直线的方程知识点与题型总结讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线和圆的方程：直线方程知识点与题型总结 直线和圆的方程：直线方程知识点与题型总结 考点目录 直线的倾斜角与斜率 平行问题、垂直问题、三点共线问题 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 直线的一般方程 直线的交点问题 直线的定点问题 距离问题 对称问题 考点一 直线的倾斜角与斜率 【知识点解析】 概念 知识点解析 直线倾斜角的定义 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 斜率公式 ①经过两点、的直线的斜率.. ②倾斜角的直线的斜率. ③方向向量为的直线的斜率. 倾斜角与斜率的变化 当倾斜角，斜率，随的增大而增大. 当倾斜角，斜率不存在，此时直线垂直于轴. 当倾斜角，斜率，随的增大而增大. 【例题分析】 考向一 直线的倾斜角与斜率的计算 1．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线可知其斜率为， 所以， 因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 3．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】经过两点直线的方向向量为，则的斜率为， 对于A：，不合题意，A选项错误； 对于B：，符合题意，B选项正确； 对于C：，符合题意，C选项正确； 对于D：，不合题意，D选项错误； 故选：BC. 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线的倾斜角为，因为倾斜角为锐角， 所以直线的斜率， 又， 即，解得， 即的取值范围为． （2）直线的一个方向向量为， 所以， 解得． 考向二 已知倾斜角或斜率求参数 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）过，两点的直线倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 考向三 利用直线与线段相交关系求参数 1．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线过点B，且与线段AP相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：B.    2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，，又存在与线段相交的直线与轴垂直，如图， 因此直线的斜率的范围是， 故选：D． 3．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为P，， 所以， 因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 4．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【详解】    如图所示，若直线或与线段相交， 当直线斜率时，， 当直线斜率时，， 综上所述，或， 故答案为：. 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 考点二 平行问题、垂直问题、三点共线问题 【知识点解析】 位置关系 解决思路 直线与直线平行 ①若直线与直线的斜率均存在，则且（即不能重合）. ②直线与直线的斜率均不存在. 直线与直线垂直 ①若直线与直线的斜率均存在，则. ②若直线与直线有一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为. 、、三点共线 ①若，则. ②. 除了用斜率进行处理，平行问题、垂直问题、共线问题也可用向量进行处理，但本章主要讲解直线方程，所以不对向量进行展开！ 【例题分析】 考向一 判断直线平行或利用平行关系求参数 1．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】因为两条直线与不重合，由“与的斜率相等”可得“与平行”； 由“与的平行”则可得“与的斜率相等”或“与的斜率均不存在”， 即“与的斜率相等”是“与的平行”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】D 【详解】充分性：直线与平行，但是和都没有斜率，即当和都垂直于轴时，与仍然平行，但是，此时不满足直线与的斜率相等，故充分性不成立； 必要性：直线与的斜率相等，则直线与平行或重合，故必要性不成立； 综上，“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的既非充分又非必要条件. 故选：D 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 4．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 6．（24-25高三下·河南开封·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 【答案】2或 【详解】若，则，解得或，经检验，都成立. 故答案为：或. 7．（23-24高二上·山西运城·期中）直线与直线互相平行，则a的值为 . 【答案】 【详解】因为直线的斜率为， 且直线与直线互相平行，则，即得. 当时，直线与直线平行符合题意. 故答案为：. 8．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 【答案】 【详解】若，则，解得， 检验，当时，，， 此时成立，符合题意，故. 故答案为：. 考向二 判断直线垂直或利用垂直关系求参数 1．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】根据题意，可得，解得. 故选：C. 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 【答案】2 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 5．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 6．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由直线垂直的判断方法，分析可得，解可得的值； 【详解】根据题意，直线． 若与垂直，必有，解得. 故答案为： 考向三 三点共线问题 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习·多选）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A：，不共线； 对于B： ，共线； 对于C：，共线； 对于D：，共线. 故选：BCD 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 【答案】 【分析】先确定直线斜率存在，然后根据三点共线可知，结合斜率的计算公式可求结果. 【详解】因为，所以直线斜率存在， 因为三点共线，所以， 所以，解得， 故答案为：. 3．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【分析】根据确定直线斜率存在，再根据三点共线可得斜率相等，即可得实数的值. 【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 故答案为：. 考向四 直线平行、垂直的判断在几何中的应用 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 【答案】或或. 【详解】由题，， 所以kAC=2，，kBC=－3， 设D的坐标为（x，y），分以下三种情况： ①当BC为对角线时，有kCD=kAB，kBD=kAC， 所以，，， 得x=7，y=5，即 ②当AC为对角线时，有kCD=kAB，kAD=kBC， 所以，， 得x=－1，y=9，即 ③当AB为对角线时，有kBD=kAC，kAD=kBC 所以， 得x=3，y=－3，即 所以D的坐标为或或. 考点三 直线的点斜式方程 【知识点解析】 1.直线的点斜式方程的定义 已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程. 2.两种特殊的直线方程 （1）当直线的倾斜角为时（如图1），，即,这时直线与轴平行或重合，的方程就是或. （2）当直线的倾斜角为时（如图2），直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是或. 【例题分析】 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的方程为，则， 根据两直线垂直知所求直线的斜率为， 又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即. 故选：B. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）过点且倾斜角为90°的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为倾斜角为90°，所以该直线与x轴垂直，又过， 所以直线方程为，即. 故选：C 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因直线的方向向量为，故其斜率为，又直线过点， 故其方程为：，即. 故选：A. 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是 . 【答案】 【详解】直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为：， 即. 故答案为：. 7．（24-25高二上·云南·期中）已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为 . 【答案】 【详解】易知的中点坐标为，且， 所以线段的垂直平分线的斜率为，可得所求直线方程为. 即. 故答案为：. 8．（24-25高二上·北京·期中）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 【答案】或 【详解】由直线l的倾斜角为，且，得，则， 因此直线l的斜率，直线l的方程为或， 所以直线l的方程为或. 故答案为：或 9．（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）写出满足下列条件的直线方程： (1)已知直线l过点，且倾斜角为. (2)已知直线l过点，且斜率为2. (3)已知直线l过两点. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）由直线的倾斜角为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）直线的方程为，即. （3）直线的斜率，所以直线的方程为，即. 10．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 考点四 直线的斜截式方程 【知识点解析】 1.直线的斜截式方程的定义 我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，也叫纵截距. 如果直线的斜率为，且在轴上的截距为，则方程为，即. 这个方程是由直线在轴上的截距及其斜率确定的，因此称为直线的斜截式方程. 2.几种特殊形式 当时，表示过原点的直线. 当且时，表示与轴平行的直线. 当且时，表示与轴重合的直线. ※截距只是一个数，不代表距离，所以可以是负数. 【例题分析】 1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线在轴上的截距为，点在直线上， 又直线的斜率为,根据点斜式方程得即. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率. 又直线在轴上的截距是3，由斜截式方程得. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的方程是，令，则， 所以直线的纵截距是. 故选：D 4．（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为，即． 故选：A． 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】因为直线在轴上的截距为，所以点在直线上， 又直线的斜率为，根据点斜式方程得直线的方程为，即. 故答案为：. 6．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 【答案】(1)或； (2)或； (3)或． 【详解】（1）因为直线斜率为，在轴上的截距是， 所以由斜截式可得直线方程为或. （2）因为直线倾斜角为，所以该直线斜率为， 设直线方程为，又因为在轴上的截距是， 所以将代入解得直线方程为或. （3）因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角为， 所以由题意得所求直线的倾斜角为，斜率为， 设所求直线为，将代入可得， 所以所求直线方程为或． 考点五 直线的两点式方程 【知识点解析】 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点、，当且时，直线的方程为. 这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程. 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点、 (其中且)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的. 当时，所求直线的斜率. 任取、中的一点，例如取，由点斜式方程，得. 当时，可写为. 【例题分析】 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由截距式可得直线方程为，A正确，BCD错误. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 【答案】A 【详解】由两点式直线方程得：， 整理得：，再令，解得， 故选：A． 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 【答案】C 【详解】由题意，直线经过两点，，故AD错误， 将两点式化为斜截式：，故B错误， 直线的斜率为，所以直线的倾斜角为锐角，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 故的方程是，即； （2）因为直线的斜率， 所以经过点且与直线平行的直线方程为，即. 6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. (1)求直线的方程和边上的高所在的直线方程； (2)过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 【答案】(1)直线的方程是，边上的高所在的直线方程是 (2) 【详解】（1）依题意，，所以直线的方程为， 整理得. 直线的斜率为，所以边上的高所在的直线的斜率为， 所以边上的高所在的直线方程是. （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 所以过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是. 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）根据题意可知， 则根据直线截距式可得，即； （2）设高所在的直线方程的斜率为，直线斜率为， 由(1)知直线斜率为，根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为， 即，则可得，再由点斜式可得， 即； （3）设和中点分别为， 则由， 所以 则根据两点式可得直线方程为， 即. 考点六 直线的截距式方程 【知识点解析】 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为. 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是. 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中. 将两点、的坐标代入两点式，得,即. 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【详解】在中令得， 故选：A. 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】直线即，所以纵截距为-2. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为. 故选：A 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 【答案】或. 【详解】显然直线的斜率是存在的. 若两坐标轴上截距相等且等于零，设直线方程为，因为过点，所以，所以直线方程为； 若两坐标轴上截距相等且不等于零，设直线方程为，因为过点，所以，故，所以直线方程为，即； 故答案为：或. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 6．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 【答案】 【详解】设直线在轴和轴上的截距分别为、，则、，则直线的截距式方程为， 由于直线过点，则，故， 所以为的正约数，故. 即满足条件的正整数的个数为. 因此，满足题设条件的直线的条数为. 故答案为：. 7．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）由于直线在两坐标轴上的截距之和为12， 因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点， 故可设直线方程为：，且，① 又因为直线过点， 所以，② 由①②解得或， 所以直线的方程为：或， 即或. （2）由（1）可知，当直线的方程为时， ； 当直线的方程为时， ， 所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或. 8．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知，的斜率存在且不为0， 设斜率为，则的点斜式方程为， 则它在两坐标轴上截距分别为和， 所以，解得（此时直线过原点，舍去）或， 所以的点斜式方程为，即； （2）由（1）知，，， 所以的面积， 当且仅当即时，等号成立， 的点斜式方程为， 所以的斜截式方程为. 考点七 直线的一般式方程 【知识点解析】 1．直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于，的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于，的二元一次方程（其中，不同时为）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为 都不为 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在轴上的截距为，斜率为的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线. 注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为点斜式方程或一般式方程. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线方程得，解得， 因此，过点且与直线垂直的直线的方程为. 故选：A. 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知的斜率为，所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为，故B正确. 故选：B 3．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 4．（24-25高二下·广东广州·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线与直线中，，它们互相垂直， 当直线与直线互相垂直时，，， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件. 故选：A 7．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 8．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 9．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因，则. 当，， ，两直线互相平行. 则则“”是“”的充要条件. 故选：C 10．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】由题意，，解得， 此时，，满足题意. 故选：C. 考点八 直线的交点问题 【知识点解析】 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 ※当两直线平行时，两直线没有交点. ※当两直线重合时，两直线有无数个交点. ※当两直线不平行也不相交时，两直线有唯一交点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 2．（24-25高二上·广东佛山·期中）着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立，可解得， 因为交点在第四象限，所以，解得. 故选：A. 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 5．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【详解】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 7．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 8．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. （2）因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以        因为，，所以中点坐标为， 所以           联立方程组， 解得，所以. 考点九 直线的定点问题 【知识点解析】 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 【答案】D 【详解】对于A，直线：，可化为， 当时，，所以直线过点，故A正确； 对于B，当时，直线为，即， 其斜率是2，与坐标轴的交点分别是和， 因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确. 对于C，直线方程可化为，斜率为，一定存在，故C正确； 对于D，当时，直线的斜率为，倾斜角为，故D错误； 故选：D. 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线，由，解得， 所以直线恒过定点. 故选：C 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】直线过定点，直线，即过定点， 又，即直线与直线垂直， 因此，则， 当且仅当时取等号，所以的最大值为5. 故选：C 4．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 【答案】 【详解】直线方程可化为， 由得， 所以直线过定点， 故答案为：． 5．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【答案】 【详解】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 6．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 7．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 【答案】4 【详解】直线的方程变形为，由，得， 所以，动直线过定点，同理可知，动直线过定点， 由题意可知，且为与的交点，所以， 由勾股定理可得， 由重要不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 9．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意，整理得， 所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组， 解得，即. （2）设直线方程为，则， 由直线恒过定点，得， 由整理得：，解得或， 所以直线方程为：或， 即或， 又直线的斜率， 所以不合题意，则直线方程为. 考点十 距离问题 【知识点解析】 1.两点之间的距离公式 已知点，则线段的长度. 2.点到直线的距离公式 已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离公式 已知直线与，直线到直线的距离. ※注意使用平行线的距离公式时，需注意先统一系数、！ 【例题分析】 考向一 两点之间的距离问题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，三点不共线， 则， ， ， 由余弦定理，可得. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点，，，则△中边上的中线长 . 【答案】 【详解】设的中点的坐标为，由中点公式可得， 即的坐标为，则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 【答案】 【详解】设，， ∵P为AB中点，∴， 解得，， 即，， 所以 故答案为：. 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 【答案】10 【详解】由题意可得：，则， 由，则， 当时，两直线垂直， 当时，两直线斜率之积等于， ∴直线和直线垂直， 则. 故答案为：10 考向二 点到直线的距离问题 1．（24-25高二上·浙江宁波·阶段练习）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 4．（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【详解】设，则， 由得，， 则点到直线的距离为， 故答案为：． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 【答案】(1)或. (2)或. 【详解】（1）法1：直线过线段的中点：中点，直线的斜率， 则直线的方程为； 直线与直线平行：直线的斜率，则直线的方程为； 故直线的方程为或. 法2：当直线的斜率不存在时，，点到直线的距离分别是，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 点与点到直线l的距离相等，则，得或， 故直线的方程为或. （2）当直线的斜率不存在时，， 与两条平行直线的交点为，故截得的线段长为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设， 得交点； 得交点； 则， 得，则， 综上，直线的方程为或. 8．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 考向三 平行线的距离问题 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 2．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 3．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线 和直线间的距离是 . 【答案】 【详解】易知直线 和直线平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 【答案】 【详解】由与两直线平行可得，解得； 即可得：， 所以与间的距离为. 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 7．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 8．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 【答案】(1)且 (2) 【详解】（1）因为直线与直线， 当直线与相交，则，解得且. （2）由直线与平行，则，解得， 所以此时直线，， 所以与的距离. 考点十一 对称问题 【知识点解析】 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． （4）点关于直线的对称点为． （5）点关于直线的对称点为． 2.对称问题 （1）点关于点对称 已知点，求关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用点为点、的中点. （2）点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 3．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 【答案】A 【详解】设点是点关于直线的对称点， 则两点的中点在对称直线上且两点的直线与对称直线垂直， 则，解得 点在直线上，∴，即， ∴，当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 5．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 【答案】B 【详解】如图所示， 关于轴的对称点为, 则, 当三点共线时等号成立， 又, 故的最小值为5, 故选：B. 6．（24-25高二上·山东济南·阶段练习·多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 【答案】 【详解】设直线关于直线对称的直线为，由，解得， 则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得，即， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】, 由于点和点关于直线对称，所以，解得， 和点的中点为，则在直线上， 故，解得， 故答案为： 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 10．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 【答案】 【详解】设点关于的对称点为，则的中点，且， 所以，解方程得，即； 取上一点，易知关于对称的点为， 设直线关于直线对称的直线斜率为，则， 所以该直线过点，其方程为，整理得. 故答案为： 课后提升训练 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【详解】当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】根据题意，直线与轴、轴分别交于两点， 令，可得，则的坐标为， 令，可得，则的坐标为， 如图： 设，为锐角）， 则，即， 则有，解可得或（舍）， 则的平分线所在直线的斜率， 其方程为，变形可得， 故选：B. 4．（23-24高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为， ∴直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 对于B：的斜率为，B选项错误； 对于C：的斜率为，C选项错误； 对于D：的斜率为，D选项错误； 对于A：点O到直线l的距离为，A选项正确； 故选：A. 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 【答案】BD 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 即点满足，所以， 因为，所以，所以， 即的最大值是，的最小值是0. 故选：BD 6．