第06讲 直线与圆的位置关系（3考点4题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第06讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 理解直线与圆的三种位置关系； 2 能够根据直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 3 培养抽象、分析和计算的能力． 1. 理解直线与圆的三种位置关系； 2. 能够根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 3. 通过直线与圆的位置关系判断与应用例，加深直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养． 知识点一、直线与圆的位置关系的判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点二、圆的切线及切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . 知识点三、圆的弦长 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式：=|y1－y2|. 题型01 直线与圆的位置关系的判断 1.已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 2.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 3．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 4．在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 7.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 题型02 圆的切线问题 1.已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 2．已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 3.过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 5.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 6.已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 7．已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 题型03 圆的弦长问题 1.若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2.当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 3.已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 4.已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 6．已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 题型04 直线与圆的位置关系求距离最值 1.圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 2.已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3.已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 4.如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 5.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 6．已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 1.若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．若直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C．1 D． 3．已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 7．（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 8．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 9.已知直线 与圆 交于两点，则直线倾斜角之和为 . 10．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 11.已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 12．已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 13.已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 直线与圆的位置关系 课程标准 学习目标 1 理解直线与圆的三种位置关系； 2 能够根据直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 3 培养抽象、分析和计算的能力． 1. 理解直线与圆的三种位置关系； 2. 能够根据直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系； 3. 通过直线与圆的位置关系判断与应用例，加深直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养． 知识点一、直线与圆的位置关系的判断 （1）三种位置关系：相交、相切、相离． （2）两种判断方法： ① ② 知识点二、圆的切线及切线长 （1）过圆上一点的圆的切线 ①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. （2）过圆外一点的圆的切线 过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0. （3）切线长 从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线， 切线长为 . 知识点三、圆的弦长 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式：=|y1－y2|. 题型01 直线与圆的位置关系的判断 1.已知直线，圆，其中若点在圆外，则直线与圆的位置关系是（      ）. A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】A 【详解】因为点在圆外，所以可得， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交． 故选：A． 2.已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】直线与圆恰有一个公共点， 直线与圆相切， 法一，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，解得. 法二，由直线过定点， 设直线，定点为， 由在圆上，直线与圆相切， 故点即为切点，故直线，即斜率. 故选：B. 3．直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 4．在平面直角坐标系中，若对任意，圆与直线恒相切，则直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线，则到直线的距离， 若要对任意恒成立，则，且， 解得，由，有． 故选：A 5．已知直线与圆，则“，直线与圆有公共点”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 当，直线与圆有公共点时，恒成立，即恒成立， 则且，解得，即或（舍去） 所以“，直线与圆有公共点”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 6.过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为 . 【答案】150° 【详解】由题意得，直线与直线l垂直， 因为，故l的斜率为， 故l的倾斜角为150° 故答案为：150° 7.若圆上恰有三点到直线的距离为2，则的值为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由得，所以圆心，半径， 因为圆上恰有三点到直线的距离为2， 所以圆心到直线的距离为1， 即，解得， 故选：C． 题型02 圆的切线问题 1.已知圆心为的与直线相切，则直线被截得的弦长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为圆心到直线的距离， 即圆的半径， 又圆心到直线的距离， 所以直线被截得的弦长为. 故选：D 2．已知点为直线上的动点，过点作的切线，切点分别为，则当最小时，的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】的半径是2，圆心是，切线长， 根据四边形的面积为， 可知， 所以当取得最小值时，最小， 因为， 所以，此时， 又，则， 则，所以． 故选：C．    3.过直线上的点P作圆C：的两条切线，，当直线，关于直线对称时，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心为， 直线关于直线对称时，与直线垂直， 所以直线的方程为， 由解得，所以. 故选：A. 4.已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 5.设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 6.已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)为定值2． 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 7．已知平面上有两点，和直线. (1)求过点的圆的切线的方程； (2)动点在直线上运动，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）方法一：过点且斜率不存在的直线为， 圆的圆心到直线的距离， 即直线与圆相切，故满足题意； 当过点且斜率存在的直线为， 若直线与圆相切， 则，解得，此时满足题意的直线为， 综上所述，所求切线的方程为或. 方法二：所求切线经过点，设其方程为. 则该直线到点的距离为，即. 所以，此即，得. 故或，从而所求切线的方程为或. （2）方法一：如图所示： 设点关于直线的对称点，显然， 则，解得，所以的坐标为， 设与直线交于点， 则，等号成立当且仅当重合， 所以的最小值为. 