第12讲 圆锥曲线（10类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（上海专版）

第12讲 圆锥曲线（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考7、20题 2024年春考8、20题 抛物线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系 双曲线的定义、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题 2023秋考16、20题 2023春考20题 与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、直线与抛物线综合应用 离心率的求法、椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的综合 2022秋考2、20题 2022春考11、20题 双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值与范围等问题 双曲线的性质，直线与椭圆综合、涉及椭圆方程求解、直线交点求解、基本不等式的应用 2021年秋考11、20题 2021年春考11、19题 直线斜率的定义与计算、抛物线的定义等知识，平面向量与圆锥曲线综合题、直线与椭圆位置关系的应用 椭圆的定义和性质，双曲线的方程在实际问题中的应用 2020年秋考10、20题 2020年春考15、20题 椭圆的简单性质的应用，双曲线与圆的定义和方程、直线与圆的方程、双曲线的方程联立 轨迹方程的求法与判断，点到焦点距离的求法、抛物线、直线方程等知识 2. 备考策略 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2.根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 3.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 4.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 5.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 6.求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 7.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 8.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 9.圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 10.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 11.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 12.存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 3．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 4．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 5．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 6．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 7．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 8．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 知识讲解 考点一．椭圆的几何特征 1．（2024•闵行区校级模拟）已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，△的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为 　　． 【分析】由题意得，，利用椭圆的定义即可求解． 【解答】解：椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，△的周长为6， 设椭圆的标准方程为，且， 又，，成等差数列， ， 则，， ，， ，， ， 则椭圆的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 2．（2024•普陀区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为 　4　． 【分析】由，可得，，，四点共圆，再由题设求出圆心，表示出圆的方程，将代入椭圆及圆的方程，求出，即可得出答案． 【解答】解：由题意得，，设，，，，连接，如图所示： ，， ，，，在以为直径的圆上，且， 又原点为圆的弦的中点，则圆心在的垂直平分线上，即在轴上，则， 又，则， ，， ， 当时，则， 若时，则四边形为矩形，则点也在椭圆上，与点不在椭圆上矛盾， ，，故圆的圆心坐标为， 圆的方程为， 将代入得， 又，解得， 故椭圆的焦距为， 故答案为：4． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 3．（2024•虹口区模拟）已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有　　 ①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同； ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值； ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【分析】对于①，取特值法验证即可；对于②，求出，，根据椭圆上的点到焦点的距离最大为，利用三角函数的有界性即可判断；对于③，求出离心率，转化为求的最大值，即可判断；对于④，农历初六至初八的月相外边缘对应的，，求函数的范围即可判断． 【解答】解：对于①，当时，，月相外边缘形状为：， 第29天，即，月相外边缘形状为：，显然不同，故①错误； 对于②，，， 所以月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为：， 当，即，故②错误； 对于③，，当或22，即第8天或第23天离心率最大，故③正确； 对于④，农历初六至初八，，， 所以，故④正确． 故选：． 【点评】本题考查数学文化背景下的椭圆问题，属中档题． 4．（2024•徐汇区校级模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则的离心率是 　　． 【分析】根据椭圆定义，，，，都用表示，由，构造齐次式即可求解． 【解答】解：依题得，，又， 则，， 则， 则， 即， 则，则， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，化归转化思想，属中档题． 考点二．直线与椭圆的综合 5．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点． （1）若为椭圆上（除、外）任意一点，求直线和的斜率之积； （2）若，求直线的方程； （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【分析】（1）根据题意可得左、右顶点分别为，，设点，，再计算，即可得出答案． （2）设，，，，由，得，，，得，代入椭圆的方程，联立，解得，，由点斜式，即可得出答案． （3）设，，，，可知直线的斜率不为0，设其方程为，联立椭圆的方程，由韦达定理可得，，由，解得，即可得出答案． 【解答】解：（1）在椭圆中左、右顶点分别为，， 设点，， 则． （2）设，，，， 由已知可得，则，，，， 由，得，，， 化简得， 代入可得， 联立，解得， 所以由，得直线过点，，， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为． （3）证明：设，，，，可知直线的斜率不为0，设其方程为， 联立，得， 由△，得， 由韦达定理可得，， 因为， 所以， 化为， 所以， 由，得， 化简得，解得， 所以直线的方程为，恒过定点． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公式等是解题的关键，属于中档题． 6．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求△的周长； （2）求△面积的取值范围； （3）求的最大值． 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及椭圆的定义进行求解即可； （2）设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式再进行求解即可； （3）设直线，的方程和点的坐标，将两直线方程分别与椭圆方程联立，结合韦达定理求出点、的坐标，再代入三角形面积公式中进行求解即可． 【解答】解：（1）因为椭圆的左右焦点分别为，，且，为椭圆上的点， 所以， 可得△的周长为． 即， 则△的周长为； （2）不妨设直线的方程为，，，，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 所以， 不妨令， 此时， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 则△面积的取值范围为； （3）不妨设直线的方程为，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则， 即， 当时，直线的方程为， 联立，消去并整理得， 同理得， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 若轴时，易知， 此时． 综上，的最大值为． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 7．（2024•嘉定区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求△的周长； （2）求△面积的取值范围； （3）设、分别为△、△的内切圆半径，求的最大值． 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得到纵坐标之差的绝对值的取值范围，然后确定三角形面积的取值范围即可； （3）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理利用等面积法得到内切圆半径的表达式，据此得到的表达式，然后利用基本不等式求最值即可． 【解答】解：（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而得到△的周长为． 由题意，得，即△的周长为． （2）由题意可设过的直线方程为，，，，，， 联立，消去得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时）， 所以， 故△面积的取值范围为． （3）设，，直线的方程为， 将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为， 将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立． 轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为． 【点评】本题主要考查椭圆定义的应用，椭圆中的范围问题，直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题． 8．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上． （1）求线段的长； （2）若线段的中点在轴上，求△的面积； （3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得的长； （2）求出点的横坐标，由三角形面积公式求解即可； （3）假设存在以，为邻边的矩形，使得点在椭圆上，显然，设，，，，利用向量的坐标运算表示出点的坐标，由，在椭圆上及，可得方程组，从而可求得点的纵坐标． 【解答】解：（1）依题意得：，由轴，得：， 代入椭圆方程得：， 所以线段的长为．分 （2）显然，线段的中点在轴上，则，即轴， ，，分 所以．分 （3）假设存在以，为邻边的矩形，使得点在椭圆上，显然，设，，，， 则，， 因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以， 代入计算得，， 由题意知，在椭圆上及， 代入，得，即，分 将①②代入③并化简得，， 再结合①，得，即或． 若，则；分 若，则联立①②，得， 消去，得，解得， 由于，故．分 综上，存在满足题意的点，其纵坐标为或．分 【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 考点三．