第六章　第2课时　动能定理及其应用-2025年物理大一轮复习讲义

第六章 机械能守恒定律 第2课时　动能定理及其应用 学习目标 1.理解动能、动能定理，会用动能定理解决一些基本问题。 2.能利用动能定理求变力做的功。 3.掌握解决动能定理与图像结合的问题的方法。 考点01　动能定理的理解和基本应用 一、动能 (1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能。 (2)公式：Ek＝mv2。 (3)单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。 (4)标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关。 二、动能定理 (1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 (2)表达式：W合＝ΔEk＝mv22－mv12。 (3)物理意义：合力的功是物体动能变化的量度。 说明：(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能。 三、应用动能定理的解题流程 [典例1·对动能定理的理解和基本应用的考查](2024·榆林市·期中)如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计：(g＝10 m/s2) (1)求物块到达B点时的速度大小； (2)求物块在A点的动能； (3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)． [拓展训练]如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) [典例2·对利用动能定理分析多过程问题的考查]如图所示，光滑固定斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的圆弧，半径R＝0.6 m．一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点平滑连接．当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2.求： (1)物体运动到C点时的速度大小vC； (2)A点距离水平面的高度H； (3)物体最终停止的位置到C点的距离s. [拓展训练]如图所示，右端连有一个固定光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求： (1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑行的最大距离． [典例3·对动能定理在平抛、圆周运动中的应用的考查](2024·湖南·期中)科技助力北京冬奥：我国自主研发的“人体高速弹射装置”几秒钟就能将一名滑冰运动员从静止状态加速到指定速度，辅助滑冰运动员训练各种滑行技术．如图所示，某次训练，弹射装置在加速阶段将质量m＝60 kg的滑冰运动员加速到速度v0＝8 m/s后水平向右抛出，运动员恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入光滑圆弧轨道AB.AB圆弧轨道的半径为R＝5 m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角．MN是一段粗糙的水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接．取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运动员简化为一个质点． (1)求运动员水平抛出点距A点的竖直高度； (2)求运动员经过B点时对轨道的压力大小； (3)若运动员恰好能通过C点，求MN的长度L. [拓展训练](2024·宁波·期中)如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高．一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6. (1)求小球到达P点时的速度大小vP； (2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力； (3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小． 考点02　应用动能定理求变力的功 利用动能定理求变力做功 1．动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便． 2．当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋ W其他＝ΔEk. [典例4·对动能定理求变力的功的考查](多选)(2023·广东卷·8)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有(　　) A．重力做的功为360 J B．克服阻力做的功为440 J C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2 D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N [拓展训练]如图所示，AB为四分之一圆弧轨道，BC为水平直轨道，两轨道在B点平滑连接，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A从静止开始下滑，恰好运动到C处停止，不计空气阻力，重力加速度为g，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　　) A.μmgR B.mgR C．mgR D．