斜率 【例题2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线经过两点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【变式2】（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）过点和点的直线的斜率为 . 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，，求的三条边所在直线的斜率． 题型3：直线的倾斜角和斜率的综合应用 【例题3】（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 题型4：直线的方向向量与斜率的关系 【例题4】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数a的值是 ． 题型5：利用直线斜率处理共线问题 【例题5】（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若三点共线，则a＝ ． 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 题型6：斜率公式的几何意义的应用 【例题6】（22-23高二上·河南·阶段练习）若直线的图像不经过第二象限，则l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 易错点1：对直线的斜率与倾斜角的关系理解不透彻致错 【例题1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 易错点2：忽略直线的斜率不存在致错 【例题2】求经过两点的直线的斜率. 【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在； 当，即时，直线的斜率 【变式1】（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）直线经过点、 (1)当时，求直线的斜率，并指出直线的倾斜角． (2)当时，求直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·北京·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 6．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 7．（23-24高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 二、多选题 9．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（22-23高二上·浙江宁波·阶段练习）已知三点三点共线，则实数的值为 . 13．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是 ． 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 16．（23-24高二上·全国·课前预习）如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．    17．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    18．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围． 19．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 倾斜角与斜率（4个知识点+1个要点+2个易错点+6种题型+过关检测） 知识点1：直线的倾斜角的定义 1．当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 知识点2：直线的斜率 1．把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2. 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝，当x1＝x2时，直线P1P2的斜率不存在． 3．直线的方向向量与斜率的关系：若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝. 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 知识点3：斜率与倾斜角的联系 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 知识点4：直线斜率的坐标公式 如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。 要点：代数式的几何意义与应用 1. 证明分式不等式 2. 解决三点共线问题 3. 解决形如的取值范围或最值 题型1：求直线的倾斜角 【例题1】（23-24高二上·江苏淮安·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】由得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则且，解得. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·四川巴中·期末）经过两点，的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据条件可知直线垂直轴，即可得倾斜角大小． 【详解】∵直线经过两点，， ∴直线垂直轴，故倾斜角为． 故选：C 【变式2】（23-24高二上·上海青浦·期末）若直线 ，则直线的倾斜角是 【答案】/ 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】由可得， 故直线的倾斜角为， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线l的倾斜角为，直线∥l，直线，则直线与的倾斜角分别是 . 【答案】20°，110° 【分析】根据平行直线与垂直直线的位置关系得到倾斜角的关系，即可求解 【详解】因为∥l，所以的倾斜角为. 因为，所以的倾斜角为 故答案为：； 题型2：求直线的斜率 【例题2】（23-24高二上·福建福州·期中）已知直线经过两点，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点的斜率公式计算. 【详解】直线经过两点，则直线的斜率. 故选：A 【变式1】（23-24高二上·湖南益阳·期末）已知点，则直线的斜率为（    ） A．－3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由斜率公式计算即可得. 【详解】由，则直线的斜率为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）过点和点的直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用两点斜率公式即可得解. 【详解】因为直线过点和点， 所以直线的斜率为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，，求的三条边所在直线的斜率． 【答案】 【分析】利用两点斜率公式计算即可. 【详解】由已知可得所在直线的斜率为：， 所在直线的斜率为：， 所在直线的斜率为：， 故三角形三条边所在的直线斜率分别为. 题型3：直线的倾斜角和斜率的综合应用 【例题3】（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的单调性可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，， 因为正切函数在、上均为增函数， 当时，即，此时，； 当时，即，此时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 【变式1】（23-24高二上·广东汕头·期中）若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，结合正切函数的图像即可求出倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为，其中，可得， 因为，即， 结合正切函数的图象与性质，可得直线的倾斜角． 