椭圆与平面向量 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知直线与椭圆，点，分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点，，那么“直线与椭圆相切”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【分析】根据题意可知，，设直线的方程为，根据点到直线的距离公式，△，充分与必要条件的概念，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，， 设直线的方程为，即， ， ，解得； 联立，可得， 若直线与椭圆相切，则△， 解得， “直线与椭圆相切”是“”的充分必要条件． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，充分与必要条件的概念，属中档题． 10．（2024•金山区二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点，、，． （1）证明：点到右焦点的距离为； （2）设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； （3）当直线与轴不垂直，且的周长为4时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据两点间距离公式，结合椭圆的方程与配方法，化简即可得证； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，由与平行，根据向量共线的坐标表示，可得关于的方程，解之即可； （3）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，运用韦达定理，结合弦长公式，点到直线的距离公式，求解即可． 【解答】（1）证明：由题意知，， 所以． （2）解：设直线的方程为， 联立消去，得， 由△，得， 所以，， 又，， 由与平行，得，解得， 故直线的方程为． （3）解：直线与圆相切，证明过程如下： 设直线的方程为， 联立消去，得， 所以 由， 得，即， 而， 所以， 整理得， 即， 所以， 因为圆心到直线的距离， 故直线与圆相切． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握向量共线的坐标表示，弦长公式，点到直线的距离公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 11．（2024•黄浦区校级模拟）已知点、分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，，垂足分别为点、．（1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； （3）求的最大值． 【分析】（1）直线与椭圆联立后用根的判别式等于0列出方程，求出； （2）利用点到直线距离公式得到，，结合，求出，结合第一问的结论证明出为定值1； （3）利用向量线性运算及点，在直线的同侧得到，结合第二问得到，再用投影向量的知识得出，其中为的夹角），结合第一问结论得到，利用基本不等式求出最值． 【解答】解：（1）联立：与， 得：，由直线与椭圆有一个公共点可知：△， 化简得：； （2）由题意得：，， 因为，，所以，故， 其中， 所以， 为定值，该定值为1； （3）， 由题意得：点，在直线的同侧， 所以， ，（其中为的夹角）， 由此可知：， 当且仅当即，时，等号成立，所以的最大值为4． 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题． 12．（2024•虹口区二模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意求出，的值，从而可得椭圆的方程； （2）求出直线的方程，与椭圆方程联立，可得点的坐标，同理可得点的坐标，由两点的斜率公式可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程； （3）假设存在满足条件的直线，并设直线的方程为，与椭圆方程联立，求出点的坐标，同理可得点的坐标，由斜率公式表示出直线的斜率，当为直角三角形时，只有可能，或，于是，或，分别解方程可得和的值，从而可得结论． 【解答】解：（1）由题意可得，可得，又因为，， 所以椭圆的方程为； （2）由条件知：直线的斜率为，方程为， 则由，得，所以，从而． 由于，所以直线的方程为，同理可得， 所以直线的斜率为， 从而直线的方程为，即． （3）假设存在满足条件的直线，并设直线的方程为， 则由，得，所以， 由于，所以直线的方程为， 同理可得， 故直线的斜率为 ， 当为直角三角形时，只有可能，或，于是，或． 若，由，可得；从而； 若，由，可得，也有． 因此，直线的斜率为． 【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题． 考点四．抛物线的焦点与准线 13．（2024•嘉定区校级模拟）将抛物线关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为 　2　． 【分析】由题意得抛物线的方程为：，求得即可求解． 【解答】解：抛物线关于直线对称， 抛物线的方程为：， ，， 则抛物线的焦点到其准线的距离为． 故答案为：2． 【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 14．（2024•普陀区校级模拟）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则　12　． 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析求解． 【解答】解：由题意可知抛物线的准线方程为， 根据抛物线的定义可得，所以． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题． 15．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则　　． 【分析】由已知结合抛物线的定义可求得，再根据余弦定理求解． 【解答】解：过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，． 由题意， 点到准线的距离为：， 解得，则，． 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查化归与转化思想，是中档题． 16．（2024•普陀区模拟）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为 　2　． 【分析】求出直线的方程，可得点的坐标，利用向量的坐标运算可求出点的坐标，代入双曲线方程，结合，可得，的值，从而可得实轴长． 【解答】解：由抛物线方程知，， 又直线的法向量， 所以直线的方程为， 令，得，所以，设，， 由，得，，， 所以，， 代入双曲线方程，得， 因为抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 所以，解得，， 所以双曲线的实轴长． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查抛物线与双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题． 考点五．直线与抛物线的综合 17．（2024•宝山区三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得的值； （2）易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解； （3）设，表示出直线的方程，进一步表示出点的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到的范围． 【解答】解：（1）抛物线的准线为， 由于到抛物线准线的距离为3， 则点的横坐标为2，则， 解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以， 则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线的方程为， 令，可得，即， 则， 依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意． 故实数的取值范围为，． 【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 18．（2024•普陀区校级三模）已知抛物线：，焦点为，，为上的一个动点，是在点处的切线，点在上且与点不重合．直线与交于、两点，且平分直线和直线的夹角． （1）求的方程（用，表示）； （2）若从点发出的光线经过点反射，证明：反射光线平行于轴； （3）若点坐标为，求点坐标． 【分析】（1）设定直线的方程，并与抛物线方程联立得出一元二次方程，相切需保证△，求解即可； （2）由抛物线定义得到，设为反射光线上与相异的一点，进而证明即可； （3）先求得为的中点，设定直线的方程并与抛物线方程联立得出一元二次方程，进而得出直线和的方程，求出点，的横坐标，证明即可． 【解答】解：（1）易知切线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 又， 所以， 解得， 则直线的方程为， 又， 所以， 即； （2）证明：过点作的垂线并交轴于点， 此时直线的方程为， 令， 解得， 即，， 因为， 所以， 作点在抛物线准线上的投影， 由抛物线定义可知， 此时， 即， 设为反射光线上与相异的一点， 则， 综上得，，轴， 故从点发出的光线经过点反射后平行于轴； （3）若点坐标为， 此时直线方程为，连， 取，的中点为， 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为点点在直线上， 所以直线与直线垂直， 设直线，与的交点分别为，， 此时为，的中点， 设直线的方程为，，，，， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得，， 当直线的斜率存在时， 因为， 此时， 所以直线的方程为， 即， 易知直线的方程为， 联立， 解得， 同理得， 因为， 所以， 整理得， 即， 解得， 则直线的方程为， 联立， 解得，， 即， 当直线的斜率不存在时， 此时， 因为直线经过点， 所以直线即为， 则，两点重合，不符合题意． 综上得，点的坐标为． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题． 19．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）若，求点的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 【分析】（1）由抛物线的性质可得弦长的表达式，进而可得的中点的横坐标； （2）设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，可得的中点的坐标，同理可得的坐标，再分和两种情况讨论直线的方程，进而可得直线恒过的定点的坐标； （3）设直线与直线的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为，再结合面积公式及基本不等式即可得． 【解答】（1）解：由抛物线性质知， 可得， 所以的中点的横坐标； （2）证明：如图，设，，，，不妨设， 设，则， 由，得， 故，，，， 所以，，因为， 同理可得， 若，则直线， 过点， 若，则直线， 综上所述：直线过定点； （3）解：如图，设，，，，，，，， 则，由， 故， 同理可得， 联立，有， 即， 有， 由（2）知，同理， 故， 故， 过点作轴，交直线于点，则， 由（2）设，，，且， 故， 当且仅当时，等号成立， 下证 由抛物线的对称性，不妨设，则， 当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方， 有，由直线过定点， 此时， 同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方， 有，故此时， 当且仅当时，， 故恒成立，且时，等号成立， 又， 即，当且仅当时，等号成立． 【点评】本题考查抛物线的性质的应用，直线与抛物线的综合应用，三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于难题． 20．（2024•徐汇区校级模拟）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，直线与有两个不同的交点，． （1）当时，求到的距离； （2）若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，证明；当的面积最小时，直线平行于轴； （3）设为轴上一点，是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）易求焦点坐标，可得到的距离； （2）求得两渐近线方程，联立方程可得，可证结论； （3）假设存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，设，，，，，联立方程可得，，由，可得，由，得，，，求解即可． 【解答】解：（1）由双曲线的左焦点，，右焦点，， 时，，， 直线，到的距离； （2）由双曲线得两渐近线的方程为， 直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，， 由得交点的横坐标为， 由得交点的横坐标为， ，当时取等号， 所以当的面积最小时，直线平行于轴； （3）假设存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形， 设，，，，， 由，消去得， △且，解得且， ，， 的中点，， 所以的垂直平分线方程为，令，则， ，则，，， ， ， ， ， ，解得，又，故，点，， 存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，此时，． 