精品解析：山东省济南市市中区实验初中学2023-2024学年八年级下学期期末数学模拟试题

八下期末模拟试题二A卷 5月28号 一．选择题（每题4分，共40分） 1. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2虚线折叠得到图3，再按图3所示沿剪下，若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是），则图3中的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　） A. B. C. D. 7. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 9. 若函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列．定义数列的“伴生数列”是：，，，…，，其中是这个数列中第个位置上的数，，2，…，且并规定，．如果数列只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”是（ ） A 0，1，0，1． B. 1，0，1，0． C. 1，0，0，1． D. 0，1，1，0． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 因式分解：________ 12. 已知，则代数式的值为______． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值是_____ 14. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是__________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为____． 三、解答题：（共10个小题，共86分） 17. 解不等式组，并求出它所有整数解的和． 18. （1）化简，并从1，2，3，四个数中，取一个合适的数作为x的值代入求值． （2）解分式方程：． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，为中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）给再添加一个条件，使得四边形为正方形．请写出添加的条件并说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m取值范围； （2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 22. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，；同样我们也可以化简读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程； （3）在复数范围内解方程：． 23. 某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 24. 请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； （3）设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 26. 有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】 （2）将图中的正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由． （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八下期末模拟试题二A卷 5月28号 一．选择题（每题4分，共40分） 1. 函数中自变量的取值范围在数轴上可表示为（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，在数轴上表示不等式的解集，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示出来即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴自变量的取值范围在数轴上可表示为， 故选：． 2. 下列各式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，符合题意； C、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、，能用完全平方公式分解因式，不符合题意； 故选：B． 3. 已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 4. 如图1，先将一张长方形纸片对折，然后沿图2的虚线折叠得到图3，再按图3所示沿剪下，若展开后是图4所示的正五角星（每个锐角都是），则图3中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 如图，由折叠的性质可得，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得，，， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，点，分别在，上．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】A、∵四边形为平行四边形， ∴，即． 又， ∴四边形为平行四边形．（一组对边平行且相等四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． B、无法证明四边形为平行四边形，该选项符合题意． C、∵四边形为平行四边形， ∴，即． 又， ∴四边形为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． D、∵四边形为平行四边形， ∴，． 又，，， ∴． ∵，， ∴． ∴四边形为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形） 该选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键． 6. 如图，矩形的两条对角线的一个夹角为，两条对角线的长度的和为，则这个矩形的一条较短边的长度为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，先由矩形的性质得到，，再求出，即可求出，证明是等边三角形，得到，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵两条对角线的长度的和为， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图 ，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ，AE⊥BC于E ，AB＝ ，AC＝2 ，BD＝4 ，则AE的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，然后根据平行四边形ABCD的面积即可求出． 【详解】解：∵AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∵， ∴， ∴． 故选D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题的关键． 8. 如图，四边形是菱形，按以下步骤作图：①以顶点为圆心，长为半径作弧，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，若，菱形的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作高线、菱形性质及面积公式以及三角函数，解题的关键是过点作交于点，根据矩形的判定和性质，则四边形是矩形，则，；根据菱形的性质，则，根据，求出，；根据勾股定理求出，推出，根据，即可． 【详解】由作图可知，，，， 过点作交于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 若函数图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．根据函数图象知：一次函数过点；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出、的关系式；然后将、的关系式代入中进行求解 【详解】解：一次函数经过点，函数值随的增大而减小， ； 令，则， ； 解关于的不等式，移项得：； 两边同时除以， ， ． 故选：C 10. 若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列．定义数列的“伴生数列”是：，，，…，，其中是这个数列中第个位置上的数，，2，…，且并规定，．如果数列只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”是（ ） A. 0，1，0，1． B. 1，0，1，0． C. 1，0，0，1． D. 0，1，1，0． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义题型，数字的变化规律，根据“伴生数列”的定义取，依次求出，，…，，再求出对应的即可，解题的关键在于理解新定义的概念． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴“伴生数列”是0，1，0，1， 故选：A． 二．填空题（每题4分，共24分） 11. 因式分解：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解；首先提取公因式，再用平方差公式“”进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故答案：． 12. 已知，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由可得，再代入分式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故答案为：． 13. 若关于x的方程有增根，则m的值是_____ 【答案】0． 【解析】 【详解】方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使 最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值： 方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）． ∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2． ∴2－2－m=2（2－2），解得m=0． 14. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴ ∴， 故答案为：． 15. 已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解． 【详解】解：设该方程的另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根是，可得：， ∴； 故答案为：4． 16. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，将四边形沿折叠得到四边形，点A的对应点M恰好落在直线上．若，则线段的长度为____． 【答案】或 【解析】 【分析】当点M在边上时，连结，过点F作于点H，证明，得到，然后根据勾股定理列方程，解得，即可进一步求得答案；点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L，同理求得，，即可进一步求得另一个答案． 【详解】解：如图1，点M在边上时，连结，过点F作于点H， 四边形沿折叠得到四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， 四边形时矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得， ， ， ； 如图2，点M在边的延长线上时，连结，交的延长线于点K，过点F作于点L， 同理可得，， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ； 综上所述，线段的长度为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确地分类及作出所需要的辅助线是解题的关键． 三、解答题：（共10个小题，共86分） 17. 解不等式组，并求出它的所有整数解的和． 【答案】，整数解的和为14 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解，再求和即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：； ∴整数解的和为：． 18. （1）化简，并从1，2，3，四个数中，取一个合适的数作为x的值代入求值． （2）解分式方程：． 【答案】（1）；当时，原式；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟悉掌握分式的运算法则分式方程，分式方程的解法是解题的关键 （1）先把分子分母因式分解，约分，再计算括号内的减法，最后算除法，约分成最简分式或整式；再选择使分式有意义的数代入求值即可． （2）根据分式方程的解题步骤，去分母转为整式方程解答，最后验根即可； 【详解】解：原式， ， ， 当，，原分式无意义， 当时，原式． （2）解： 方程两边都乘，得， ， ， ， ， 检验：当时，， 所以分式方程的解是． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 ∴或 解得，； 【小问2详解】 整理得， ，， ∴， ∴， 解得，． 20. 如图，在中，，为中线，为的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：四边形为菱形． （2）给再添加一个条件，使得四边形为正方形．请写出添加的条件并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可知，可证明四边形为平行四边形，然后根据“一组邻边相等的平行四边形为菱形”证明结论即可； （2）当时，四边形是正方形．因为当时，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即，然后根据“有一个角为直角的菱形是正方形”即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，为中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 当时（也可填或或），四边形是正方形，理由如下： ∵，为中线， ∴，即， ∵由（1）可知四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了菱形得判定、正方形的判定、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）在等腰中，一腰长为3，其余两边长为方程的两个根，求m的值． 【答案】（1）且； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的根的判别式． （1）由方程有实数根得，可得关于的不等式，解之可得的范围； （2）由，求出的取值范围，分两种情况：①当3是腰时，3是方程的一个根，把代入方程可求得；②两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，由可求出，两种情况都根据三角形的三边关系检验． 【小问1详解】 解：， 方程有实数根， 且， 且， 解得且； 【小问2详解】 解：根据题意得且， 解得且， 当时，方程的一根是3，把代入方程得， 解得， 此时方程的另一根为， ， 三角形存在； ； 当， ， 方程为． 解得， 一腰长为3， 不合题意， 综上，． 22. 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为（，为实数），叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似． 例如：解方程，解得，；同样我们也可以化简读完这段文字，请你解答以下问题： （1）填空：______，______，______； （2）已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程； （3）在复数范围内解方程：． 【答案】（1），1，0 （2）（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，则，先找到规律：每4个一组，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案； （2）由得出、，据此可得答案； （3）由知，据此得出，再开方即可． 【小问1详解】 ， ∵，有2020个加数，， ∴． 