精品解析：四川省内江市第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

内江一中2023年春期高一数学半期考试题 （总分150分 考试时间：120分钟） 一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（ ） A. 45 B. C. D. 90 2. 若， 则的终边在（    ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限或在轴的非负半轴上 D. 第二、四象限或在轴的非负半轴上 3. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 4. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 5. 已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，B，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B. 所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 点是图像的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图像可以由的图像向右平移个单位长度得到 11. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 12. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. ________． 14. 已知，则__________. 15. 若，则__________． 16. 在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______. 四．解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17. （1）化简：． （2）求证：． 18. 如图所示，在直角坐标系内，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点. （1）用含的式子表示点的坐标； （2）若，求的值. 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 20. 如图，一艘海船从出发，沿北偏东75°的方向航行60nmile后到达海岛，然后从出发，沿北偏东15°的方向航行nmile后到达海岛，下次航行直接从出发到达． （1）求需要航行多少距离？ （2）此船应该沿怎样的方向航行．（角度精确到0.1） 参考答案：，，． 21. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求的取值范围． 22. 锐角中，角，，所对边的长分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中2023年春期高一数学半期考试题 （总分150分 考试时间：120分钟） 一．单项选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（ ） A. 45 B. C. D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】由弧长公式求解即可. 【详解】因为圆心角的弧度数为，所以扇形的弧长是. 故选：C 2. 若， 则的终边在（    ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、三象限或在轴的非负半轴上 D. 第二、四象限或在轴的非负半轴上 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出的终边在第四象限，再求出的范围得出结果. 【详解】因为，所以的终边在第四象限，即， 则，当时，的终边在第二象限；当时，的终边在第四象限； 故选：B 3. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 4. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：（其中）；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦-秦九韶公式．现在有周长为的满足，则用以上给出的公式求得的面积为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． 【详解】∵，∴， ∵周长为，即， ∴，∴， ∴的面积． 故选：C． 5. 已知函数，的最小正周期为，函数图象关于点对称，且满足函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的最小正周期为可求出，从而可得，根据函数图象关于点对称可得出，根据，可得或，根据单调性，可得的值. 【详解】因为函数的最小正周期为，，所以，解得， 则，因为函数图象关于点对称， 所以，解得， 因为，所以或. 令，解得：， 所以的单调递增区间为， 又函数在区间上单调递增， 所以，， 解得：， 因为，所以，故， 故选：D 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化切为弦利用同角三角函数的平方关系化简得，然后根据角的范围判断，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，又，，则， 所以. 故选：A 7. 在中，角，B，所对的边分别为，，，已知，，为使此三角形有两个，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】为使此三角形有两个，只需满足bsinA＜a＜b，即可求a范围． 【详解】为使此三角形有两个，即bsinA＜a＜b， ∴2×＜a＜2，解得：3＜a＜2， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形解的情况，考查特殊角的三角函数值，属于基础题． 8. 已知锐角的内角的对边分别为，若，，则面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合式子的特点，联系余弦定理，以及，表示出三角形ABC的面积，，结合三角函数的图像求出范围. 【详解】由于 ，， ， 且 ，所以 ，那么外接圆半径为 ， 由于 ， 所以 ，， 故 . 故选：A. 二．多项选择题（共4小题，每题5分，共20分） 9. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B. 所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案. 【详解】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，A正确. 将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，B不正确. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，C正确. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数， D不正确. 故选：AC 10. 已知函数的部分图像如图所示，则下列说法错误的是（ ） A. 在区间上是增函数 B. 点是图像的一个对称中心 C. 若，则的值域为 D. 