【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属难题． 考点六．双曲线的几何特征 21．（2024•青浦区校级模拟）已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为 　　． 【分析】由已知得，结合求出可得答案． 【解答】解：如图， 因为，所以， 可得，即， 可得，则的渐近线方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了双曲线的性质，属于中档题． 22．（2024•浦东新区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到，的关系，进而求解结论． 【解答】解：设双曲线的半焦距为，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题． 23．（2024•奉贤区三模）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 　　． 【分析】根据双曲线的性质列不等式求解即可． 【解答】解：双曲线的右顶点为， ， 为线段上一动点，， 又，是双曲线右支上关于轴对称的两点， 设，，则，， 为等边三角形， ， 由双曲线方程得，， 由双曲线性质知， ，即， ，解得， 正实数的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的性质，是中档题． 24．（2024•浦东新区二模）已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】由双曲线的定义和三角形的余弦定理与中线长公式，化简整理，可得双曲线的离心率． 【解答】解：设，，由双曲线的定义可得， 在△中，由余弦定理可得， 即为， 即有， 由三角形的中线长公式，可得， 即， 化为， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及三角形的余弦定理和中线长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 考点七．直线与双曲线的综合 25．（2024•青浦区二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点． （1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程； （2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； （3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意可得，，又，解得，进而可得答案． （2）由题意可知，，，由双曲线的定义可得，可得是椭圆右顶点，设圆的半径为，则，解得，设直线的斜率为，则直线的方程为，由圆心到直线的距离等于圆的半径，可解得． （3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，设，，，，中点为，，由，推出，即，则，解得点坐标，由，解得，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为双曲线， 所以，， 所以，即， 即，， 所以双曲线的渐近线方程是． （2）由题意可知，，， 所以， ，即是椭圆右顶点， 设圆的半径为， 因为圆的面积为，则，即， ， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得， 解得直线的斜率为． （3）假设存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得， 设，，，，中点为，， 又，， 由，可知△为等腰三角形，，且直线不与轴重合， 于是，即， 因此， 所以， 所以， 因为点，在双曲线上， 所以， ①②化简整理得：，， 则，即， 所以， 联立得，， 得或（舍， 当，， 所以，， 由，得， 所以直线的方程为． 【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 26．（2024•闵行区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）若，双曲线左支上任意点均满足，求的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点、右支上存在点满足，求的离心率的取值范围． 【分析】（1）可得，的取值，即可得渐近线方程；（2）设点的坐标为，将表示出来求最值即可；（3）由得，，分，讨论即可． 【解答】解：（1）设，，由题意，，则， 因此，所以，的渐近线方程为； （2）设点的坐标为，，， 则，最小值为， 因此，得，即，得， 因此的最大值为； （3）设点，的坐标分别为，，，，，；，， 由，得， 化简得， 由，得，因此，， 当时，由得， 化简得，解得或（舍， 由，得； 当时，由，得， 化简得，在，有解， 由根的分布可得，即， 解得或（舍，综上，的离心率的取值范围为． 【点评】本题考查直线与双曲线的综合问题，属于难题． 27．（2024•宝山区校级四模）已知点在双曲线的一条渐近线上，、为双曲线的左、右焦点且． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； （3）过点的直线与双曲线左右两支分别交于点、，求证：． 【分析】（1）设双曲线的渐近线为，将代入渐近线方程，得出，关系式，再由，解出，综合，解出，即可； （2）斜率不存在时刚好满足，斜率存在与渐近线平行时也成立，分情况讨论，求出直线方程即可； （3）用弦长公式求出，将看作的函数，然后借助导数知识研究函数最小值，结合放缩法即可证明． 【解答】解：（1）设双曲线：的渐近线为， ，，因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以，，， 又， 故，，又，解得，故双曲线的方程为． （2）当直线斜率不存在时，，满足题意； 当斜率存在时，由双曲线的性质可得，当直线过点且平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点， 此时，， 此时直线方程为：， 即， 综上：直线的方程为或． （3）证明：由题，直线斜率存在，设直线方程为，即， ，，，， 联立，整理得：， 则， 由弦长公式：，， 则， 则，， 则， 令，，与同正负， ，，此时△，则，即单调递增， 则（1），且， 则，使得， 则当，，即，则单调递减． 当，，即，则单调递增． 则在出取得最小值， 且， 故， 即，原命题得证． 【点评】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于难题． 28．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，的离心率为2，直线过与交于，两点，当时，△的面积为3． （1）求双曲线的方程； （2）已知，都在的右支上，设的斜率为． ①求实数的取值范围； ②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件可得，然后利用勾股定理结合双曲线的定义，及△的面积可求出，再由离心率可求出，从而可求得双曲线的方程； （2）①设直线，代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合判别式可求出实数的取值范围；②假设存在实数，使为锐角，则，所以，再结合前面的式子化简计算即可得结论． 【解答】解：（1）因为，所以． 则， 所以， △的面积． 又的离心率为，所以， 所以双曲线的方程为． （2）①根据题意，则直线， 由，得， 由，得，△恒成立． 设，，，，则， 因为直线与双曲线的右支相交于，不同的两点， 所以，即， 所以，解得． ②假设存在实数，使为锐角，所以，即， 因为， 所以， 由①得， 即解得， 与矛盾，故不存在． 【点评】此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系，再结合求解，考查计算能力，属于较难题． 考点八．双曲线与平面向量 29．（2024•宝山区二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为．记、的面积分别为、．求的最小值，并写出取最小值时点的坐标． 【分析】（1）根据题意可得两条渐近线方程为，则，设两条直线夹角为，则，，即可得答案． （2）设，，，，由已知得，即，又点在双曲线上，有，推出，进而可得答案． （3）设，，，，直线的斜率为，，则直线的方程为，联立椭圆的方程，可得，同理可得，进而可得，再结合基本不等式，计算的最值． 另解：由，可得，化简整理得，再结合基本不等式，计算的最值． 【解答】解：（1）两条渐近线方程为， 所以 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为． （2）设，，，，由已知得、， ，， 则， 得， 又点在双曲线上，有，即， 从而， 所以， 又点是双曲线在第一象限的点， 所以， ， 所以． （3）椭圆中，焦点在轴上，标准方程为， 设，，，，直线的斜率为，， 则直线的方程为， 联立方程组，得， 该方程的两根分别为和， 同理可得， 所以， 记，， 则，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为． 另解：， 因为， 所以，即， 又，， 代入上式化简得，整理得， 记，， 则，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为． 【点评】本题考查直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题． 30．（2023•徐汇区校级三模）已知，是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是． （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； （3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由． 【分析】（1）由，得，由双曲线渐近线方程为，、位于两条渐近线上，得①，由点在双曲线，得，可得，，即可得出答案． （2）当时，直线的方程为，进而可得点的坐标，进而可得，由基本不等式可得的最大值，可得双曲线的方程；当时，直线的方程为，，由①式可得，且点在双曲线上，得，进而可得双曲线的方程． （3）写出直线，的方程，进而可得，两点坐标，由点在双曲线上，可得，设以为直径的圆上的任意一点为，由，可得该圆的方程为，必须有且，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为， 所以，即， 因为双曲线渐近线方程为，、位于两条渐近线上， 所以，① 又因为点在双曲线， 所以， 所以，， 所以． （2）当时，直线的方程为， 所以直线与轴的交点为，， 所以， 由（1）可得，，同号， 所以， 因为，， 所以，此时双曲线的方程为， 当时，直线的方程为， ， 所以， 由①式可得，且点在双曲线上， 所以， 所以， 所以， 所以当时，同样当且仅当时，， 所以双曲线的方程为． （3）根据题意可得直线的方程为，则， 直线的方程为，， 因为点在双曲线上， 所以， 所以， 所以，，，， 设以为直径的圆上的任意一点为， 由，可得该圆的方程为， 因为不恒为0， 所以式要恒成立，必须有且， 所以， 所以所求的定点坐标为，和，． 【点评】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题． 31．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则　4　． 【分析】推得四边形是平行四边形，再由双曲线的定义和平行四边形的性质，推得平行四边形的邻边的长，由余弦定理和向量数量积的定义，可得所求值． 【解答】解：双曲线的，，， 设在第一象限，在第四象限，设，， 由题意可得， 由，，可得四边形是平行四边形， 则， 由双曲线的定义，可得，即，即有，， 在△中，由余弦定理可得， 即有， 则． 故答案为：4． 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及平行四边形的性质、余弦定理的运用和向量数量积的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 32．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点． （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围． 【分析】（1）由已知结合点到直线的距离公式即可直接求解； （2）先设直线的方程，联立直线与双曲线方程，结合方程的根与系数关系可求； （3）由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍，先设，，直线程为，直线方程，结合弦长公式求出，及平行线与之间的距离，进而表示出四边形的面积，再由函数的单调性即可求解． 