第一章 勾股定理 单元测试-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

第一章 勾股定理 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（勾股定理）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，6，7 D．6，8，9 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 7．已知一个直角三角形的斜边长比直角边长多2，另一条直角边长为8，则斜边长为（    ） A．12 B．6 C．17 D．15 8．如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（   ） A．3 B． C．5 D． 9．如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ． 12．如图，中，，，，则以为边长的正方形的面积是 ．    13．如图，正方形A的面积为 ． 14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 15．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 16．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 17．如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 18．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 20．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    21．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．    (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 22．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 23．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 24．如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 25．探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 26．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 单元测试 总分：120分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章（勾股定理）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．在下列四组数中，属于勾股数的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，6，7 D．6，8，9 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，不符合题意； B、，故是勾股数，符合题意； C、，故不是勾股数，不符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3．九章算术是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是：已知矩形门的高比宽多尺，门的对角线长尺，那么门的高和宽各是多少设门的宽为尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据宽为尺，则高为尺，对角线为尺，由勾股定理即可列式求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：宽为尺，则高为尺，门的对角线长尺， ∴由勾股定理可得，， 故选：A ． 4．图中三角形是直角三角形，所有四边形都是正方形，最大正方形的边长为，则图中所有正方形的面积的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理的几何意义解答即可．熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知：直角三角形两直角边所对应的两个正方形的面积之和等于斜边所对应的正方形的面积， 则图中所有正方形的面积的和为， 故选：A． 5．如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，则，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：， ， 是边上的中线， ， 的面积， 故选：A． 6．有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据两点之间，线段最短，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图， 设大树高为，小树高为， 过C点作于点E，则． 连接， 在中，由勾股定理得：； 即：小鸟至少飞行； 故选B． 7．已知一个直角三角形的斜边长比直角边长多2，另一条直角边长为8，则斜边长为（    ） A．12 B．6 C．17 D．15 【答案】C 【分析】设直角三角形的斜边是，则另一条直角边是．根据勾股定理列方程求解即可．本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理列出方程，熟练求得方程的解． 【详解】解：设直角三角形的斜边是，则另一条直角边是． 根据勾股定理，得 ， 解得：． 则斜边的长是17． 故选：C． 8．如图，在四边形中，，，与关于直线轴对称，，，点与点对应，交于点，则线段的长为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，勾股定理等知识点，根据勾股定理列出方程是解题的关键是．设，根据平行线性质和轴对称性质得到，再根据勾股定理得到关于线段、、的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：设，则， ∵， ∴； 由轴对称得：，，，， ∴， ∴，则， 由勾股定理得：，即， 解得：，即：． 故选：B． 9．如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关键．四边形是长方形，则，，，由折叠的性质可知，,，由勾股定理得到，则， 在中，由勾股定理得到，解方程即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得到， 即， 解得 故选：A． 10．如图，在中，，，点D、E为BC上两点，，点F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理即可得出④． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故③正确； ，， ， 故④不正确， 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则这个三角形第三边的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，掌握直角三角形两边直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由勾股定理得：第三边的长为， 故答案为：5． 12．如图，中，，，，则以为边长的正方形的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解本题的关键，先求解，从而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 所以以为边长的正方形的面积为． 故答案为． 13．如图，正方形A的面积为 ．    【答案】100 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．根据勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， 故答案为：100．    14．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是由勾股定理得出是解题的关键． 由勾股定理得出，再根据可得出的值，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得：， 即， ， ， 由图形可知，阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个站着不动的女孩头顶正上方处，过了秒，飞机距离这个女孩头顶，则飞机每秒飞行了 ． 【答案】 【分析】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设B点为女孩头顶，A为正上方时飞机的位置，C为秒后飞机的位置，如图所示，，， 则 ∴米， ∴米/秒 故答案为：． 16．如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识．根据题意分别计算出图①、图②和图③的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 图③中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴10次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：48． 17．如图，，，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，延长交于点F，然后证明，得到，然后利用勾股定理得到，然后解题即可． 【详解】解：延长交于点F， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为： 18．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共66分． 19．如图，一座城墙高，墙外有一条护城河宽为，那么一架长为的云梯能否到达城墙的顶端？请说明理由． 【答案】云梯不能到达城墙的顶端，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据已知得出斜边与直角边，再利用勾股定理求出梯子能够到达的墙的最大高度即可．正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解题的关键． 【详解】解：云梯不能到达城墙的顶端． 理由：连接， 由题意， 当时， 在中，， ∴， ∵， ∴云梯不能到达城墙的顶端． 20．政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用．    【答案】够用，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】   解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 21．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为．    (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)没有超速． 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】（1）解：在中，，； 据勾股定理可得： = （2）解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 22．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 23．已知，，将它们按照如图所示摆放在直线上，使点与点重合，连接，得到的四边形是梯形．设的三边分别为，，，请用此图证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的证明， 首先求出，然后利用梯形的面积得到，进而求解即可． 【详解】证明： ，， ， 即． 24．如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出的长，进而解答即可． 【详解】（1）解：在中， ； （2）解：在中， ， ． 25．探寻“勾股数”： 满足关系的正整数a、b、c称为勾股数．通过学习我们知道勾股数有无数组，那么勾股数有规律吗？下面我们利用点图来探一类勾股数的计算公式．如图从点图的左上角构随正方形，把含有个点的正方形称为n阶正方形． (1)探寻规律： ①2阶正方形比1阶正方形多3个点：3阶正方形比2阶正方形多5个点：4阶正方形比3阶正方形多_________个点； ②阶正方形比a阶正方形多_________个点． (2)利用阶正方形与a阶正方形探寻勾股数．如果阶正方形比a阶正方形多的点数为平方数，那么就可以得到一组勾股数，比如5阶正方形比4阶正方形多9个点，9是平方数，于是能得到，即，因此得到一组勾股数为，，，请利用该方法再写出一组勾股数； (3)设阶正方形比a阶正方形多个点，用字母n表示这组勾股数，写出求解过程，并指出n是奇数还是偶数． 【答案】(1)①7；② (2)一组勾股数为，，，理由见解析 (3)这组勾股数为，n，，n为奇数 【分析】本题考查了数字规律探索，勾股数的求解，整式的混合运算，含乘方的有理数计算，根据图形总结出规律是解题关键． （1）根据图形可得出n阶正方形含有个点，根据此规律即可求出结果； （2）根据勾股数的特征即可得出结果； （3）根据题意得到，整理得到，，即可得到勾股数，根据为整数，则为偶数，则为奇数，即可得出结果． 【详解】（1）解：1阶正方形：，1个点， 2阶正方形：，4个点， 3阶正方形：，9个点， n阶正方形：，个点， 4阶正方形比3阶正方形多个点； 阶正方形比a阶正方形多个点； 故答案为：①7；②； （2）解：13阶正方形有个点， 12阶正方形有个点， 则， 是平方数， ，即， 因此得到一组勾股数为，，； （3）根据题意可知：， 整理得：， ， 这组勾股数为，n，， 为整数，则为偶数，则为奇数， 为奇数． 26．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$