(1－μ)mgR 考点03　动能定理与图像结合的问题 图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义 [典例5·对动能定理与v-t图像结合的问题的考查](2024·江苏南通市检测)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝1∶4，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v－t图像如图所示。此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB和A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB分别是(　　) A．WA∶WB＝1∶2 B．WA∶WB＝4∶1 C．FA∶FB＝1∶2 D．FA∶FB＝4∶1 [拓展训练](多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动．当速度达到vm后，立即关闭发动机滑行直至停止．v－t图像如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做功为W2.以下关系式正确的是(　　) A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3 C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3 [典例6·对动能定理与Ek-x图像结合的问题的考查](多选)如图所示为倾角为37°的固定斜面，一个质量为2 kg的物块自斜面底端沿斜面上滑，其动能和重力势能随上滑距离x的变化如图中直线Ⅰ和Ⅱ所示，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　) A．物块的初速度为10 m/s B．物块和斜面间的动摩擦因数为0.5 C．物块上升的最大高度为5 m D．物块回到斜面底端时的动能为60 J [拓展训练](2023·云南昆明市第一中学模拟)如图甲所示，两个不同材料制成的滑块A、B静置于水平桌面上，滑块A的右端与滑块B的左端接触．某时刻开始，给滑块A一个水平向右的力F，使滑块A、B开始滑动，当滑块A、B滑动1.0 m时撤去力F.整个运动过程中，滑块A、B的动能Ek随位移x的变化规律如图乙所示．不计空气阻力，求： (1)滑块A对B做的功； (2)力F的大小． [典例7·对动能定理与F-x图像结合的问题的考查](多选)在某一粗糙的水平面上，一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像．重力加速度g取10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(　　) A．物体与水平面间的动摩擦因数 B．合力对物体所做的功 C．物体做匀速运动时的速度 D．物体运动的时间 [拓展训练]如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5(g取10 m/s2)．求： (1)水平推力F在前4 m内做的功； (2)物体的最大滑行距离； (3)物体在运动过程中的最大速度． 课时作业练 基础对点练 1.(多选)(2023·重庆市模拟)游乐场有一种儿童滑轨，其竖直剖面示意图如图所示，AB部分是半径为R的四分之一圆弧轨道，BC为轨道水平部分，与半径OB垂直．一质量为m的小孩(可视为质点)从A点由静止滑下，滑到圆弧轨道末端B点时，对轨道的正压力大小为2.5mg，重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　) A．小孩到达B点的速度大小为 B．小孩到达B点的速度大小为 C．小孩从A到B克服摩擦力做的功为mgR D．小孩从A到B克服摩擦力做的功为mgR 2.如图所示，一半圆弧形细杆ABC竖直固定在水平地面上，AC为其水平直径，圆弧半径BO＝3.6 m．质量为m＝4.0 kg的小圆环(可视为质点，小环直径略大于杆的)套在细杆上，在大小为50 N、方向始终沿圆的切线方向的拉力F作用下，从A点由静止开始运动，到达B点时对细杆的压力恰好为0.已知π取3.14，重力加速度g取10 m/s2，在这一过程中摩擦力做功为(　　) A．66.6 J B．－66.6 J C．210.6 J D．－210.6 J 3.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g)(　　) A.mv02－μmg(s＋x) B.mv02－μmgx C．μmgs D．μmg(s＋x) 4.(2023·湖南怀化市模拟)如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度(已知物体与斜面及水平面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，不计B、C处能量损失)(　　) A．等于v0 B．大于v0 C．小于v0 D．取决于斜面 5.(2024·安徽淮南市一模)某物体以一定初速度做平抛运动，从t＝0时刻起，物体的动能Ek随时间t变化的情况正确的是(　　) 6.(2023·浙江义乌市测试)如图甲所示，跳跳杆玩具广受孩子们的喜爱。跳跳杆底部装有一根弹簧，某次小孩从最低点弹起，以小孩运动的最低点为坐标原点，竖直向上为x轴正方向，小孩与跳跳杆整体的动能与其坐标位置的关系如图乙所示，图像0～x3之间为曲线，x2位置为其最高点，x3～x4之间为直线，不计空气阻力的影响。则下列说法正确的是(　　) A．x1位置小孩处于超重状态 B．x2位置小孩不受弹簧弹力作用 C．x3位置小孩所受合外力为零 D．x1～x4小孩的机械能始终守恒 7.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　) A.mgR B.mgR C.mgR D．mgR 8.(多选)(2023·江西景德镇市二模)如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A点运动到C点的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为轨道ABC的中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．图乙中x＝36 m2/s2 B．小球质量为0.2 kg C．小球在A点时重力的功率为10 W D．小球在B点受到轨道的作用力为8.5 N 9.(2023·重庆卷·13)机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件(视为质点)被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求： (1)提升高度为h时，工件的速度大小； (2)在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。 10.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为θ＝30°的光滑固定斜面轨道在C点平滑连接，物体经过C点时速率不变．斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为m＝2 kg的滑块(可看成质点)从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面轨道并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点．已知光滑圆弧轨道的半径R＝5.0 m，水平轨道BC长L＝3.0 m，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数μ＝0.5，光滑斜面轨道上CD长s＝3.0 m，g取10 m/s2，求： (1)滑块第一次经过B点时对轨道的压力； (2)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； (3)滑块最后停止的位置距B点的距离． 能力提升练 11.电梯是一种以电动机为动力的垂直升降机，用于多层建筑载人或载运货物．某次电梯从地面由静止启动，加速度a与离地高度h的关系图像如图所示，则(　　) A．2h0～3h0范围内电梯向上做匀减速直线运动 B．电梯在0～h0和2h0～3h0范围内的速度变化量相等 C．电梯在3h0处的速度大小为2 D．电梯上升的最大高度可能为3h0 12.(2023·福建泉州市检测)如图为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕水平轴上的O点在竖直面内自由转动。A端小凹槽内装有一质量为m的石子，B端固定一配重。现将杆转至水平方向由静止释放，杆在配重作用下转到竖直位置时石子被水平抛出，击中前方竖直靶上的P点，P与O点恰好在同一水平线上。已知OA＝2L，OB＝L，OP＝4L，重力加速度大小为g，不计一切摩擦及空气阻力。求： (1)石子被水平抛出时的速度大小； (2)杆由水平转到竖直的过程中凹槽对石子做的功W，以及配重的质量M； (3)石子抛出前瞬间，杆对水平轴的作用力大小。 尖子选拔练 13.(2023·山东·联考)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面AB固定在水平桌面上，竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接，跨过轻质光滑的定滑轮，与乙相连的轻绳竖直，与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动，甲位于斜面顶端；释放乙，当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长lAB＝2 m，水平桌面BC段长lBC＝0.95 m，甲的质量m1＝5 kg、乙的质量m2＝1 kg，物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为μ＝0.2，半圆轨道CD光滑，物块甲从斜面滑上水平桌面时速度大小不变，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力。求： (1)物块甲到斜面底端B时重力的瞬时功率P； (2)若物块甲在半圆轨道CD上运动时不脱离轨道，半圆轨道半径R的取值范围。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 机械能守恒定律 第2课时　动能定理及其应用 学习目标 1.理解动能、动能定理，会用动能定理解决一些基本问题。 2.能利用动能定理求变力做的功。 3.掌握解决动能定理与图像结合的问题的方法。 考点01　动能定理的理解和基本应用 一、动能 (1)定义：物体由于运动而具有的能量叫作动能。 (2)公式：Ek＝mv2。 (3)单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2。 (4)标矢性：动能是标量，动能与速度方向无关。 二、动能定理 (1)内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 (2)表达式：W合＝ΔEk＝mv22－mv12。 (3)物理意义：合力的功是物体动能变化的量度。 说明：(1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面静止的物体为参考系。 (2)动能是标量，动能定理是标量式，解题时不能分解动能。 三、应用动能定理的解题流程 [典例1·对动能定理的理解和基本应用的考查](2024·榆林市·期中)如图，斜面末端B点与水平面平滑相接，现将一质量m＝2 kg、可视为质点的物块在距水平地面高h＝0.5 m处的A点以一定初速度释放(速度方向沿斜面向下)，物块运动到水平面上距B点s＝1.6 m处的C点停下，已知斜面光滑，物块与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其他阻力忽略不计：(g＝10 m/s2) (1)求物块到达B点时的速度大小； (2)求物块在A点的动能； (3)若赋予物块向左的水平初速度，使其从C点恰好到达A点，求水平初速度大小(结果可带根号)． 答案　(1)4 m/s　(2)6 J　(3) m/s 解析　(1)物块由B点到C点由动能定理可得－μmgs＝0－mvB2 解得vB＝4 m/s； (2)设斜面倾角为θ，物块由A点到B点由动能定理可得mgh＝mvB2－EkA 解得EkA＝6 J； (3)设初速度大小为v，从C点到A点由动能定理可得－μmgs－mgh＝－mv2 解得v＝ m/s. [拓展训练]如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 答案　3.5 m 解析　对物体在斜面上和水平面上分别受力分析如图所示 方法一　分过程列方程：设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段 FN1＝mgcos 37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos 37° 由动能定理得： mgsin 37°·l1－μmgcos 37°·l1＝mv2－0 设物体在水平面上滑行的距离为l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg 由动能定理得：－μmgl2＝0－mv2 联立以上各式可得l2＝3.5 m. 方法二　对全过程由动能定理列方程： mgl1sin 37°－μmgcos 37°·l1－μmgl2＝0 解得：l2＝3.5 m. [典例2·对利用动能定理分析多过程问题的考查]如图所示，光滑固定斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的圆弧，半径R＝0.6 m．一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点平滑连接．当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2.求： (1)物体运动到C点时的速度大小vC； (2)A点距离水平面的高度H； (3)物体最终停止的位置到C点的距离s. 答案　(1)4 m/s　(2)1.02 m　(3)0.4 m 解析　(1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得： －mg(h＋R)＝0－mvC2 代入数据解得：vC＝4 m/s (2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得： mgH－μmglBC＝mvC2－0 代入数据解得：H＝1.02 m (3)从物体开始下滑到最终停止，根据动能定理得： mgH－μmgs1＝0 代入数据，解得s1＝5.1 m 由于s1＝4lBC＋0.7 m 所以物体最终停止的位置到C点的距离为：s＝0.4 m. [拓展训练]如图所示，右端连有一个固定光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求： (1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑行的最大距离． 答案　(1)0.15 m　(2)0.75 m 解析　(1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零．从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得：FL－FfL－mgh＝0 其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N 所以h＝＝ m＝0.15 m (2)设木块离开B点后，在水平桌面上滑行的最大距离为x，由动能定理得：mgh－Ffx＝0 所以x＝＝ m＝0.75 m. [典例3·对动能定理在平抛、圆周运动中的应用的考查](2024·湖南·期中)科技助力北京冬奥：我国自主研发的“人体高速弹射装置”几秒钟就能将一名滑冰运动员从静止状态加速到指定速度，辅助滑冰运动员训练各种滑行技术．如图所示，某次训练，弹射装置在加速阶段将质量m＝60 kg的滑冰运动员加速到速度v0＝8 m/s后水平向右抛出，运动员恰好从A点沿着圆弧的切线方向进入光滑圆弧轨道AB.AB圆弧轨道的半径为R＝5 m，B点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角．MN是一段粗糙的水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接．取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运动员简化为一个质点． (1)求运动员水平抛出点距A点的竖直高度； (2)求运动员经过B点时对轨道的压力大小； (3)若运动员恰好能通过C点，求MN的长度L. 