【解答】解：（1）由题，右焦点， 渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为； （2）显然，直线不与轴重合，设直线方程为， 由，得， 联立方程，得， 其中，△恒成立，，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为； （3）延长交双曲线于点，延长交双曲线于点．则由对称性得，四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍， 由题，设，，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，即，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，， 令，则， 故， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立） 所以，四边形面积的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了双曲线的性质及直线与双曲线位置关系的应用，属于中档题． 考点九．曲线与方程 33．（2024•嘉定区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有　　 （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 【分析】因为，所以与异号，故其图象在第二和四象限，从而判断（1）； 利用基本不等即可判断（2）； 将以为圆心、2为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可判断（3）； 先确定曲线经过点，，再将第一象限内经过的整点，和逐一代入曲线的方程进行检验即可判断（4）； 【解答】解：对于（1），因为，所以与异号，故图象在第二和四象限，即（1）正确． 对于（2），因为，所以，所以， 所以，即（2）正确； 对于（3）选项，以为圆点，2为半径的圆的面积为，显然曲线围成的区域的面积小于圆的面积，即（3）错误； 把，代入曲线，可知等号两边成立，所以曲线在第一象限过点，，由曲线的对称性可知，该点的位置是图中的点， 对于（4）选项，只需要考虑曲线在第一象限内经过的整点即可，把，和代入曲线的方程验证可知，等号不成立，所以曲线在第一象限内不经过任何整点，再结合曲线的对称性可知，曲线只经过整点，即（4）错误； 故选：． 【点评】本题考查曲线的轨迹方程，涉及特殊点代入法、均值不等式、圆的面积等知识点，有一定的综合性，考查学生灵活运用知识和方法的能力，属于中档题． 34．（2024•闵行区校级模拟）设集合，，，点的坐标为，满足“对任意，都有”的点构成的图形为，满足“存在，使得”的点构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为　　 A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案． 【解答】解：因为，，，表示除原点外的平面内的所有点， ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点，如图， 易知直线和垂直，则，， 当时，， 因为，所以， 所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确． 故选：． 【点评】本题考查了曲线与方程的综合应用，属于难题． 35．（2024•嘉定区校级模拟）若曲线的图象上任意不同的两点，，，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为 　①②　（填上所有正确答案的序号）． 【分析】由，将两边平方可得，即可得到恒成立，利用特殊值判断①②，根据双曲线的性质判断③④． 【解答】解：因为，，，， 所以，，，则， 由， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 依题意可得恒成立， 对于①：，取，不为时，，此时恒有，故①错误； 对于②：，取，不为时，，此时恒有，故②错误； 对于③：，由对勾函数的性质可知，函数在，上单调递减，在，上单调递增， 且当时，，当时，，函数图象如下所示： 当、在同一支时，显然，所以； 当、在不同支时，显然，所以； 综上可得恒成立，故③正确； 对于④：，双曲线的渐近线方程为，设直线的倾斜角为， 则，所以， 所以，即两渐近线的夹角小于， 所以当、在双曲线的同一支时，，所以； 当、在双曲线的不同支时，显然，所以； 综上可得恒成立，故④正确； 故不可能是曲线的方程的序号为①②． 故答案为：①②． 【点评】本题主要考查曲线方程，考查逻辑推理能力，属于难题． 36．（2024•浦东新区校级三模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； （2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； （3）无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据类比推理，即可求解； （2）根据题意可得时，恒成立，再根据函数，，分类讨论利用导数，即可求解； （3）归纳猜想，再利用数学归纳法证明即可． 【解答】解：（1）平方关系：； 两角和角公式：； 导数：； （2）因为当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方， 所以时，恒成立， 设，， 则由（1）可知， ①当时，由，又， 故，等号不成立， 所以，又此时， 所以， 所以为在上单调递增， 所以， 所以对任意，恒成立，满足题意； ②当时，设，， 则，所以在上单调递增， 又， 所以根据零点存在性定理可知：存在唯一，使得， 所以当时，， 则在上单调递减， 所以对任意，，即，矛盾， 综上所述，实数的取值范围为，； （3）当，时，存在，，使得， 由数学归纳法证明：，证明如下： ①当时，成立， ②假设当为正整数）时，， 则成立． 综上：． 所以，，有，，即， 当，，时，由，函数的值域为，， 对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测． 证明如下： ． 类比，时的数学归纳法，由， 易证，，，，， 所以若， 设，则，解得或，即， 所以，于是． 综上：存在实数使得成立． 【点评】本题考查恒成立问题的求解，类比推理思想，归纳推理思想，数学归纳法的应用，属难题． 考点十．直线与圆锥曲线的综合 37．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的取值范围． 【分析】（1）根据题意即可求出的值． （2）设直线的方程为，点，、，，联立直线与抛物线，即可得出的值． （3）联立直线与椭圆方程，根据点所在象限和均值不等式，即可得出答案． 【解答】解：（1）抛物线的焦点为，故． （2）若直线与轴重合，则该直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，点，、，， 联立，可得， △恒成立，则， ． （3）设直线、的斜率分别为、，其中，， 联立，可得，解得， 点在第三象限，则， 点在第四象限，同理可得， 且， ， 当且仅当时，等号成立． 的取值范围为，． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题． 38．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线． （1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； （2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积． （3）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值． 【分析】（1）分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出离心率； （2）将点代入方程，求出的值，即可求出曲线方程，设直线的方程为，直线的方程为，设，，利用点到直线的距离公式得到，是一元二次方程的两实数根，利用韦达定理计算可得； （3）首先得到椭圆方程，设出直线的方程，联立方程，求得点，的坐标，根据对称性得到点的坐标，从而得到直线的方程，令，求出点的坐标，得到的表达式，再根据均值不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）因为曲线为双曲线， 若焦点在轴，则，又渐近线方程为， 则，即，解得或（舍去）， 此时曲线的离心率； 若焦点在轴上，则，又渐近线方程为， 则，即，解得（舍去）或， 此时曲线的离心率． 综上可得曲线的离心率为或2． （2）依题意，解得或， 当时，曲线，符合题意； 当时，曲线，符合题意； 设直线的方程为，直线的方程为，设，， 则根据点到直线的距离公式可得， 化简得， 同理可得， 所以是一元二次方程的两实数根， △，则有， 又点，所以． （3）当时，曲线，不妨设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 解得，则， 即， 因为点关于原点的对称点为，所以， 此时，所以直线的方程为， 当时，解得，即， 所以， 则， 因为，所以，， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值，最小值为16． 故的最小值为4． 【点评】本题考查了直线与椭圆的综合，考查了分类讨论思想及方程思想，属于中档题． 39．（2024•长宁区校级三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点．设在点、处的切线分别为，，与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为． （1）设点横坐标为，求切线的斜率，并证明； （2）证明：点必在直线上； （3）若、、、四点共圆，求点的坐标． 【分析】（1）由，，得点处的切线斜率为，从而切线的方程为，切线与轴的交点为，又，，，由此能证明； （2）直线，直线，联立方程组，解得交点，推导出由，由此能证明点在直线上． （3），，，设的外接圆方程为，求出外接圆方程为，由此能求出点坐标． 【解答】解：（1）证明：，，点处的切线斜率为， 切线的方程为， 切线与轴的交点为，又，，， ，当时，亦有， 综上，； （2）证明：直线，直线， 联立方程组，解得交点， 又点，，， 由，得，所以， 点在直线上． （3），，， 设的外接圆方程为， 解得，， 外接圆方程为 将代入方程，得 又，解得，， 点坐标为． 【点评】本题考查直线的斜率、直线方程、直线与直线垂直的性质、三角形外接圆等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 40．（2024•奉贤区三模）如图1：已知椭圆的方程为和椭圆，其中，分别是椭圆的左右顶点． （1）若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； （2）如图2，若椭圆的方程为．是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，，，均在轴上方），求证：，斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 【分析】（1）由题意得，椭圆的离心率为，结合，可求得椭圆的方程； （2）设，则，又，，由两点的斜率公式整理可得结论； （3）解法一：设，，，，设直线方程，设直线方程，分别联立直线和椭圆方程后，整理可得，是方程的两个实数根，由根与系数的关系结合即可求解． 解法二：设，，作交椭圆与另一点，，可得到四边形是平行四边形，所以，，在同一直线上，，，设直线方程，联立直线和椭圆的方程，整理得，由根与系数的关系结合即可求解． 【解答】（1）解：椭圆的离心率为， ，即， 所以，，， 所以椭圆的方程为． （2）证明：设，则，，的斜率即为，的斜率， 因为，， 所以，， 所以， 故，斜率之积为定值． （3）解法一：设，，，，由于，所以，， 设直线方程，设直线方程， 联立，得到， 联立，得到， ，所以，所以，是方程的两个实数根， △恒成立，， ， 整理得：， ， 所以，． 解法二：设，，作交椭圆与另一点，， 根据椭圆中心对称得， 由可得到四边形是平行四边形， 所以，，在同一直线上，，， 设直线方程，联立， 得，△恒成立， ， ， 整理得， ， 解得，． 【点评】本题考查椭圆的方程及性质，考查联立直线和椭圆的方程解决综合问题，属于难题． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•嘉定区二模）双曲线和双曲线具有相同的　　 A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 【分析】分别求得双曲线的焦点、顶点和渐近线方程、离心率，可得结论． 【解答】解：双曲线的焦点为，，顶点，渐近线方程为；离心率； 双曲线 的焦点为，顶点，渐近线方程为；离心率． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 2．（2024•虹口区模拟）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【分析】由题意可知，点是抛物线上的点，当过的直线的斜率不存在时，直线与抛物线有一个交点，当斜率存在时，设出直线方程，和抛物线方程联立后由判别式等于0求解斜率的值，从而判出与抛物线只有一个交点的直线的条数． 【解答】解：点在抛物线上，当直线过点且斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点； 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，得． 