方法二：设，则，从而. 故 . 从而 . 当，时，有，. 所以的最小值是. 题型03 圆的弦长问题 1.若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 2.当圆截直线所得的弦长最短时，实数（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】将直线的方程变形为，由，可得， 所以，直线经过定点， 圆的标准方程为，圆心为， 因为，即点在圆内， 故当时，圆心到直线的距离取最大值，此时，直线截圆所得弦长最短， ，直线的斜率为，所以，，解得． 故选：B． 3.已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 4.已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆可得圆心，半径， 因为直线，恒过直线和的交点， 即，解得：，，即直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径， 当最大时，这时， 所以弦长的最小值为， 所以弦长的范围为， 故选：B. 5.已知圆，过点的直线交圆于，两点，且，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，设的方程为， 由，可得，或， 所以，符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为， 因为，所以圆心到直线的距离， 由，得， 所以直线的方程为， 则直线的方程为或. 故答案为：或. 6．已知圆，点在直线上．若存在过点的直线与圆相交于，两点，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】圆圆心，半径为 设弦中点为，连接，， 由，，可得点在弦上， 且，，， 又圆心到弦所在直线的距离为： ， 则， 则点在以为圆心半径为5的圆上运动， 又点在直线上， 则直线与以为圆心半径为5的圆有公共点， 则，解之得或， 所以的取值范围是． 故答案为： 题型04 直线与圆的位置关系求距离最值 1.圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 2.已知是圆上任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，变形可得， 则的几何意义为直线的斜率， 圆化为， 所以圆的圆心为，半径为. 因为是圆上任意一点， 所以圆与直线有公共点，即圆的圆心到直线的距离不大于圆的半径， 所以，解得， 即的最大为. 故选:D. 3.已知为圆上两动点，且，则弦的中点到直线距离的最大值为（      ）． A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】依题意，所以， 因为为的中点，所以， 如图所示，过点作直线的垂线，垂足为， 连接，则圆心到直线的距离为， 因为当且仅当三点共线时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 故选：C 4.如果实数满足等式，那么的最大值是 ；的最大值是 ． 【答案】 【详解】由，得的几何意义为圆上的动点到原点距离的平方． 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的动点到原点距离的最大值为， 则的最大值是． 令，则是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，直线在轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值， 此时，圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为． 故答案为：；. 5.已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 . 【答案】 【详解】 四边形的面积, 当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为， 又半径，所以，则四边形面积的最小值为. 故答案为： 6．已知M，N为圆上两点，且，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设线段MN的中点为，圆：的圆心为，半径为， 则圆心到直线MN的距离为，所以， 故点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 设点的轨迹为圆，圆上的点到直线的最短距离为. 所以. 故答案为： 1.若过点的直线与圆交于两点，则弦最短时直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   当最短时，直线，所以. 又，所以， 所以的方程为，即. 故选：D 2．若直线与圆交于两点，且，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】根据圆的标准公式可知圆的圆心为，直径为， 因为，所以直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程， 得，解得. 故选：A. 3．已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆的知识可知，，，，四点共圆，且， 所以， 又，当时，此时取得最小值， 此时直线的方程为，即， ，解得，即. 所以的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 又圆：，即， 两圆的方程相减可得：，即直线的方程为． 故选：D 4.已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设中点为，则， 且，可得， 又因为，可知为边长为2的等边三角形， 则，可得， 可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 可知圆心到直线的距离，解得：. 故选：A. 5.若直线与曲线相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】曲线是圆的上半部分，当直线与曲线相切时，由2，得或（舍去）．结合图象可知，又， 所以． 故选：C. 6.（多选）已知直线，圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆的周长，则 【答案】AB 【详解】对于选项A，直线的方程可化为，由， 解得，所以直线过定点，故选项A正确， 对于选项B，圆的方程可化为，所以圆心为，半径为，故选项B正确， 对于选项C，当直线与圆有交点时，直线的斜率存在，不妨设直线方程为，即， 由，整理得到，得到， 又，所以，解得，故选项C错误， 对于选项D，若平分圆的周长，将圆心的坐标代入直线的方程，解得此时，故选项D错误， 故选：AB. 7．（多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点. B．当时，圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1. C．圆与曲线恰有三条公切线，则. D．当时，过直线上一个动点向圆引两条切线，其中为切点，则直线经过点. 【答案】BCD 【详解】对于选项，，整理得：， 所以，解得，所以直线恒过定点，故错误； 对于选项，当时，直线为，则圆心到直线的距离为，而圆的半径为2， 所以圆上有且仅有4个点到直线的距离都等于1，故正确； 对于选项，当时，曲线为为， 整理得：，则圆心为，半径为3；圆的圆心，半径为2； ∴两圆的圆心距为，所以两圆外切，故两圆恰有3条公切线，故选项正确； 对于选项，当时，直线的方程为，设， 则以为直径的圆的方程为，即 ∵圆，∴两圆的公共弦的方程为， 整理得：∴，解得： ∴直线经过点.故选项正确. 故选:. 8．（多选）已知直线过定点，且与圆相交于两点，则（    ） A．点的坐标为 B．的最小值是 C．的最大值是0 D． 【答案】ACD 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径． 对于A，直线，可化为， 所以直线经过点，斜率为， 因此直线过定点，A项正确； 对于B，当时，直线到圆心的距离达到最大值， 此时，可知的最小值是，故B项不正确；    对于C，，由于的最小值是，此时取最大值，故最大值为0，故C项正确； 对于D，设的中点为，连接，则， 可得 ，故D项正确． 故选：ACD． 9.已知直线 与圆 交于两点，则直线倾斜角之和为 . 【答案】 【详解】如图所示：    设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线倾斜角为， 则，得， 因为，所以， 则， 得， 得， 故答案为： 10．已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 【答案】①②③④ 【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确； 对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确； 对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确． 故答案为：①②③④ 11.已知过原点的动直线与圆． (1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； (2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）圆，整理可得标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为2． 设直线的方程为，即， 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 解得， 即的取值范围是； （2）由（1）知直线的方程为，． 设, 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 其中，则，即 消去得， 线段的中点的轨迹的方程为，其中． 12．已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. (1)求点的轨迹方程； (2)记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. （2）设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 13.已知圆的圆心在轴上，且过． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点（点位于轴上方），在轴上是否存在点，使得当直线变化时，均有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，且 【详解】（1）设圆为，则有， 解得，故圆的方程为； （2）由题意可得，直线斜率不为，故可设，，， 联立，有， ， ，， 设，，由，则有， 即， 即， ， 即， 则当时，恒成立， 故存在定点，使得当直线变化时，均有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$