的图像可以由的图像向右平移个单位长度得到 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合图像即可得到函数的解析式，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可得到结果. 【详解】由题图及五点作图法得，，，则，， 故. 由，得，所以函数在区间上是增函数. 时，函数在区间上是增函数，故函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，故A错误； 由，得，函数图像的对称中心是，而时，，故B错误； 若，则，，则的值域为，故C错误； ，将函数的图像向右平移个单位长度得到的图像，故D正确. 故选：ABC. 11. 在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 点在点的北偏西方向上 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正余弦定理解三角形逐一求解即可； 对于，先求出，，，再根据，，即可判断； 对于，根据三角形的面积公式求解即可，即可判断； 对于，在中，由正弦定理，即可判断； 对于，过点作于点，易知，即可判断． 【详解】对于，因为，点位于点的南偏西的方向上， 所以，，， 又，，，， 在，中，，，所以，故A正确； 对于，的面积为，故B错误； 对于，在中，由正弦定理，得，解得，故C正确； 对于，过点作于点，易知，所以，故D错误， 故选：． 12. 三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若面积为，则周长的最小值为12 C. 当，时， D. 若，，则面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可. 【详解】因为， 由题意可得， 整理得， 由正弦定理边角互化得， 又由余弦定理得，所以，A正确； 当时，，所以，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以，B正确； 由当，时，，解得，C错误； 由，得，由正弦定理得解得， 又因为， 所以，D正确； 故选：ABD. 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13. ________． 【答案】 【解析】 【分析】由两角和的正切公式求解即可. 【详解】解：. 故答案为： 14. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以 故答案为： 15. 若，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据诱导公式计算． 【详解】， 故答案为：0. 16. 在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由角平分线性质及正弦边角关系得、，应用余弦定理求得，在△中应用余弦定理求，正弦边角关系确定最终的长度. 【详解】由题设，则， 又，则，故，又，即， 在△中，由余弦定理知：，即，得，故， 在△中，由余弦定理知：， 故，故或， 又，即，故. 故答案为： 四．解答题（共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分） 17. （1）化简：． （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）利用同角三角关系以及二倍角即可证明. 【详解】（1）； （2）略 18. 如图所示，在直角坐标系内，锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，并与单位圆交于点. （1）用含的式子表示点的坐标； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义，根据题中条件，即可用含的式子表示点的坐标； （2）法一：根据题中条件，由同角三角函数的平方关系和商数关系，联立方程组求解即可； 法二：根据题中条件，由同角三角函数基本关系可得，①，②，联立方程组求解即可． 【小问1详解】 依题意得：， 由三角函数定义知，， ， 所以点的坐标为 【小问2详解】 法一：因为，所以① 又因为②， 联立①②解得或， 所以或. 法二：因为，所以① 两边平方得，所以， 又因为，所以② 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时或． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为，最小值为-1 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为，利用周期公式即可求得函数的最小正周期；（2）可分析得到函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，从而可求得在区间上的最大值和最小值. 试题解析：(1)f(x)＝sin 2x·cos＋cos 2x·sin＋sin 2x·cos－cos 2x·sin＋cos 2x ＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数． 又， 故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－1. 20. 如图，一艘海船从出发，沿北偏东75°的方向航行60nmile后到达海岛，然后从出发，沿北偏东15°的方向航行nmile后到达海岛，下次航行直接从出发到达． （1）求需要航行多少距离？ （2）此船应该沿怎样的方向航行．（角度精确到0.1） 参考答案：，，． 【答案】（1）；（2）此船需要航行nmile，应该沿北偏东53.8°的方向航行. 【解析】 【分析】（1）先求得，利用余弦定理求得结果；（2）利用正弦定理求得角，从而求得航线方向. 【详解】解：（1）在中，， 根据余弦定理， ， （2）根据正弦定理，， ∴， ∴， ∴． 答：此船需要航行，应该沿北偏东53.8°的方向航行． 21. 已知函数． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，当函数在上有一个零点时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦函数的性质求出结果. 【小问1详解】 , 令， 解得：， 所以的单调递减区间为 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位后得到， 则， 因为，所以， 所以要使函数在上有一个零点，则与只有一个交点， 结合正弦函数的图象： 可得当或，即或， 即或，或时，与只有一个交点， 所以实数的取值范围为 22. 锐角中，角，，所对边的长分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数以及商数关系化简可得结果； （2）利用正弦定理化简可得，再根据正弦定理，结合锐角三角形的性质与角度范围，以及二倍角公式化简求值即可. 【小问1详解】 由， 可得：， 可得：， 可得：， 即，因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为， 所以， 则，因为，则， 所以， 由正弦定理可得：， 则，， 所以， 由于， 所以， 因为， 为锐角三角形，所以 即， 因为， 因为，所以， 所以，即， 则， 所以， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $