精品解析：安徽省合肥一中肥东分校2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试题

合肥一中肥东分校2022级高二下学期第二阶段检测数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知，则（ ） A. 0.75 B. 0.6 C. 0.48 D. 0.2 2. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 4. 函数单调递增区间为（ ） A B. C. D. 5. 有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法     A. 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 6. 设的概率分布为（，1，2，3，4，5），则（ ） A. 10 B. 30 C. 15 D. 5 7. 如图是一边长为3（单位：dm）的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为x（单位：dm）的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为（ ） A B. C. D. 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（ ） X 0 1 P m n A. B. C. D. 11. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 13. 随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则______． 14. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求a，b的值; （2）设，求最小值． 16. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 18. 为了解今年某校高三毕业班想参军学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2：3，其中第2小组的频数为24. （1）求该校高三毕业班想参军的学生人数； （2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望. 19. 已知，，若函数有两个零点m，n，且. （1）a的取值范围； （2）证明：当时，； （3）证明：（注：是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 合肥一中肥东分校2022级高二下学期第二阶段检测数学试题 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知，则（ ） A. 0.75 B. 0.6 C. 0.48 D. 0.2 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率的公式即可求出答案. 【详解】由条件概率的公式，得，解得． 故选：A． 2. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可求其倾斜角. 【详解】因为，所以，所以， 所以曲线在处的切线的斜率为，所以其倾斜角为. 故选：B. 3. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D． 【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 4. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 所以由可得， 所以函数的单调递增区间为， 故选：A 5. 有5位学生和2位老师并坐一排合影，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，则有多少种不同坐法     A. 种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析： 先排两位老师的方法，，再排5位学生的方法：，共有种方法． 考点：排列与排列数 6. 设的概率分布为（，1，2，3，4，5），则（ ） A. 10 B. 30 C. 15 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质计算可得； 【详解】解：由（，1，2，3，4，5）可知，所以，所以． 故选：A 7. 如图是一边长为3（单位：dm）的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为x（单位：dm）的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用表示出该无盖方盒的底面边长，表示出其体积，然后由导数求出其最大值，得出答案 【详解】设该无盖方盒的底面边长为，则，即，所以 则该方盒容积的 则当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值 故选: B 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，所以构造函数， 因为，由有：， 由有：，所以在上单调递减， 因为，，, 因为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则计算即可. 【详解】，， ，. 故选：BC 10. 已知随机变量X的分布列如下表所示．若，则（ ） X 0 1 P m n A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用概率性质即可列方程组求得m、n，则可利用定义求得期望 【详解】依题意得，解得，，， 故选：AC． 11. 已知，展开式中的所有项的二项式系数和为，下列说法正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，可判断A，当时，可判断B，利用展开式的通项求出，可判断C，当时，可判断D． 【详解】因为展开式中的所有项的二项式系数和为，所以，解得，故A错误； 则，令，可得，故B正确； 因为展开式的通项为，， 所以，所以，故C正确； 由展开式的通项为，， 所以，， 所以， 令，可得， 所以，故D正确 故选：BCD． 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】20 【解析】 【分析】写出展开式通项公式，求得所在项数后可得． 【详解】的展开式中第项为， 令得：的系数为. 故答案为：20． 【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 13. 随着社会经济的不断发展，电子商务平台使人们购物更加方便快捷， 假设某电商平台的市场占有率和产品优质率的信息如表： 电商平台 甲 乙 其他市场 占有率 50% 40% 10% 优质产品率 90% 90% 80% 用，，分别表示某网民使用甲、乙、其他电商平台购物，B表示买到优质产品，若该网民在市场中随机选择一个电商平台购物，则______． 【答案】0.89 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得． 【详解】依题意，，，，，，， 所以. 故答案为：0.89 14. 设实数，若对不等式恒成立，则m的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可. 【详解】由， 构造函数， 在为增函数，则 即对不等式恒成立，则， 构造函数 令，得；令，得； 在上单调递增，在上单调递减， ，即. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求a，b的值; （2）设，求最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解， （2）求导得单调性，即可求解最值. 小问1详解】 ，， 由已知，得 ，解得， ∴函数的解析式为． 【小问2详解】 ，则， 令，则， 当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增， ∴． 16. 在10件产品中，有8件合格品，2件次品，从这10件产品中任意抽取2件，试求： （1）取到的次品数的分布列； （2）至少取到1件次品的概率. 【答案】（1）分布列见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）记取到的次品数为，则的可能值为0，1，2，分别计算概率，可得的分布列； （2）由（1）根据互斥事件的概率公式可得； 【详解】解：（1）从这10件产品中任意抽取2件，共种情况；记取到的次品数为， 取到的次品数值可能为0，1，2， 其中；；； 取到的次品数的分布列为： 0 1 2 （2）由（1）得：至少取到1件次品的概率． 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）递减区间为，递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，判断导函数大于0或小于0的x取值集合即可作答. （2）利用（1）的结论，借助单调性即可求解的最大值和最小值. 【小问1详解】 函数定义域为R，， 当或时，，当时，，即在，上递增，在上递减， 所以的递减区间为，递增区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减, 因此，在区间上的最大值为，而，，即有， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18. 为了解今年某校高三毕业班想参军的学生体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图）.已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2：3，其中第2小组的频数为24. （1）求该校高三毕业班想参军的学生人数； （2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省高三毕业班想参军的同学中（人数很多）任选三人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）96 （2）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）设想参军的人数为，前三小组的频率分别为，，，由频率分布直方图的性质求出第2小组的频数为24，频率为0.25，由此能求出该校报考飞行员的总人数； （2）体重超过60公斤的学生的频率为，的可能取值为0,1,2,3，且，由此能求出的分布列和数学期望． 【小问1详解】 设想参军的人数为，前三小组的频率分别为，，， 则由条件可得：， 解得，，. 又因为，故. 【小问2详解】 由（1）可得，一个想参军的学生体重超过60公斤的概率为 . 所以服从二项分布，， ∴随机变量的分布列为： 0 1 2 3 （或）. 19. 已知，，若函数有两个零点m，n，且. （1）a的取值范围； （2）证明：当时，； （3）证明：（注：是自然对数的底数）． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由在上的极大值为正，可求的取值范围. （2）把问题转化成，再换元，设，，只需证，构造新函数，证即可. （3）由得到，由（2）可得，所以，推出，根据（1）结论，可得. 【小问1详解】 （），所以， 由. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以在不可能有两个零点. 若，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，；当时，. 所以函数在有两个零点，可转化为：， ∴．所以． 【小问2详解】 证明：要证只需证， 只需证，即证， 故令，，只需证， 构造新函数，则， 函数在上单调递增，故，不等式得证. 【小问3详解】 由函数有两个零点m，n，且知 ∴ ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ∴ 由（1）得，∴，∴ 【点睛】关键点点睛：第二问的证明，关键是利用分析法进行问题的转化.先根据函数的解析式，把转化为，在根据和对数的运算及分式的性质，转化为，随后设，，只需证即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$