由△，解得：． 过点的抛物线的切线有一条． 综上，过点与抛物线只有一个交点的直线有2条． 故选：． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用判别式判断一元二次方程解的个数，是中档题． 3．（2024•静安区二模）设，则双曲线的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题设条件可知：，然后由实数的取值范围可以求出离心率的取值范围． 【解答】解：， 因为是减函数，所以当时， 所以，即， 故选：． 【点评】本题的高考考点是解析几何与函数的交汇点，解题时要注意双曲线性质的灵活运用． 4．（2024•杨浦区校级三模）在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【分析】由离心率相同，设出两双曲线的方程，显然可得两曲线没有交点即可得充分性，然后举反例即可推出不必要性． 【解答】解：因为焦点都在轴上，， 设的方程为， 的方程为， 又与不重合，故，显然两双曲线没有公共点， 故“”是“与没有公共点”的充分条件； 取，，显然两曲线无公共点， 此时，则， 即“与没有公共点”不是“”的必要条件， 综上：“”是“与没有公共点”的充分不必要条件． 故选：． 【点评】本题考查了双曲线的性质及充分性和必要性的判断，属于中档题． 二．填空题（共12小题） 5．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线的准线方程为，则其标准方程为 　　． 【分析】根据准线方程可得焦点，即可得标准方程． 【解答】解：由准线方程为可知焦点坐标为， 所以抛物线标准方程为， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题． 6．（2024•闵行区三模）若抛物线过点，则该抛物线的焦点为 　　． 【分析】将点代入抛物线方程，再结合抛物线的性质，即可求解． 【解答】解：抛物线过点， 则，解得， 故抛物线的焦点为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题． 7．（2024•黄浦区二模）抛物线的焦点到准线的距离是 　2　． 【分析】根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离． 【解答】解：根据题意可知焦点，准线方程， 焦点到准线的距离是 故答案为2． 【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用．属基础题． 8．（2024•杨浦区校级三模）已知双曲线的左、右焦点为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则的边长为 　4　． 【分析】根据题意，结合双曲线的定义求解即可． 【解答】解：如图，设的边长为，， 因为为等边三角形，所以， 由双曲线的方程知， 所以由双曲线的定义得，， 即，，解得，． 所以的边长为4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，属于基础题． 9．（2024•松江区校级模拟）已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 　6　个． 【分析】根据焦点在轴上，得到，然后就可以得到答案． 【解答】解：若椭圆焦点在轴上，则， 当时，，3，4；当时，，4；当时，， 所以这样的点有6个． 故答案为：6． 【点评】本题考查椭圆的定义，属于基础题． 10．（2024•宝山区校级四模）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　． 【分析】由椭圆的方程可得左右焦点的坐标，再由题意可得与右焦点的横坐标相同，代入椭圆的方程可得的纵坐标，因为△为等腰直角三角形可得，进而求出，的关系，再求出椭圆的离心率． 【解答】解：由椭圆的方程可得，， 因为过作轴垂线交椭圆于点，设在第一象限，则的横坐标为，代入椭圆的方程可得，即， 又因为△为等腰直角三角形，所以， 即，所以，即，解得， 而椭圆中，所以， 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及等腰直角三角形的性质的应用，属于基础题． 11．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则　1　． 【分析】由双曲线的渐近线方程，可得的方程，解方程可得所求值． 【解答】解：双曲线的渐近线方程为， 由题意可得，解得． 故答案为：1． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 12．（2024•浦东新区校级四模）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则的取值范围是 　，　． 【分析】根据双曲线的标准方程可得，，结合离心率公式，可得关于的不等式组，解不等式组可得所求． 【解答】解：依题意知，，， 所以， 则， 有， 解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 13．（2024•黄浦区校级三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为20，则线段的长为 　6　． 【分析】利用双曲线的定义，即可求解． 【解答】解：双曲线，则，，， 易得双曲线的实轴长，焦距． 因为，都在右支上，则，， 的周长， 所以． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 14．（2024•宝山区二模）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为　　． 【分析】利用已知条件，转化求解到渐近线的距离，推出，的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【解答】解：双曲线的右顶点为， 以为圆心，为半径做圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点． 若，可得到渐近线的距离为：， 可得：，即，可得离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 15．（2024•浦东新区校级四模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 　　． 【分析】利用已知条件通过求解三角形，求解，，，得到椭圆的离心率． 【解答】解：该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时， 如图：设，．，， 所以，， 即，，，，，为椭圆的中心，，，分别为，，在底面上的射影，可得，，为小圆的圆心，，可得，是椭圆的短轴长为， ，， 椭圆的离心率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题． 16．（2024•松江区校级模拟）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 　8　． 【分析】由双曲线的方程，可得，的值，进而求出的值，由双曲线的定义及三点共线的性质可得的最小值． 【解答】解：由双曲线的方程可得，，则， 设双曲线的右焦点，则， 圆的圆心，半径， 由题意可得， 当且仅当，，三点共线，且在，之间时取等号． 即的最小值为8． 故答案为：8． 【点评】本题考查双曲线的性质的应用及三点共线时线段和最小的性质的应用，属于中档题． 三．解答题（共1小题） 17．（2024•青浦区校级模拟）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，△面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，直线与交于点． ①求直线的方程； ②记，的面积分别为，，求的最大值． 【分析】（1）由题意可知，解得，，即可得出答案． （2）①设，，，，写出直线的方程为，直线的方程为，又，再计算，即可得出答案． ②设直线，联立椭圆的方程，解得，，解得点坐标，点坐标，则，由基本不等式，即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意可得，且， 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）①设，，，，则直线的方程为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的方程为， 又因为， 所以， 所以， 所以点的横坐标为， 同理可得点的横坐标为， 所以直线的方程为． ②设直线， 联立，得， 所以， 同理，可得， 联立解得， 同理，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为． 【点评】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•闵行区校级三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为　　 A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【分析】将圆柱的侧面展开得，可知点的轨迹为两条互相垂直的线段，进而可以得到轨迹． 【解答】解：以为原点将圆柱侧面和底面展开如下图， 设，所以，， 由题意，， 所以当时，同理时， 所以点的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆， 两条线段的长度均为，故轨迹长为． 故选：． 【点评】本题考查立体几何中的动点轨迹问题，属于中档题． 2．（2024•黄浦区校级三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】将代入双曲线的方程，求得的纵坐标，由，结合，，和离心率公式可得的范围；再由双曲线的定义和及已知条件，讨论，，共线时，取得最小值，结合离心率公式可得的范围，再由，取交集即可得到所求范围． 【解答】解：令代入双曲线的方程可得， 由，可得， 即为， 即有，① 又在双曲线的右支上存在点使得成立， 由双曲线的定义，可得成立， 由，，共线时，取得最小值， 可得， 即有，② 由，结合①②可得， 的范围是，． 故选：． 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用双曲线的定义和三点共线的性质，考查运算能力，属于中档题． 二．填空题（共7小题） 3．（2024•普陀区校级三模）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是　　． 【分析】设点坐标为，，由点在椭圆上知，得，用，表示出等腰梯形的面积为，将代入得，利用导数求此函数的最值 【解答】解：设点坐标为，，由点在椭圆上知，得 等腰梯形的面积为（2分） ， 令，得，即， ， ， 又当时，；当时，， 在区间上，有唯一的极大值点， 当时，有最大值为； 即当时，有最大值为 故答案为： 【点评】本题考查椭圆方程的应用，解题的关键是根据椭圆的方程消元，将面积表示成的函数，再利用导数研究此函数的最值，此题运算量很大，解题时极易因运算出错，做题时要严谨认真． 4．（2024•浦东新区三模）已知点、位于抛物线上，，点为线段的中点，记点到轴的距离为．若的最小值为7，则当取该最小值时，直线的斜率为 　　． 【分析】由已知结合抛物线的定义可知取得最小值时，，，共线，然后设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，结合方程的根与系数关系及抛物线定义即可求解． 【解答】解：分别从，，作准线的垂线，垂足为，，，由抛物线定义可知，，， 则， 所以到轴的距离，当，，共线时取等号， 所以，即， 故抛物线方程为， 设直线的方程为， 联立，可得，设，，，， 则， 所以， 所以， 因为， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线的定义，直线与我、抛物线位置关系的应用，属于中档题． 5．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为　　． 【分析】设线段的中点为，利用是△的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率． 【解答】解：设线段的中点为，由题意知，，又是△的中位线， ，则，由椭圆的定义知， 又，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 又，可得， 故有， 由此可求得离心率， 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的简单性质，注意椭圆上任一点到两个焦点的距离之和等于常数的应用，是中档题． 6．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线的焦点的直线交于点，，交的准线于点，，点为垂足．若是的中点，且，则　4　． 【分析】由中点坐标公式和抛物线的焦半径公式，解方程可得和的坐标，求得直线的斜率和方程，与抛物线的方程联立，求得弦长． 【解答】解：可设在第一象限，且为，，，， 由，，是的中点，可得， 而在抛物线的准线上，可得， 又， 解得，，， 即有，，，， 直线的斜率为， 即有直线的方程为， 代入抛物线方程，可得， 解得或， 则． 故答案为：4． 