精品解析：江苏省江安高级中学2023-2024学年高一下学期5月检测（期中模拟）数学试题

高一年级数学期中模拟测试四 一、单选题 1. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复数， 所以的虚部为 故选：B. 2. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据向量的运算与模长关系可得，从而确定向量与的夹角为的夹角，即可得答案. 【详解】由题意作图如下，设， 故向量， 因为，所以，则四边形ABCD为矩形，则 又因为，所以，则， 故向量与的夹角为的夹角，故为. 故选：C. 3. 正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易证平面，然后再由得出结论. 【详解】 如图，连接，因为四边形为正方形，所以， 又平面，平面， 所以，又平面，， 所以平面，又平面， 所以， 因为，分别是，的中点，所以， 所以，故异面直线与所成角为， 故选：A. 4. 如图，斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】 根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线， 与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形， 则，，则的坐标为，则，， 故原图中，的坐标为，A的坐标为， 故， 故选：C. 5. 已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的母线长即得球的半径，再利用球的体积公式计算得解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得，得． 由圆锥的高为3，得，即，解得， 因此球的半径，体积为. 故选：B 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可. 【详解】由题， 又 . 故选：D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据振幅即可得到，再由可得，再由特值可得，可得，根据题意由的图象关于直线对称可得，即可得解. 【详解】根据函数的部分图象， 可得，，∴． 再结合五点法作图，可得， 求得，故． 将的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 若满足，则的图象关于直线对称， 故，即，， 故的最小值为， 故选：D． 8. 鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可. 【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以. 故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 则该小三棱锥几何体的体积为， 所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离. 易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离. 故选：C 二、多选题 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用两角差的正弦余弦公式求出的值即可，对于B，利用两角和的余弦公式求解，对于C，求出的值代入化简即可，对于D，利用两角和的正切公式求解 【详解】对于A，因为， ， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以B错误， 对于C，因为， 所以，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 10. 已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 若，则不可能是纯虚数 C. 若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 D. 是关于x的方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的概念、复数的乘法运算、求模公式，可判断A的正误；根据纯虚数的概念，可判断B的正误；根据复数的几何意义，可判断C的正误；将代入方程，计算检验，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：设，则， 所以，， 所以，故A正确； 对于B：若为纯虚数，则， 上式无解，所以不可能是纯虚数，故B正确； 对于C：若，则，整理得， 所以在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形是以（0,0）为圆心，1为半径的圆及其内部， 所以面积为，故C错误； 对于D：， 所以是关于x的方程的一个根，故D正确. 故选：ABD 11. 在菱形中，.将菱形沿对角线折成大小为（）的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积的最大值是 B. 的取值范围是 C. 四面体的表面积的最大值是 D. 当时，球的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出当时，四面体的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用余弦定理可判断B选项的正误；利用时，四面体的表面积的最大，可判断C选项的正误；求出球的半径，利用球体的体积公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A，，，则为等边三角形， 取的中点，则，同理得，为等边三角形，则， 且，， 于是二面角的平面角为， 设点到平面的距离为，则， ，当且仅当时取等号， 即四面体的体积的最大值是，A正确； 对于B，由余弦定理得， 因此，B错误； 对于C，，由，，得≌， 则， 因此四面体的表面积的最大值是，C错误； 对于D，设、分别为、的外心，则， 在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点， 由，，平面，得平面， 而平面，则，又，平面， 于是平面，同理得平面，则为四面体的外接球球心， 连接，由，，，得≌， 因此，，而平面，平面，， 则，即球的半径为，球的体积为，D正确. 故选：AD. 三、填空题 12. 向量在向量上的投影向量为，则_________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以. 故答案为：2 13. 若的面积为，且为钝角，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理求出角，再利用正弦定理边化角，结合差角的正弦及正切函数的性质求出范围. 【详解】在中，， 由余弦定理得，则有，即， 而，于是，，又为钝角，则， 因此， 显然，所以. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有______． ①直线与所成角的正切值为 ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形 ④点到平面的距离为 【答案】①②④ 【解析】 【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④. 【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等， 连接，可得，又， 平面，平面，所以， 故，故①正确； 对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同， 故其外接球半径为，故②正确； 对于③：如图：取中点，连接，过点作， 交于点，则，所以平面截正方体所得截面梯形， 由，所以， 所以，，所以， 所以梯形不是等腰梯形，故③错误； 对于④：如图：设点到平面的距离为，则， 而， ， 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 四、解答题 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点. （1）若点A的横坐标是，点B的纵坐标是，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意求出点A、B的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解. （2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解. 【小问1详解】 由题点A、B在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限. 故由点A的横坐标是，点B的纵坐标是，得，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 16. 记的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若为的中点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理实现边化角：，进而求得结果； （2）分析中的边角关系，由余弦定理得，考虑到为的中点，再次应用余弦定理.由正弦定理得，利用同角三角基本关系式求得结果. 【小问1详解】 根据题意，， 由正弦定理得：， 整理得：， ． ，， ，． 【小问2详解】 由，得，得． 在中，由余弦定理得， 为的中点， ， 即，（其中）， ． 由正弦定理得，， ， 即． ， 由，可得； ，． 17. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. （1）求证：为定值； （2）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用向量的运算法则知，，然后利用三点共线可知为定值； （2）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据可得答案. 【小问1详解】 设， 于是， 又，，、， ，， ， 根据向量的运算法则可知 ， ， 三点共线， ， 整理可得： ，即， 故为定值，定值为； 【小问2详解】 设， ， ， ， ， ， ， . 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角正弦值为. 19. 如图，在正方体中，，点E在棱上，且. （1）求三棱锥的体积； （2）在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）存， （3） 【解析】 【分析】（1）过作，垂足为，可得中为高，求出高和底面，进而可得体积； （2）假设在线段上存在点F，使得平面，取的三等分点，得到面面，取的三等分点（靠近），再通过线面平行的性质得到，进而可得的位置； （3）延长交于点，作，垂足为，连接可得为二面角的平面角，在中求解即可. 【小问1详解】 过作，垂足为， 因为，所以面即面 明显面， 所以面， 又，， 所以 【小问2详解】 假设在线段上存在点F，使得平面， 取的三等分点，使，则四边形是平行四边形， 所以，又面，面， 所以面，又面，， 所以面面，又面， 所以面， 取的三等分点（靠近），则， 所以面面，又面，面， 所以，又为的中点， 所以； 【小问3详解】 延长交于点，作，垂足为，连接，则面， 从而， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一年级数学期中模拟测试四 一、单选题 1. 复数，则z的虚部为（ ）． A. 3 B. C. i D. 2. 若两个非零向量满足，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 3. 正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 已知圆锥底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度，得到函数，若满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（ ） A. B. 若，则不可能是纯虚数 C. 若，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 D. 是关于x的方程的一个根 11. 在菱形中，.将菱形沿对角线折成大小为（）二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ） A. 四面体的体积的最大值是 B. 的取值范围是 C. 四面体的表面积的最大值是 D. 当时，球的体积为 三、填空题 12. 向量在向量上的投影向量为，则_________. 13. 若的面积为，且为钝角，则的取值范围是________． 14. 已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有______． ①直线与所成角的正切值为 ②三棱柱外接球的半径为 ③平面截正方体所得截面为等腰梯形 ④点到平面的距离为 四、解答题 15. 如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点. （1）若点A的横坐标是，点B的纵坐标是，求的值； （2）若，求值. 16. 记内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若为的中点，且，求． 17. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，（，）. （1）求证：为定值； （2）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在正方体中，，点E在棱上，且. （1）求三棱锥的体积； （2）在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$