故答案为：，1，0； 【小问2详解】 ∵, ∴, ∴, ∴， ∴， ∴以a、b的值为解的一元二次方程可以是（答案不唯一）； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ 解得： 【点睛】本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 23. 某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同． （1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元； （2）购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程． （1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根； （2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，全部售完获得利润为W元，根据总利润甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；再根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案． 【小问1详解】 解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 此时， 答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元； 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，超市获得的利润为W元， 根据题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得 ∴（m为正整数）； ∵，， ∴W随m增大而减小， ∴当时，W有最大值，最大值为466， 此时， ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元． 24. 请阅读以下材料： ①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）． ②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请解决下列问题： （1）判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值； （3）若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程） 【答案】（1）是，理由见解析 （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，再根据“限根方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求出，．再结合“限根方程”的定义分类讨论舍去不合题意的值即可； （3）解该一元二次方程，得出或．再根据此方程为“限根方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，可求出m的取值范围．最后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， ∴． ∵，， ∴此方程为“限根方程”； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根分比为， ∴， ． ∵， ∴， 解得：，． 分类讨论：①当时，原方程为， ∴，， ∴，， ∴此时方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，原方程， ∴，， ∴，， ∴此时方程不是“限根方程”， ∴不符合题意． 综上可知k的值为2； 【小问3详解】 解：， ， ∴或， ∴或． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∴，即， ∴且． 分类讨论：①当时， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述，m的取值范围为或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点B，过点B的直线交轴正半轴于C，且△ABC的面积为56. 点D为线段AB的中点，点E为轴上一动点，连接DE，将线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF，连接DF． （1）求点C的坐标及直线BC的表达式； （2）在点E运动的过程中，若△DEF的面积为5，求此时点E的坐标； （3）设点E的坐标为（0，）； ①用表示点F的坐标； ②在点E运动的过程中，若△DEF始终在△ABC的内部（包括边界），直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】（1）（8，0）；y=-x+8 （2）（0，5）或（0，-3） （3）①（m-4，m-3）；②3≤m≤ 【解析】 【分析】（1）分别求出B、A的坐标，利用三角形面积可求C点坐标，再由待定系数法求直线BC的解析式即可； （2）由三角形面积求出DE的长，再由两点间距离公式求E点坐标即可； （3）①通过构造直角三角形，利用全等三角形的性质，求F点坐标即可； ②分别讨论F点在△ABC边界处时m的值，即可确定m的范围． 【小问1详解】 令x=0，则y=8， ∴B（0，8）， 令y=0，则x=-6， ∴A（-6，0）， ∵点D为线段AB的中点， ∴D（-3，4）， ∵△ABC的面积为56， ∴×8×AC=56， ∴AC=14， ∴C（8，0）， 设直线BC的表达式为y=kx+b， ∴， ∴， ∴y=-x+8； 【小问2详解】 设E（0，y）， ∵线段DE绕着点E逆时针旋转90°得到线段EF， ∴DE=EF，∠DEF=90°， ∵△DEF的面积为5， ∴DE2=5， ∴DE=， ∴， ∴y=3或y=5， ∴E（0，3）或E（0，5）； 【小问3详解】 ①如图1，过点E作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH交于点G，过点F作FH⊥GH交于点H， ∵∠GED+∠HEF=90°，∠GED+∠GDE=90°， ∴∠GDE=∠HEF， ∵DE=EF， ∴△GDE≌△HEF（AAS）， ∴GE=HF，GD=EH， ∴HF=3，DG=m-4=EH， ∴F点纵坐标m-3，横纵标m-4， ∴F（m-4，m-3）； ②如图2，当F点在x轴上时，DE⊥y轴， 此时m-3=0， ∴m=3； 当F在直线BC上时， 此时m-3=-（m-4）+8， ∴m=； ∴3≤m≤时，△DEF始终在△ABC的内部（包括边界）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，数形结合解题是关键． 26. 有公共顶点的正方形与正方形按如图所示放置，点分别在边和上，连接，点是的中点，连接交于点． 【观察猜想】 （1）线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探究证明】 （2）将图中正方形绕点顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由． （3）若正方形的边长为，将其沿翻折，点的对应点恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由． 【答案】（1）， （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，则，根据再根据等腰三角形的性质可得，故，即可求出． （2）延长到点，使，连接，则，先证明，，类比（1）中所用的方法可证得结论． （3）延长到点，使，连接交于点，连接、，将转化为，可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为，． （2）解：成立． 理由如下：如图，延长到点，使，连接，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∴， 同理 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段与之间的数量关系和位置关系仍然成立． （3）解：如图，延长到点，使，连接交于点，连接、，  ∵， ∴， ∴垂直平分， ∵在线段上 ∴， 由翻折的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，，此时的值最小， ∴的值也最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形、直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$