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）根据下列直线的倾斜角的取值范围，计算斜率的取值范围． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角之间的关系，并结合正切函数单调性及值域，可得斜率； （2）当倾斜角为钝角时，斜率为负值，由正切函数值域可得. 【详解】（1）根据斜率与倾斜角之间的关系， 利用正切函数单调性可知，正切函数在上单调递增， 又， 所以时，斜率， 即斜率的取值范围是. （2）由正切函数性质可知，时，单调递增， 且趋近于时，趋近于，易知； 所以当时，斜率， 即斜率的取值范围是 题型4：直线的方向向量与斜率的关系 【例题4】（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量可知直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线的方向向量可知直线的斜率，所以. 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·浙江·期中）若直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线的倾斜角求得其斜率，再利用直线方向向量的定义即可得解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以其中的一个方向向量为，故D正确， 其余选项经检验，皆错误. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 【答案】/ 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】记直线 的倾斜角为， 由题知，又, 所以，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）若直线l的倾斜角为，方向向量为，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】根据直线方向向量与斜率的关系，以及斜率定义可解. 【详解】∵直线l的方向向量是， ∴直线l的斜率， 又直线的倾斜角， ∴斜率，解得． 故答案为： 题型5：利用直线斜率处理共线问题 【例题5】（2023高二上·江苏·专题练习）若三点，， (其中)共线，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，利用斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】由于，，三点共线且、， 显然、的斜率存在，则， 所以，所以，所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）若三点共线，则a＝ ． 【答案】4 【分析】利用斜率相等建立方程即可求解. 【详解】三点共线，则，即＝，即，∴. 故答案为：4 【变式2】（2024高二·全国·专题练习）已知 ，，三点在同一条直线上，求的值． 【答案】2或 【分析】利用点共线的定义求解参数即可. 【详解】三点共线， ，，解得或． 故所求的a的值为2或 【变式3】（22-23高二·全国·课堂例题）已知，则A，B，C共线吗？A，B，D呢？ 【答案】A，B，C共线，A，B，D不共线． 【分析】若三点共线，则任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式求解判断即可. 【详解】因为， 所以，因此A，B，C共线，而A，B，D不共线 题型6：斜率公式的几何意义的应用 【例题6】（22-23高二上·河南·阶段练习）若直线的图像不经过第二象限，则l的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分直线经过原点和经过一三四象限两种情况即可求得倾斜角的取值范围. 【详解】直线， 当时，，即直线经过定点， 如图所示： 当直线过原点时，斜率，此时倾斜角. 当直线过一、三、四象限时，斜率，此时, 综上：. 故选：B 【变式1】（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）若点在一次函数的图像上，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，再由的几何意义，即线段上的动点与定点连线的斜率的倍求解； 【详解】解：如图， 函数，表示线段其中，， 的几何意义为线段上的动点与定点连线的斜率的倍， ，， 的取值范围是； 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·四川雅安·开学考试）已知实数x，y满足，且，求的最大值和最小值. 【答案】最大值为3，最小值为 【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解. 【详解】由于点满足关系式，且， 可知点在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为，. 令，易得的几何意义是直线PQ的斜率，且，， 如图： 所以的最大值为3，最小值为. 易错点1：对直线的斜率与倾斜角的关系理解不透彻致错 【例题1】（多选）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有 （ ） A.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B.平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C.若一条直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 D.若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 【错因分析】对直线的倾斜角和斜率的定义理解不透彻，忽略倾斜角的范围及倾斜角与斜率的对应关系. 【解析】平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故正确； 倾斜角是的直线没有斜率，故错误； 若一条直线的斜率为，因为，即斜率为，则该直线的倾斜角为，故错误； 若一条直线的倾斜角为（不等于），则该直线的斜率为，故正确. 故选. 【答案】 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小. 【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负， 所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知直线经过点，且与线段MN相交，又，，求直线的斜率k的取值范围． 【答案】 【分析】当直线垂直轴时设为，此时直线不存在斜率，可分“从PN位置转到位置、当从位置转到PM位置”两种情况分开讨论. 【详解】如图所示，直线相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，是过P点且与x轴垂直的直线． 当从PN位置转到位置时，倾斜角增大到，而，所以． 又当从位置转到PM位置时，倾斜角大于， 由正切函数的性质知，，所以． 综上所述，． 故答案是：. 易错点2：忽略直线的斜率不存在致错 【例题2】求经过两点的直线的斜率. 【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在； 当，即时，直线的斜率 【变式1】（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）直线经过点、 (1)当时，求直线的斜率，并指出直线的倾斜角． (2)当时，求直线的斜率，并指出倾斜角的取值范围． 