答案　(1)1.8 m　(2)2 040 N　(3)12.5 m 解析　(1)根据运动的合成与分解可得运动员经过A点时的速度大小为 vA＝＝10 m/s① 设运动员水平抛出点距A点的竖直高度为h，对运动员从抛出点到A点的过程，由动能定理有 mgh＝mvA2－mv02② 联立①②解得h＝1.8 m③ (2)设运动员经过B点时的速度大小为vB，对运动员从A点到B点的过程，根据动能定理有 mg(R－Rcos 37°)＝mvB2－mvA2④ 设运动员经过B点时所受轨道支持力大小为FN，根据牛顿第二定律及向心力公式有 FN－mg＝⑤ 联立①④⑤解得FN＝2 040 N⑥ 根据牛顿第三定律可知，运动员经过B点时对轨道的压力大小为2 040 N； (3)设运动员刚好通过C点时的速度大小为vC，根据牛顿第二定律及向心力公式有 mg＝⑦ 对运动员从B点到C点的过程，根据动能定理有 －μmgL－2mgr＝mvC2－mvB2⑧ 联立④⑦⑧解得L＝12.5 m．⑨ [拓展训练](2024·宁波·期中)如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高．一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6. (1)求小球到达P点时的速度大小vP； (2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力； (3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小． 答案　(1)5 m/s　(2) m/s　54.4 N，方向竖直向下　(3)外壁　6.4 N 解析　(1)平抛运动的水平速度不变，始终为v0，小球恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，说明速度与水平方向夹角为53°，将P点速度分解，如图所示， vP＝＝ m/s＝5 m/s； (2)从抛出到圆弧轨道最低点，根据动能定理有 mg·2R＝mv12－mv02 解得v1＝ m/s 在最低点根据牛顿第二定律和向心力公式有FN－mg＝m 解得FN＝54.4 N 根据牛顿第三定律有F压＝FN＝54.4 N，方向竖直向下； (3)平台与轨道的最高点等高，根据动能定理可知vQ＝v0＝3 m/s 设小球受到向下的弹力F1，根据牛顿第二定律和向心力公式有 F1＋mg＝m 解得F1＝6.4 N>0 根据牛顿第三定律知，小球对外壁有弹力，大小为6.4 N. 考点02　应用动能定理求变力的功 利用动能定理求变力做功 1．动能定理不仅适用于求恒力做的功，也适用于求变力做的功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便． 2．当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋ W其他＝ΔEk. [典例4·对动能定理求变力的功的考查](多选)(2023·广东卷·8)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有(　　) A．重力做的功为360 J B．克服阻力做的功为440 J C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2 D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N 答案　BCD 解析　重力做的功为WG＝mgh＝800 J，A错误；下滑过程根据动能定理可得WG－W克f＝ mvQ2，代入数据解得克服阻力做的功为W克f＝440 J，B正确；经过Q点时向心加速度大小为a＝＝9 m/s2，C正确；经过Q点时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得货物受到的支持力大小为F＝380 N，根据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为380 N，D正确。 [拓展训练]如图所示，AB为四分之一圆弧轨道，BC为水平直轨道，两轨道在B点平滑连接，圆弧的半径为R，BC的长度也是R.一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A从静止开始下滑，恰好运动到C处停止，不计空气阻力，重力加速度为g，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为(　　) A.μmgR B.mgR C．mgR D．(1－μ)mgR 答案　D 解析　设物体在AB段克服摩擦力所做的功为WAB，对物体从A到C的全过程，由动能定理得mgR－WAB－μmgR＝0，故WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR.故选D. 考点03　动能定理与图像结合的问题 图像与横轴所围“面积”或图像斜率的含义 [典例5·对动能定理与v-t图像结合的问题的考查](2024·江苏南通市检测)A、B两物体的质量之比mA∶mB＝1∶4，它们以相同的初速度v0在水平面上做匀减速直线运动，直到停止，其v－t图像如图所示。此过程中，A、B两物体受到的摩擦力做的功之比WA∶WB和A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB分别是(　　) A．WA∶WB＝1∶2 B．WA∶WB＝4∶1 C．FA∶FB＝1∶2 D．FA∶FB＝4∶1 答案　C 解析　根据动能定理－W＝0－mv02，可知A、B两物体受到的摩擦力做的功之比为WA∶WB＝1∶4，故A、B错误；根据v－t图像可知两物体的加速度之比为aA∶aB＝2∶1，根据牛顿第二定律F＝ma，可得A、B两物体受到的摩擦力之比FA∶FB＝1∶2，故C正确，D错误。 [拓展训练](多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动．当速度达到vm后，立即关闭发动机滑行直至停止．v－t图像如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做功为W2.以下关系式正确的是(　　) A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3 C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3 答案　BC 解析　对全过程由动能定理可知W1－W2＝0，故W1∶W2＝1∶1，故C正确，D错误；W1＝F1s，W2＝F2s′，由题图可知s∶s′＝3∶4，所以F1∶F2＝4∶3，故A错误，B正确． [典例6·对动能定理与Ek-x图像结合的问题的考查](多选)如图所示为倾角为37°的固定斜面，一个质量为2 kg的物块自斜面底端沿斜面上滑，其动能和重力势能随上滑距离x的变化如图中直线Ⅰ和Ⅱ所示，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　) A．物块的初速度为10 m/s B．物块和斜面间的动摩擦因数为0.5 C．物块上升的最大高度为5 m D．物块回到斜面底端时的动能为60 J 答案　AB 解析　根据Ek＝mv02，解得v0＝10 m/s，A正确；根据动能定理可得－(mgsin 37°＋μmgcos 37°)x＝F合x＝0－100 J，其中x＝5 m，联立解得μ＝0.5，B正确；物块上升的最大高度h＝5×sin 37° m＝3 m，C错误；物块下滑时，根据动能定理(mgsin 37°－μmgcos 37°)x＝Ek′，解得Ek′＝20 J，D错误。 [拓展训练](2023·云南昆明市第一中学模拟)如图甲所示，两个不同材料制成的滑块A、B静置于水平桌面上，滑块A的右端与滑块B的左端接触．某时刻开始，给滑块A一个水平向右的力F，使滑块A、B开始滑动，当滑块A、B滑动1.0 m时撤去力F.整个运动过程中，滑块A、B的动能Ek随位移x的变化规律如图乙所示．不计空气阻力，求： (1)滑块A对B做的功； (2)力F的大小． 答案　(1)12 J　(2)39 N 解析　(1)B在撤去F后继续滑行xB＝1.0 m，撤去F时B的动能EkB＝6 J， 由动能定理有－FfBxB＝0－EkB 在撤去F前，对B由动能定律得WAB－FfBx＝EkB 联立并代入数据解得WAB＝12 J (2)撤去力F后，滑块A继续滑行的距离为xA＝0.5 m，撤去F时A的动能EkA＝9 J，由动能定理有－FfAxA＝0－EkA 力F作用的过程中，分析滑块A、B整体，由动能定理有(F－FfA－FfB)x＝EkA＋EkB 代入数据解得F＝39 N. [典例7·对动能定理与F-x图像结合的问题的考查](多选)在某一粗糙的水平面上，一质量为2 kg的物体在水平恒定拉力的作用下做匀速直线运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出了拉力随位移变化的关系图像．重力加速度g取10 m/s2.根据以上信息能精确得出或估算得出的物理量有(　　) A．物体与水平面间的动摩擦因数 B．合力对物体所做的功 C．物体做匀速运动时的速度 D．物体运动的时间 答案　ABC 解析　物体做匀速直线运动时，受力平衡，拉力F0与滑动摩擦力Ff大小相等，物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝＝0.35，A正确；减速过程由动能定理得WF＋Wf＝0－mv2，根据F－x图像中图线与x轴围成的面积可以估算力F对物体做的功WF，而Wf＝－μmgx，由此可求得合力对物体所做的功及物体做匀速运动时的速度v，B、C正确；因为物体做变加速运动，所以运动时间无法求出，D错误． [拓展训练]如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5(g取10 m/s2)．求： (1)水平推力F在前4 m内做的功； (2)物体的最大滑行距离； (3)物体在运动过程中的最大速度． 答案　(1)200 J　(2)10 m　(3)8 m/s 解析　(1)由F－x图像可知推力对物体做的总功等于F－x图像与坐标轴围成的面积，则水平推力F在前4 m内做的功为WF＝×4×100 J＝200 J (2)由动能定理得WF－μmgxmax＝0，代入数据得xmax＝10 m (3)由题图图像可知，推力为F＝F0＋kx＝100 N＋x＝100 N－25x，物体受到的滑动摩擦力Ff＝μmg＝0.5×4×10 N＝20 N，当物体所受合力为零时，物体的速度最大，即F＝Ff时，结合图线可知100 N－25x＝20 N，解得x＝3.2 m，F－x图线与坐标轴围成图形的面积等于推力对物体做功，设物体的最大速度为vm，由图像可知，物体速度最大时，推力对物体做功W′＝×(100＋20)×3.2 J＝192 J，从物体开始运动到速度最大过程，对物体，由动能定理得W′－μmgx＝mvm2－0，代入数据解得vm＝8 m/s. 课时作业练 基础对点练 1.(多选)(2023·重庆市模拟)游乐场有一种儿童滑轨，其竖直剖面示意图如图所示，AB部分是半径为R的四分之一圆弧轨道，BC为轨道水平部分，与半径OB垂直．一质量为m的小孩(可视为质点)从A点由静止滑下，滑到圆弧轨道末端B点时，对轨道的正压力大小为2.5mg，重力加速度大小为g.下列说法正确的是(　　) A．小孩到达B点的速度大小为 B．小孩到达B点的速度大小为 C．小孩从A到B克服摩擦力做的功为mgR D．小孩从A到B克服摩擦力做的功为mgR 答案　BC 解析　根据牛顿第三定律可知，轨道对小孩的支持力大小也等于2.5mg，根据牛顿第二定律有FN－mg＝，可得vB＝，故A错误，B正确；从A到B由动能定理有mgR－W克f＝mvB2－0，可得克服摩擦力做的功为W克f＝mgR，故C正确，D错误． 2.如图所示，一半圆弧形细杆ABC竖直固定在水平地面上，AC为其水平直径，圆弧半径BO＝3.6 m．质量为m＝4.0 kg的小圆环(可视为质点，小环直径略大于杆的)套在细杆上，在大小为50 N、方向始终沿圆的切线方向的拉力F作用下，从A点由静止开始运动，到达B点时对细杆的压力恰好为0.已知π取3.14，重力加速度g取10 m/s2，在这一过程中摩擦力做功为(　　) A．66.6 J B．