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习·多选）下列四个命题中正确的有（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确； 对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】设直线上任意一点，则点关于直线对称点， 因为直线与直线关于直线对称，所以在直线上， 即，得到直线的一般式方程为 故答案为： 8．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是 ，边上的垂直平分线所在直线的方程是 . 【答案】 【详解】由题知：,所以方程为，即， 中点,, 所以边上的垂直平分线所在直线的方程为，即， 故答案为：，. 9．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 12．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，满足，解得. 所以实数的值为. （2）因为. 且由题意可知，所以解得且， 令，得，令，得， 所以，解得. 所以实数的值为. 13．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 14．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线的一个方向向量为， 故的平分线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$直线和圆的方程：直线方程知识点与题型总结 直线和圆的方程：直线方程知识点与题型总结 考点目录 直线的倾斜角与斜率 平行问题、垂直问题、三点共线问题 直线的点斜式方程 直线的斜截式方程 直线的两点式方程 直线的截距式方程 直线的一般方程 直线的交点问题 直线的定点问题 距离问题 对称问题 考点一 直线的倾斜角与斜率 【知识点解析】 概念 知识点解析 直线倾斜角的定义 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 斜率公式 ①经过两点、的直线的斜率.. ②倾斜角的直线的斜率. ③方向向量为的直线的斜率. 倾斜角与斜率的变化 当倾斜角，斜率，随的增大而增大. 当倾斜角，斜率不存在，此时直线垂直于轴. 当倾斜角，斜率，随的增大而增大. 【例题分析】 考向一 直线的倾斜角与斜率的计算 1．（24-25高二下·河北张家口·开学考试）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点B在坐标轴上，经过两点直线的方向向量为，则下列选项中，可以是点B的坐标的是（    ）. A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 7．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，． (1)当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围； (2)若直线的一个方向向量为，求的值． 考向二 已知倾斜角或斜率求参数 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）过，两点的直线倾斜角为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考向三 利用直线与线段相交关系求参数 1．（24-25高二上·四川成都·期中）已知，直线过点B，且与线段AP相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，若经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 . 5．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 考点二 平行问题、垂直问题、三点共线问题 【知识点解析】 位置关系 解决思路 直线与直线平行 ①若直线与直线的斜率均存在，则且（即不能重合）. ②直线与直线的斜率均不存在. 直线与直线垂直 ①若直线与直线的斜率均存在，则. ②若直线与直线有一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为. 、、三点共线 ①若，则. ②. 除了用斜率进行处理，平行问题、垂直问题、共线问题也可用向量进行处理，但本章主要讲解直线方程，所以不对向量进行展开！ 【例题分析】 考向一 判断直线平行或利用平行关系求参数 1．（24-25高二上·上海金山·阶段练习）已知直线与不重合，则“直线与的斜率相等”是“直线与平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 2．（24-25高二下·上海宝山·期中）“直线与平行”是“直线与的斜率相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 4．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 5．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·河南开封·阶段练习）若直线与直线平行，则 . 7．（23-24高二上·山西运城·期中）直线与直线互相平行，则a的值为 . 8．（25-26高二上·山西临汾·开学考试）已知直线，直线，若，则 ． 考向二 判断直线垂直或利用垂直关系求参数 1．（2025·山西·三模）已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数 . 5．（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 6．（24-25高二下·上海杨浦·期中）若两条直线 与 垂直，则 的值为 . 考向三 三点共线问题 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习·多选）下列各组中的三点共线的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京大兴·期中）已知，，三点共线，则 ． 3．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 考向四 直线平行、垂直的判断在几何中的应用 1．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 2．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    3．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标. 考点三 直线的点斜式方程 【知识点解析】 1.直线的点斜式方程的定义 已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为. 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程. 2.两种特殊的直线方程 （1）当直线的倾斜角为时（如图1），，即,这时直线与轴平行或重合，的方程就是或. （2）当直线的倾斜角为时（如图2），直线没有斜率，这时直线与轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是或. 【例题分析】 1．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）过点且倾斜角为90°的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）过点且方向向量为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）直线经过点且与直线垂直，则直线的方程是 . 7．（24-25高二上·云南·期中）已知点，则线段的垂直平分线的直线方程为 . 8．（24-25高二上·北京·期中）直线l的倾斜角为，且，若l过点，则直线l的方程为 . 9．（24-25高二上·广东揭阳·阶段练习）写出满足下列条件的直线方程： (1)已知直线l过点，且倾斜角为. (2)已知直线l过点，且斜率为2. (3)已知直线l过两点. 10．