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析. (2)答案不唯一，具体见解析. 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用直线的斜率公式可求得直线的斜率，进一步可求得该直线的倾斜角； （2）分、、三种情况讨论，分析直线是否存在，以及存在时直线的斜率的取值范围，进而可求得直线的倾斜角的值及其取值范围. 【详解】（1）解：当时，若，此时点、重合，直线不存在； 当时，直线的斜率为，倾斜角为. （2）解：当时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为； 当时，直线的斜率为. 当时，，则直线的倾斜角的取值范围是， 当时，，则直线的倾斜角的取值范围是. 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）（1）如图，直线的倾斜角，直线，求，的斜率； （2）求经过两点，的直线的斜率． 【答案】（1）120°，（2）答案见解析 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系可解； （2）分斜率不存在和存在两种情况进行讨论即可得答案. 【详解】（1）的斜率． ∵的倾斜角， ∴的斜率． （2）当时，直线的斜率不存在； 当时，直线的斜率． 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 2．（23-24高二上·北京·期中）已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率. 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为. 故选：B 3．（23-24高二上·四川成都·期末）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线的一个方向向量. 故选：B. 4．（22-23高二上·全国·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求斜率，再求倾斜角. 【详解】直线的斜率为，又倾斜角范围为，故倾斜角为． 故选：A 5．（22-23高二上·北京·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由求出倾斜角. 【详解】直线可化为，设倾斜角为， 则. 故选：A 6．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）已知直线，则直线l的倾斜角为（    ） A．120° B．60° C．30° D．150° 【答案】D 【分析】根据直线方程得到，然后根据斜率与倾斜角的关系求倾斜角即可. 【详解】直线方程可整理为，即，所以直线的斜率， 设倾斜角为，则，因为，所以. 故选：D. 7．（23-24高二上·西藏山南·期末）经过点和的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点斜率公式求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系求直线的倾斜角. 【详解】设经过点和的直线的的斜率为，倾斜角为， 由两点斜率公式可得， 所以，又， 所以. 所以经过点和的直线的倾斜角为. 故选：D. 8．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】则，求出的值，再设直线的倾斜角为 ，则， 求出，即可求解． 【详解】解：，则，得， 得， 设直线的倾斜角为 ，则， 得， 得，得， 故选：D 二、多选题 9．（22-23高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直线，则下列选项中正确的有（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为 C．直线不经过第三象限 D．直线的一个方向向量为 【答案】CD 【分析】由直线，可以得到直线的斜率和倾斜角，从而判断A和B的正误；通过计算直线的斜率和截距，从而判断是否经过第三象限，判断C选项的正误；取直线上两点，得到直线的一个方向向量，从而判断D选项的正误. 【详解】因为，可以表示为，所以，倾斜角为，故选项A和B错误； 因为直线，故斜率，纵截距，所以直线不经过第三象限，故选项C正确； 取直线上两点,，所以得到方向向量，得到直线的一个方向向量为，故选项D正确. 故选：CD 10．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得. 【详解】由图可得，，故A、D正确. 故选：AD. 11．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)如果，，三点在同一条直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式求解作答. 【详解】依题意，三点所在直线不垂直于x轴，因此直线的斜率相等， 于是，整理得，所以或. 故选：AC 三、填空题 12．（22-23高二上·浙江宁波·阶段练习）已知三点三点共线，则实数的值为 . 【答案】6 【分析】依题意可得，根据斜率公式计算可得. 【详解】解：因为三点共线， 所以，即，解得； 故答案为： 13．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知点，则直线的倾斜角是 ． 【答案】 【分析】根据已知两点的坐标求得直线的斜率，即可求得答案. 【详解】由于， 故直线的斜率为， 因为直线的倾斜角范围为， 故直线的倾斜角是， 故答案为： 14．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知．若点在轴上，且，求直线的倾斜角． 【答案】． 【分析】根据角度关系得，再根据两点斜率公式即可求出的坐标，则得到直线倾斜角. 【详解】设．．． 又， ，即． 又，垂直于轴． 直线的倾斜角为． 16．（23-24高二上·全国·课前预习）如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．    【答案】，锐角；，钝角；，锐角 【分析】通过两点求斜率的公式求得斜率，进而判断出倾斜角是锐角还是钝角. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 直线的斜率， 由>及可知，直线与的倾斜角均为锐角； 由可知，直线的倾斜角为钝角． 17．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，菱形ABCD中，，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．    【答案】答案见解析 【分析】由菱形的结构特征和在坐标平面中的位置，求各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 【详解】菱形ABCD中，，则和都是等边三角形， 则直线AD，BC的倾斜角为，直线AB，DC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为；直线BD的倾斜角为， ，，，. 18．（23-24高二上·全国·课后作业）已知两条直线，，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，求的取值范围． 【答案】 【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得a的取值范围. 【详解】由题知直线的倾斜角为，设直线的倾斜角为，则， 且， 所以过原点的直线，的夹角在内变化时， 则， 即， 解得且， 故且， 故a的取值范围是. 19．（23-24高二上·浙江·期中）已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$