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 7．（2024•浦东新区校级模拟）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 　24　个． 【分析】分等腰三角形的底为；为等腰三角形的腰，以为圆心，为半径作圆与椭圆的交点；为等腰三角形的腰，以为圆心，为半径作圆与椭圆的交点；为等腰三角形的腰，以为圆心，为半径作圆与椭圆的交点的等腰三角形的个数． 【解答】解：不妨设， ①如下图，连接，当为等腰三角形的底时， 作的垂直平分线交椭圆于，两点， 连接，，，，则△，△为等腰三角形，满足题意， 同理当，，为等腰三角形的底时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； ②如下图，当为等腰三角形的腰时，以为圆心，为半径作圆， 则圆的方程为， 联立，解得或或或． 即圆与椭圆相交于点，，，，连接，，，， 其中△，△满足要求，△三个顶点均为椭圆顶点，不合题意， 同理当，，为等腰三角形的腰时， 也可以各作出2个满足要求的等腰三角形，共有8个； ③如下图，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，，， 连接，，，，此时△，△为等腰三角形，满足题意，共有2个， ④如下图，以为圆心，为半径作圆，此时圆与椭圆相交于点，，， 连接，，，， 此时△，△为等腰三角形，满足题意，共有2个， 由椭圆性质可知，为椭圆中的最长弦， 所以不能作为等腰三角形的腰，而作为底时， 刚好等腰三角形的顶点为上顶点或下顶点，不合要求， 最后再算3个顶点都在椭圆顶点的情况，易知这样的等腰三角形有4个， 综上：满足要求的等腰三角形个数为． 故答案为：24． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及分类讨论的思想，属于中档题． 8．（2024•松江区二模）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为　　． 【分析】根据双曲线的定义可求得，，再利用勾股定理可求得，从而可求得双曲线的离心率． 【解答】解：，不妨令，，， ，， 又由双曲线的定义得：，， ，． ， ． 在△中，， ，，． 双曲线的离心率． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，求得与的值是关键，属于中档题． 9．（2024•黄浦区校级三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动．当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动．记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为 　　． 【分析】以滑槽所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，分别求出曲线和的方程，利用三角换元设椭圆上任意一点的坐标，先求出的最大值，然后利用圆的切线长的求解方法，即可得到答案． 【解答】解：以滑槽所在直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示， 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为， 设点，由于，则， 由，可得，设， 所以，，，解得， 则点的运动轨迹是椭圆，其方程为， 设上的点， 则， 则切线长为， 所以切线长的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了动点轨迹方程的求解，与椭圆有关的最值问题，圆的切线长的求解，要掌握常见的求解轨迹的方法：直接法、定义法、代入法、消参法、交轨法等等，属于中档题． 三．解答题（共9小题） 10．（2024•闵行区校级三模）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上． 【分析】（1）计算椭圆离心率的等量关系，求解即可． （2）联立直线与椭圆方程，可得出，与的关系，结合不等式可求出最小值； （3）先由“一簇椭圆系”定义计算椭圆的方程，再根据垂心的性质计算垂心与点坐标的关系，代入点满足的椭圆方程，即可证明． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 则或； （2）易得， 所以直线，的方程分别为， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切， 所以△， 因为， 即， 联立，消去并整理得， 因为直线与椭圆相切， 所以△， 因为， 即， 则， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时． 故当时，取得最小值，最小值为． （3）证明：易知椭圆． 不妨设，为椭圆上的任意一点， 此时，① 不妨设的垂心的坐标为，， 连接，， 因为， 又， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以，② 联立①②， 解得， 因为点，在椭圆上， 所以． 故的垂心在椭圆上． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 11．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆（常数的左顶点，点，，为坐标原点； （1）若是椭圆上任意一点，，求的值； （2）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设，，，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 【分析】（1）根据与坐标化简已知等式，确定出坐标，由在椭圆上列出关系式，求出所求式子的值即可； （2）设，利用平面向量数量积运算法则表示出，配方后求出的最大值与最小值，即可确定出的范围； （3）根据题意，利用斜率公式得到，两边平方，整理得到，表示出三角形的面积，整理后把代入得到结果为定值． 【解答】解：（1）点，，为坐标原点， ， 即， 把坐标代入椭圆方程得：，即； （2）设， 则，， ， 由，得， 当时，的最大值为0； 当时，的最小值为， 则的范围为，； （3）设，，，是椭圆上的两个动点，满足， 由条件得：， 平方得：，即， ， 则的面积为定值． 【点评】此题考查了椭圆的简单性质，二次函数的性质，斜率公式，以及平面向量的数量积运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（2024•普陀区校级模拟）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程及其“伴椭圆”方程； （2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴椭圆”相交于、两点，求弦的长； （3）在椭圆的“伴椭圆”上任取一点，过点作两条直线，，使得，与椭圆都只有一个公共点，且，分别与椭圆的“伴椭圆”交于，两点．证明：直线过原点． 【分析】（1）根据已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程及其“伴椭圆”方程； （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简后利用判别式求得，利用点到直线的距离公式以及圆的弦长的计算公式求得． （3）通过证明来证得直线过原点． 【解答】解：（1）依题意，，所以，， 所以椭圆的方程为，“伴椭圆”方程为． （2）设直线的方程为， 由消去并化简得， 由△得， 圆心到直线的距离为， 所以． （3）证明：①当、都有斜率时，设点，，其中， 设经过点，与椭圆相切，且斜率存在的直线的方程为， 联立，消去得到， 即，， 整理可得， 设、的斜率分别为、，因为、与椭圆都只有一个公共点， 所以、是关于的方程的两个实数根， 因而，即； ②当点，点的坐标满足，此时、分别与两坐标轴垂直， 则． 综上所述，． 所以，所以是“伴椭圆”的直径，过原点． 【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合，考查转化能力，属于中档题． 13．（2024•浦东新区校级四模）已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）直线，的斜率存在为，，直线的斜率存在为，若，求直线的方程； （3）直线，与圆的另一个交点分别为，，求与的面积之和的取值范围． 【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程； （2）设出直线的方程，根据直线与圆相切得到，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及，推出，进而可得直线的方程； （3）结合（2）中所得信息以及弦长公式得到的表达式，根据得到与的面积之和的表达式，再利用基本不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为， 所以， 整理得，① 因为椭圆经过点， 所以，② 联立①②， 解得，， 则椭圆的方程为； （2）不妨直线的方程为，，，，， 因为直线与圆相切， 所以， 整理得，③ 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 则， 可得， 又， 所以， 则， 此时，④ 联立③④， 解得， 则直线的方程为； （3）当直线的斜率不存在时，， 当时， 解得， 即，， 此时与的面积之和； 当直线的斜率存在时， 不妨设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时△， 由韦达定理得，， 此时与的面积之和， 即， 因为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时， 因为， 所以， 此时． 综上得，与的面积之和的取值范围为． 【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题． 14．（2024•松江区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求△面积的最大值． 【分析】（1）由椭圆的性质可得，从而可得用表示，将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而可得椭圆的标准方程； （2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值； （3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，由三角形面积公式及基本不等式即可求解最值． 【解答】解：（1）由题意得，所以， 将点代入，解得， 所以椭圆的方程为． （2），，， ，当且仅当为的延长线与椭圆交点时取等号， 故周长的最大值为； （3）设直线的方程为，，，，． 由，得， 所以，， 所以 ， 又因为， 当且仅当时取等号，所以， 故△面积的最大值为2． 【点评】本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 15．（2024•浦东新区校级四模）已知直线与双曲线相切于点． （1）试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值； （2）设直线过点且其法向量，证明：当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为； （3）已知过点且与直线垂直的直线分别交、轴于、两点，又是线段中点，求点的轨迹方程． 【分析】（1）联立直线与曲线方程，代入不同值即可得到相应的值． （2）首先得到直线与过原点的平行直线的距离的取值范围，然后得到直线与过原点的平行直线的距离的取值范围，最后根据进行分类讨论得到答案． （3）根据求导得切线，根据题目所给条件翻译即可得到点轨迹方程． 【解答】解：（1）联立，消去可得：， 所以△，所以，即， 所以当时，； 当时，； 当时，． （2）由题任取直线上一点， 则由题意 ， 即直线的直线方程为，与切线平行， 所以直线与过原点的平行直线的距离为， 因为，所以， 故故， 即， 由（1），所以直线与过原点的平行直 线的距离为： ， 因为， 所以， 故，即， 所以时，直线与曲线右支相切的切线距离为， 故当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为． （3）设，则， 对求关于的导数可得：，所以， 则， 又过点与垂直的直线分别交，轴于，两点， 所以，所以， 令，得，所以， 令，得， 所以， 所以，即， 则， 又， 所以， 即的轨迹方程是． 【点评】本题考查双曲线的性质、轨迹方程的求解，综合性较强，属于较难题． 16．（2024•杨浦区校级三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． （1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点坐标； （2）设，已知与轴负半轴有交点，与有、两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名为、、，有，求出所有满足条件的的方程； （3）设，，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，求出关于的表达式，并求的最小值． 