－66.6 J C．210.6 J D．－210.6 J 答案　B 解析　小圆环到达B点时对细杆的压力恰好为0，则mg＝m，拉力F沿圆的切线方向，圆环由A到B的过程根据动能定理有F·－mgr＋Wf＝mv2，代入数据得摩擦力做功为Wf＝－66.6 J，故选B. 3.质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(重力加速度大小为g)(　　) A.mv02－μmg(s＋x) B.mv02－μmgx C．μmgs D．μmg(s＋x) 答案　A 解析　根据功的定义式可知物体克服摩擦力做功为Wf＝μmg(s＋x)，由动能定理可得－W弹－Wf＝0－mv02，则W弹＝mv02－μmg(s＋x)，故选项A正确。 4.(2023·湖南怀化市模拟)如图所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度(已知物体与斜面及水平面之间的动摩擦因数处处相同且不为零，不计B、C处能量损失)(　　) A．等于v0 B．大于v0 C．小于v0 D．取决于斜面 答案　A 解析　物体从D点滑动到顶点A过程中，由动能定理可得－mg·xAO－μmg·xDB－μmgcos α·xAB＝0－mv02，α为斜面倾角，由几何关系有xABcos α＝xOB，因而上式可以简化为－mg·xAO－μmg·xOD＝0－mv02，从上式可以看出，物体的初速度与路径无关．故选A. 5.(2024·安徽淮南市一模)某物体以一定初速度做平抛运动，从t＝0时刻起，物体的动能Ek随时间t变化的情况正确的是(　　) 答案　D 解析　物体在重力作用下做平抛运动，加速度为g，竖直位移y＝gt2，由动能定理得Ek＝E0＋mg2t2，故选D。 6.(2023·浙江义乌市测试)如图甲所示，跳跳杆玩具广受孩子们的喜爱。跳跳杆底部装有一根弹簧，某次小孩从最低点弹起，以小孩运动的最低点为坐标原点，竖直向上为x轴正方向，小孩与跳跳杆整体的动能与其坐标位置的关系如图乙所示，图像0～x3之间为曲线，x2位置为其最高点，x3～x4之间为直线，不计空气阻力的影响。则下列说法正确的是(　　) A．x1位置小孩处于超重状态 B．x2位置小孩不受弹簧弹力作用 C．x3位置小孩所受合外力为零 D．x1～x4小孩的机械能始终守恒 答案　A 解析　x1位置小孩向上加速运动，处于超重状态，故A正确；x2位置小孩向上运动，动能最大，速度最大，小孩所受重力与弹簧弹力二力平衡，小孩受弹簧弹力作用，故B错误；x3～x4之间图像为直线，由动能定理可得Ek－Ek0＝－mgh，解得Ek＝Ek0－mgh，x3位置小孩仅受重力作用，故C错误；x1～x3小孩与弹簧组成的系统机械能守恒，x3～x4小孩的机械能守恒，故D错误。 7.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某一时刻小球通过轨迹的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，已知重力加速度为g，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是(　　) A.mgR B.mgR C.mgR D．mgR 答案　C 解析　小球通过最低点时，设绳的张力为FT，则FT－mg＝m，即6mg＝m① 小球恰好通过最高点，绳子拉力为零，则有mg＝m② 小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得－mg·2R－W克f＝mv22－mv12③ 由①②③式解得W克f＝mgR，选C. 8.(多选)(2023·江西景德镇市二模)如图甲，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图乙是小球在半圆形轨道上从A点运动到C点的过程中，其速度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力为2.5 N，空气阻力不计，B点为轨道ABC的中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．图乙中x＝36 m2/s2 B．小球质量为0.2 kg C．小球在A点时重力的功率为10 W D．小球在B点受到轨道的作用力为8.5 N 答案　BD 解析　小球在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，有mv02＝mv2＋mgh，解得vA2＝vh2＋2gh，即x＝(9＋2×10×0.8) m2/s2＝25 m2/s2，故A错误；依题意，小球在C点有F＋mg＝，又vC2＝9 m2/s2，2R＝0.8 m，解得m＝0.2 kg，故B正确；小球在A点时重力方向竖直向下，速度水平向右，二者夹角为90°，根据P＝mgvcos θ易知重力的功率为零，故C错误；由机械能守恒定律可得mv02＝mvB2＋mgR，小球在B点由牛顿第二定律有FB＝，联立可得FB＝8.5 N，故D正确。 9.(2023·重庆卷·13)机械臂广泛应用于机械装配。若某质量为m的工件(视为质点)被机械臂抓取后，在竖直平面内由静止开始斜向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，运动方向与竖直方向夹角为θ，提升高度为h，如图所示。求： (1)提升高度为h时，工件的速度大小； (2)在此过程中，工件运动的时间及合力对工件做的功。 答案　(1)　(2)　 解析　(1)根据匀变速直线运动位移与速度关系有v02＝2a，解得v0＝ (2)由v0＝at，解得t＝ 根据动能定理有W合＝mv02，解得W合＝。 10.如图所示，水平轨道BC的左端与固定的光滑竖直四分之一圆弧轨道相切于B点，右端与一倾角为θ＝30°的光滑固定斜面轨道在C点平滑连接，物体经过C点时速率不变．