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 考点四 直线的斜截式方程 【知识点解析】 1.直线的斜截式方程的定义 我们把直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，也叫纵截距. 如果直线的斜率为，且在轴上的截距为，则方程为，即. 这个方程是由直线在轴上的截距及其斜率确定的，因此称为直线的斜截式方程. 2.几种特殊形式 当时，表示过原点的直线. 当且时，表示与轴平行的直线. 当且时，表示与轴重合的直线. ※截距只是一个数，不代表距离，所以可以是负数. 【例题分析】 1．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是3，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏盐城·期中）直线的方程是，则直线的纵截距是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江西·期中）若直线的斜率为，在轴上的截距为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线的斜率为，在轴上的截距为，则直线的方程为 ． 6．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）根据条件写出下列直线的方程： (1)斜率为，在轴上的截距是； (2)倾斜角为，在轴上的截距是； (3)倾斜角是直线的倾斜角的一半，且过点． 考点五 直线的两点式方程 【知识点解析】 1．直线的两点式方程的定义 已知直线过两点、，当且时，直线的方程为. 这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程. 2．直线的两点式方程的推导 已知直线过两点、 (其中且)，此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的. 当时，所求直线的斜率. 任取、中的一点，例如取，由点斜式方程，得. 当时，可写为. 【例题分析】 1．（24-25高二上·重庆·期末）过、两点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）经过点的直线在轴上的截距是（ ） A．-10 B．10 C． D． 3．（24-25高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线的两点式为，则（    ） A．直线经过点 B．直线的斜截式为 C．直线的倾斜角为锐角 D．直线的点斜式为 4．（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为 ． 5．（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知的顶点坐标是为的中点. (1)求中线的方程； (2)求经过点且与直线平行的直线方程. 6．（24-25高二上·江苏连云港·期中）平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标为为的中点. (1)求直线的方程和边上的高所在的直线方程； (2)过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率范围是？ 7．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）三角形的三个顶点是． (1)求边所在的直线方程； (2)求边上的高所在的直线方程； (3)求经过两边和中点的直线的方程． 考点六 直线的截距式方程 【知识点解析】 1．直线的截距式方程的定义 已知直线过点，，()，则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为. 我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是. 这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式. 2．直线的截距式方程的推导 已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中. 将两点、的坐标代入两点式，得,即. 【例题分析】 1．（24-25高二下·四川泸州·期末）直线在轴上的截距为（   ） A． B． C．-1 D． 2．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）直线的纵截距为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二下·河南·期末）直线在轴的截距为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25高二上·重庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 . 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 6．（2025·辽宁沈阳·三模）已知过点的直线在轴和轴上的截距均为正整数，则满足条件的直线的条数为 ． 7．（24-25高二上·甘肃庆阳·阶段练习）直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12． (1)求直线的方程 (2)求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积． 8．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线经过点. (1)若不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求的方程； (2)设的斜率与两坐标轴的交点分别为，当的面积最小时，求的斜截式方程. 考点七 直线的一般式方程 【知识点解析】 1．直线的一般式方程 在平面直角坐标系中，任何一个关于，的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于，的二元一次方程（其中，不同时为）叫做直线的一般式方程，简称一般式. 2．直线的一般式与斜截式、截距式的互化 直线的一般式、斜截式、截距式如下表： 一般式 斜截式 截距式 不同时为 都不为 直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化： （1）当时，可化为，它表示在轴上的截距为，斜率为的直线. （2）当均不为零时，可化为，它表示在轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线. 注意：解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为点斜式方程或一般式方程. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东广州·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·安徽·期中）“”是“直线与直线互相垂直”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 9．（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·天津红桥·模拟预测）若直线：与直线：互相平行，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 考点八 直线的交点问题 【知识点解析】 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 ※当两直线平行时，两直线没有交点. ※当两直线重合时，两直线有无数个交点. ※当两直线不平行也不相交时，两直线有唯一交点. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东佛山·期中）着两条直线和的交点在第四象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 7．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 8．