【分析】（1）写出抛物线的准线方程和直线直线的方程，联立方程求解即可； （2）讨论时，由方程联立为方程组，求点的坐标，得出斜率的值，即可写出直线的方程，同理求出时直线的方程； （3）由题意联立方程组，消去，化简为的二次方程，由此求的表达式，计算最小值即可． 【解答】解：（1）由题意知，，抛物线的准线方程为， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立方程，解得， 所以与的准线交点坐标为； （2）当时，，消去，化简得，解得，； 此时的方程为； 当时，同理可得，此时的方程为； （3）由，消去，化简得，解得， 所以， 令，则，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以． 【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是难题． 17．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、． （1）求的方程； （2）证明：； （3）求的取值范围． 【分析】（1）由题意得，解方程组得，，，即可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线与双曲线的方程，由根与系数的关系可得，同理，进而得知； （3）先求解，到直线的距离，然后表示，运用换元法，结合不等式的性质求解即可． 【解答】（1）解：由题意知：， 解得：， 所以的方程为：； （2）证明：由题，易知的斜率为0时不成立，如图， 设，，，，，，，，， 联立方程，消去化简得，则， 所以，， 由题双曲线的渐近线方程可化为， 联立方程，消去化简得，则， 所以，， 所以， 所以线段、的中点重合， 所以； （3）解：由（2）知， ， 所以， 又到直线的距离， 所以， 由（2）可得，又， 所以，又由题△，即，即， 所以，令，则， 则， 即． 【点评】本题主要考查双曲线的性质及标准方程，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题． 18．（2024•杨浦区校级三模）设，是双曲线上的两点．直线与双曲线的交点为，两点． （1）若双曲线的离心率是，且点在双曲线上，求双曲线的方程； （2）设、分别是双曲线的左、右顶点，直线平行于轴．求直线与斜率的乘积，并求直线与的交点的轨迹方程； （3）设双曲线，其中，，点是抛物线上不同于点、的动点，且直线与双曲线相交于另一点，直线与双曲线相交于另一点，问：直线是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据所给条件得到关于，的方程组，解得即可； （2）设，或，，则，，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，代入双曲线方程，整理可得； （3）设，，，，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 解得，， 故双曲线的方程为； （2）设，或，则，，，，， 则，所以， 又，即， 所以， 则，，由，，三点共线得：， ，，由，，三点共线得：， 所以，，又， 所以，即，则， 故直线与直线的交点的轨迹的方程为； （3）设，，，，，，则， 直线，即， 直线，即， 由，化简得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上， 取，得，，则直线，过， 下证明直线恒过定点为， 则，， 所以， 所以直线恒过定点为． 【点评】本题考查了双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系，属于难题． 一．选择题（共2小题） 1．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可． 【解答】解：，，判断轨迹为上下两支，即选双曲线， 设，， 所以， 因为，，消去可得：， 故选：． 【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题． 2．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【分析】根据定义结合图象，验证是否恒成立即可． 【解答】解：椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的点，使得成立，故①正确， 在双曲线中，，，当时，点不存在； 当，时，， 但当，此时，这与矛盾，故②错误． 故选：． 【点评】本题主要考查与曲线方程有关的新定义，根据条件结合图象验证是否成立是解决本题的关键，是中档题． 二．填空题（共7小题） 3．（2022•上海）双曲线的实轴长为 　6　． 【分析】根据双曲线的性质可得，实轴长为． 【解答】解：由双曲线，可知：， 所以双曲线的实轴长． 故答案为：6． 【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题． 4．（2024•上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 　　． 【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解． 【解答】解：设坐标为，， 到准线的距离为9，即，解得，代入抛物线方程，可得， 故到轴的距离为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查抛物线的定义，属于基础题． 5．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 　3　． 【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论． 【解答】解：由双曲线的定义，，， 解得，， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 　　． 【分析】将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，根据已知条件结合斜率的定义，求出直线的斜率即可． 【解答】解：如图所示，设抛物线的准线为，作于点，于点，于点， 由抛物线的定义，可得，， ， 直线的斜率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查直线斜率的定义与计算，抛物线的定义等知识，属于基础题． 7．（2020•上海）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是　　． 【分析】求出椭圆的右焦点坐标，利用已知条件求出直线的斜率，然后求解直线方程． 【解答】解：椭圆的右焦点为， 直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限）， 若点关于轴对称点为，且满足， 可知直线的斜率为，所以直线的方程是：， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识的考查． 8．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 　　． 【分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线的方程并与抛物线方程联立，求出点的坐标，由此可得，进而可以求出，的长度，再由椭圆的定义即可求解． 【解答】解：设，，则抛物线， 直线，联立方程组，解得，， 所以点的坐标为，所以，又 所以， 则， 所以抛物线的准线方程为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题． 9．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 　，　． 【分析】取的对称点，，结合，可得，然后可得渐近线夹角，代入渐近线斜率计算即可求得． 【解答】解：设的对称点，仍在双曲线右支，由， 得，即恒成立， 恒为锐角，即， 其中一条渐近线的斜率， ， 所以实数的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题． 三．解答题（共10小题） 10．（2021•上海）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标． （2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米， 【分析】（1）求出，，的值即可求得双曲线方程，求出直线的方程，与双曲线方程联立，即可求得点坐标； （2）分别求出以、为焦点，以，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点的坐标，从而求得，及点位置． 【解答】解：（1）由题意可得，，所以， 所以双曲线的标准方程为， 直线，联立双曲线方程，可得，， 即点的坐标为，． （2）①，则，，所以， 双曲线方程为； ②，则，，所以， 所以双曲线方程为， 两双曲线方程联立，得，， 所以米，点位置北偏东． 【点评】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题． 11．（2024•上海）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限． （1）当离心率时，求的值； （2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【分析】（1）由题意可得，，可得，由求解即可； （2）由题意可得，，，，，则可得，再由，求解即可； （3）设， ， 则，，设直线，联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理可得，，又由，得，即有，可得，即可得答案． 【解答】解：（1）因为，即， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以（负舍）； （2）因为△为等腰三角形， ①若为底，则点在线段的中垂线，即上，与双曲线上且在第一象限矛盾，故舍去； ②若为底，则，与矛盾，故舍去； ③若为底，则， 设，，，， 则， 即， 又因为， 得， 得， 解得， 即； （3）由题可知，， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意； 则， 设直线， 设，，，， 根据延长交双曲线于点， 则，， 联立，得， 二次项系数， △， ，， 所以，，，， 又因为， 得， 则， 即， 化简后可得到， 再由韦达定理得， 化简得， 所以， 代入，得， 所以， 且， 解得， 又因为， 则， 综上，，，， 所以，，． 【点评】本题考查了双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系及韦达定理的应用，属于中档题． 12．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）根据题意可得点的横坐标为2，将其代入抛物线的方程，即可求得的值； （2）易知，设，由的中点在抛物线上，可得的值，进而得到直线的方程，再由点到直线的距离公式得解； （3）设，表示出直线的方程，进一步表示出点的坐标，再根据恒成立，结合基本不等式即可得到的范围． 【解答】解：（1）抛物线的准线为， 由于到抛物线准线的距离为3， 则点的横坐标为2，则， 解得； （2）当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为， 由题意可得，解得， 所以， 则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； （3）如图， 设，则， 故直线的方程为， 令，可得，即， 则， 依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意． 故实数的取值范围为，． 【点评】本题考查抛物线的定义及其性质，考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题． 13．（2023•上海）已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； （3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率； （2）由已知得，，设，由已知可得，，求解即可； （3）设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围． 【解答】解：（1）若，则，，，，； （2）由已知得，，设， ，即， ，，，，， ，代入求得； （3）设直线，联立椭圆可得， 整理得， 由△，， 联立双曲线可得，整理得， 由△，， ， ， 又，，， 综上所述：，． 【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题． 14．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，． （1），中点在轴上，求点的坐标； （2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求； （3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值． 【分析】（1）由题意可得椭圆方程为，从而确定点的纵坐标，进一步可得点的坐标； （2）由直线方程可知，分类讨论和两种情况确定的值即可； （3）设，利用点到直线距离公式和椭圆的定义可得，进一步整理计算，结合三角函数的有界性求得即可确定的最小值． 