斜面顶端固定一轻质弹簧，一质量为m＝2 kg的滑块(可看成质点)从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面轨道并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至D点．已知光滑圆弧轨道的半径R＝5.0 m，水平轨道BC长L＝3.0 m，滑块与水平轨道之间的动摩擦因数μ＝0.5，光滑斜面轨道上CD长s＝3.0 m，g取10 m/s2，求： (1)滑块第一次经过B点时对轨道的压力； (2)整个过程中弹簧具有的最大弹性势能； (3)滑块最后停止的位置距B点的距离． 答案　(1)60 N，方向竖直向下　(2)40 J　(3)2 m 解析　(1)滑块从A点到B点，由动能定理可得 mgR＝mvB2－0，解得vB＝＝10 m/s. 滑块在B点，由牛顿第二定律得 FN－mg＝m，解得FN＝60 N．由牛顿第三定律可得滑块第一次经过B点时对轨道的压力大小FN′＝FN＝60 N，方向竖直向下． (2)滑块从A点到D点，由动能定理得mg(R－s·sin 30°)＋W弹－μmgL＝0，解得W弹＝－40 J，即弹簧具有的最大弹性势能为Ep＝－W弹＝40 J. (3)滑块最终停止在水平轨道BC上，设滑块在BC上通过的总路程为s总，滑块从开始运动到最终停下的全过程，由动能定理可得mgR－μmgs总＝0，解得s总＝10 m，即滑块最后停止的位置距B点的距离为2 m. 能力提升练 11.电梯是一种以电动机为动力的垂直升降机，用于多层建筑载人或载运货物．某次电梯从地面由静止启动，加速度a与离地高度h的关系图像如图所示，则(　　) A．2h0～3h0范围内电梯向上做匀减速直线运动 B．电梯在0～h0和2h0～3h0范围内的速度变化量相等 C．电梯在3h0处的速度大小为2 D．电梯上升的最大高度可能为3h0 答案　C 解析　由题图可知从0到2h0，电梯先做加速度增大的加速运动再做匀加速运动，从2h0到3h0做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，电梯向上的速度不为零，仍会向上运动，则电梯上升的最大高度一定大于3h0，故A、D错误；根据动能定理可得mv2＝Fh＝mah＝mS面积，则v＝，则电梯在h0处的速度大小为，在2h0处的速度大小为，在3h0处的速度大小为2，所以电梯在0～h0和2h0～3h0范围内的速度变化量不相等，故B错误，C正确． 12.(2023·福建泉州市检测)如图为某科技兴趣小组制作的重力投石机示意图。支架固定在水平地面上，轻杆AB可绕水平轴上的O点在竖直面内自由转动。A端小凹槽内装有一质量为m的石子，B端固定一配重。现将杆转至水平方向由静止释放，杆在配重作用下转到竖直位置时石子被水平抛出，击中前方竖直靶上的P点，P与O点恰好在同一水平线上。已知OA＝2L，OB＝L，OP＝4L，重力加速度大小为g，不计一切摩擦及空气阻力。求： (1)石子被水平抛出时的速度大小； (2)杆由水平转到竖直的过程中凹槽对石子做的功W，以及配重的质量M； (3)石子抛出前瞬间，杆对水平轴的作用力大小。 答案　(1)2　(2)4mgL　8m　(3)15mg 解析　(1)设石子抛出时速度大小为v1，从水平抛出经时间t击中靶，有2L＝gt2，4L＝v1t 解得v1＝2 (2)对石子，根据动能定理，有 W－2mgL＝mv12 解得W＝4mgL 杆由水平转到竖直时，设配重的速度大小为v2，对石子和配重，根据机械能守恒定律，有 MgL－2mgL＝mv12＋Mv22 v1＝2v2 解得M＝8m (3)石子抛出前瞬间，设杆对石子的作用力为F1，方向向下；杆对配重的作用力为F2，方向向上，根据牛顿第二定律，有F1＋mg＝m F2－Mg＝M 石子抛出前瞬间，杆对水平轴的作用力大小为 F＝F2－F1＝15mg。 尖子选拔练 13.(2023·山东·联考)如图所示，倾角为θ＝37°的斜面AB固定在水平桌面上，竖直面内的半圆轨道CD与桌面相切于C点。小物块甲、乙用轻质细绳连接，跨过轻质光滑的定滑轮，与乙相连的轻绳竖直，与甲相连的轻绳平行于斜面。开始将乙按在桌面上静止不动，甲位于斜面顶端；释放乙，当甲滑至斜面AB中点时剪断细绳。已知斜面AB长lAB＝2 m，水平桌面BC段长lBC＝0.95 m，甲的质量m1＝5 kg、乙的质量m2＝1 kg，物块甲与斜面AB和水平桌面BC间的动摩擦因数均为μ＝0.2，半圆轨道CD光滑，物块甲从斜面滑上水平桌面时速度大小不变，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力。求： (1)物块甲到斜面底端B时重力的瞬时功率P； (2)若物块甲在半圆轨道CD上运动时不脱离轨道，半圆轨道半径R的取值范围。 答案　(1)48 W　(2)0.18 m≤R≤0.45 m 解析　(1)设轻绳剪断时甲速度的大小为v1，对甲、乙组成的系统，甲下滑到斜面中点过程， 根据能量守恒定律 m1gsin θ－m2g＝(m1＋m2)v12＋μm1gcos θ 解得v1＝2 m/s 设甲到达斜面底端时的速度大小为v2，对甲下滑到斜面底端过程，根据动能定理 m1gsin θ－μm1gcos θ＝m1v22－m1v12 解得v2＝ m/s 重力的瞬时功率P＝m1gv2sin θ 解得P＝48 W (2)设甲到达C时的速度大小为v3，甲从B到C过程，根据动能定理 －μm1glBC＝m1v32－m1v22 解得v3＝3 m/s 当甲到达最高点D恰好不脱离轨道时，轨道半径最小，设最小值为R1，甲由C到D过程，由动能定理得－m1g×2R1＝m1v42－m1v32 甲到达D时，根据牛顿第二定律 m1g＝m1 解得R1＝0.18 m 当甲恰好到达与轨道圆心等高的位置时，速度为0，轨道半径最大，设最大值为R2，甲由C到与圆心等高位置，由动能定理得－m1gR2＝0－m1v32 解得R2＝0.45 m 综上，半圆轨道半径R的取值范围为0.18 m≤R≤0.45 m。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$