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 考点九 直线的定点问题 【知识点解析】 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·北京·期中）对于直线：，下列说法不正确的是（    ） A．恒过定点 B．当时，不经过第二象限 C．的斜率一定存在 D．当时，的倾斜角为 2．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 4．（24-25高二上·四川达州·阶段练习）无论为何值，直线过定点 . 5．（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 6．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 7．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知，过定点M的动直线与过定点N的动直线相交于点P，则的最大值是 ． 8．（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 9．（24-25高二上·四川内江·期中）已知一条动直线， (1)求直线恒过的定点的坐标； (2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程. 考点十 距离问题 【知识点解析】 1.两点之间的距离公式 已知点，则线段的长度. 2.点到直线的距离公式 已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离公式 已知直线与，直线到直线的距离. ※注意使用平行线的距离公式时，需注意先统一系数、！ 【例题分析】 考向一 两点之间的距离问题 1．（25-26高三上·广东·阶段练习）平面直角坐标系中，已知点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点，，，则△中边上的中线长 . 5．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， . 6．（23-24高二上·四川宜宾·期末）过定点的直线与过定点的直线交于，则 考向二 点到直线的距离问题 1．（24-25高二上·浙江宁波·阶段练习）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 4．（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 5．（24-25高三下·重庆·阶段练习）点为直线上的一动点，，则点到直线的距离为 ． 6．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 7．（24-25高二上·上海·阶段练习）分别求经过点，且满足下列条件的直线l方程： (1)点与点到直线l的距离相等； (2)直线l被两条平行直线和截得的线段长为． 8．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 考向三 平行线的距离问题 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海宝山·期中）直线 和直线间的距离是 . 5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：与：平行，则与间的距离为 ． 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 7．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 8．（24-25高二下·河北张家口·阶段练习）已知直线与直线． (1)当为何值时，与相交； (2)当为何值时，与平行，并求与的距离；. 考点十一 对称问题 【知识点解析】 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． （4）点关于直线的对称点为． （5）点关于直线的对称点为． 2.对称问题 （1）点关于点对称 已知点，求关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用点为点、的中点. （2）点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）若第一象限内的点关于直线的对称点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．10 D．16 5．（23-24高二上·贵州贵阳·期末）点，点在轴上，则的最小值为（    ） A． B．5 C．4 D． 6．（24-25高二上·山东济南·阶段练习·多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽芜湖·期中）直线：关于直线：的对称直线方程为 ． 8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）若点和点关于直线对称，则 ． 9．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 10．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为 ；直线关于直线对称的直线方程为 ． 课后提升训练 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 2．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 3．（24-25高一下·江苏镇江·期中）直线与轴、轴分别交于两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D．或 4．（23-24高二上·山西运城·期中）已知O为坐标原点，点O到直线l的距离为2，并且x轴正半轴与直线l的垂线的倾斜角为，则直线l的方程是（    ）. A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山西运城·期中·多选）已知点，点，若点在线段上移动，则下列说法正确的是（    ）. A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是0 6．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习·多选）下列四个命题中正确的有（    ） A．过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B．若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C．若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D．若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与直线关于直线对称，则直线的一般式方程为 . 8．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知三角形的三个顶点、、，则边所在直线方程是 ，边上的垂直平分线所在直线的方程是 . 9．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 10．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 11．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 12．（24-25高二下·上海·期末）已知直线； (1)若，求实数的值； (2)若不经过坐标原点的直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值. 13．（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 14．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$