【解答】解：（1）由题意可得， ， 的中点在轴上， 的纵坐标为， 代入得． （2）由直线方程可知， ①若，则，即， ， ． ②若，则， ，， ，． 即，，， 综上或． （3）设， 由点到直线距离公式可得， 很明显椭圆在直线的左下方，则， 即， ，， 据此可得，， 整理可得，即， 从而． 即的最小值为． 【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，点到直线距离公式及其应用，椭圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题． 15．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限． （1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； （3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值． 【分析】（1）根据条件可得，解出，利用，求得，即可求得答案； （2）分别表示出此时直线、直线的方程，求出其交点，验证即可； （3）设，，表示出直线、直线方程，解出、坐标，表示出，再利用基本不等式即可求出答案． 【解答】解：（1）由题可得，， 因为，所以，解得， 所以，故的标准方程为； （2）直线与直线的交点在椭圆上， 由题可得此时，，，， 则直线，直线，交点为，，满足， 故直线与直线的交点在椭圆上； （3），，则直线，所以， ，，则直线，所以， 所以， 设，则， 因为，所以， 则，即的最小值为6． 【点评】本题考查直线与椭圆的综合，涉及椭圆方程的求解，直线交点求解，基本不等式的应用，属于中档题． 16．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点的横坐标为2，求的长； （2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围． （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由题意，设出点的坐标，将点的坐标代入椭圆方程中再结合公式进行求解即可； （2）设出点的坐标，结合三角形面积公式以及题目所给信息，列出等式再进行求解即可； （3）设出，两点的坐标，根据对称性得到点的坐标，利用向量的运算以及题目所给信息求出，设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及点在直线上，即可求出满足条件的点坐标． 【解答】解：（1）因为点的横坐标为2， 不妨设， 因为点在椭圆上， 所以， 解得， 易知， 所以； （2）不妨设，， 此时， 因为， 所以， 即， 又， 所以， 解得， 则， 故的范围为，； （3）不妨设，，，，， 由对称性可得、关于轴对称， 所以，， 又，， 此时， 所以， 同理得， 因为， 所以， 解得或（无解）， 不妨设直线， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 解得， 此时， 又， 解得， 此时． 故存在轴上方的点，使得成立． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．（2021•上海）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上． （1）若是上顶点，，求的值； （2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程； （3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条． 【分析】（1）利用椭圆的方程，求出，，的值，求出和，由，即可求出的值； （2）设点，，利用平面向量数量积的坐标表示化简，求出点的坐标，设直线的方程为，然后利用点到直线的距离公式列出关于的方程，求出的值即可得到答案． （3）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，利用向量平行的坐标表示，化简可得，然后再利用韦达定理化简，由此得到关于和的等式，整理可得，利用的取值范围以及题中的条件，即可证明． 【解答】解：（1）因为的方程：， 所以，， 所以， 所以，， 若为的上顶点，则， 所以，， 又， 所以； （2）设点，， 则， 因为在线段上，横坐标小于0， 解得， 故， 设直线的方程为， 由原点到直线的距离为， 则，化简可得，解得或， 故直线的方程为或（舍去，无法满足， 所以直线的方程为； （3）联立方程组，可得， 设，，，， 则， 因为， 所以，又， 故化简为， 又， 两边同时平方可得，， 整理可得， 当时，， 因为点，在轴上方， 所以有且仅有一个解， 故对于任意，使得的直线有且仅有一条． 【点评】本题考查了平面向量与圆锥曲线的综合应用，直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题． 18．（2020•上海）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点． （1）若点纵坐标为，求与焦点的距离； （2）若，，，求证：为常数； （3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）点的横坐标，由，得，由此能求出与焦点的距离． （2）设，直线，当时，，同理求出，由此能证明为常数． （3）解设，，直线，联立，得，求出，同理得，由此能求出存在，使得且为常数1． 【解答】解：（1）解：抛物线上的动点，， 过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点． 点纵坐标为， 点的横坐标， ，， 与焦点的距离为． （2）证明：设，直线， 当时，， 直线，时，，， 为常数． （3）解：设，，直线， 联立，得， ，即， 同理得， ， ， 要使为常数，即，此时为常数1， 存在，使得且为常数1． 【点评】本题考查点到焦点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得； （2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角； （3）设直线，求得到直线的距离，判断直线与圆的关系：相切，可设切点为，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线才能与曲线有两个交点，解不等式可得的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围． 【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，； （2）由题意可得，为曲线的两个焦点， 由双曲线的定义可得，又，， 所以，因为，则， 所以， 在△中，由余弦定理可得 ， 由，可得； （3）设直线，可得原点到直线的距离， 所以直线是圆的切线，设切点为， 所以，并设与圆联立，可得， 可得，，即， 注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行， 所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点， 由，可得， 所以有，解得或（舍去）， 因为为在上的投影可得，， 所以， 则，． 【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 圆锥曲线（10类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2024年秋考7、20题 2024年春考8、20题 抛物线的定义、抛物线的焦点与准线，双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系 双曲线的定义、离心率的计算公式，直线与圆锥曲线综合问题 2023秋考16、20题 2023春考20题 与曲线方程有关的新定义，抛物线的定义及其性质、直线与抛物线综合应用 离心率的求法、椭圆与双曲线的几何性质、直线与椭圆的综合 2022秋考2、20题 2022春考11、20题 双曲线的性质，点到直线的距离公式、椭圆方程的求解、椭圆中最值与范围等问题 双曲线的性质，直线与椭圆综合、涉及椭圆方程求解、直线交点求解、基本不等式的应用 2021年秋考11、20题 2021年春考11、19题 直线斜率的定义与计算、抛物线的定义等知识，平面向量与圆锥曲线综合题、直线与椭圆位置关系的应用 椭圆的定义和性质，双曲线的方程在实际问题中的应用 2020年秋考10、20题 2020年春考15、20题 椭圆的简单性质的应用，双曲线与圆的定义和方程、直线与圆的方程、双曲线的方程联立 轨迹方程的求法与判断，点到焦点距离的求法、抛物线、直线方程等知识 2. 备考策略 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等． (2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2.根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义． (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆＋＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＋＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＋＝λ或＋＝λ(a>b>0，λ>0)． 3.求椭圆离心率或其范围的方法 (1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解． (2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝求解． (3)构造a，c的方程．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e. 4.与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是基本不等式． 5.求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)． 6.求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法． (2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论． 7.解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量． 8.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 9.圆锥曲线中最值的求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决． (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等． 10.求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． 11.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 12.存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意． 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在． 2．椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝(0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 3．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． (2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支． (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线． 4．双曲线的标准方程和简单几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 5．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线． 6．抛物线的标准方程和简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 7．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交⇔Δ>0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ＝0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ<0. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点． ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点． 8．弦长公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)， 则|AB|＝ ＝|x1－x2| ＝， 或|AB|＝|y1－y2| ＝. 知识讲解 考点一．椭圆的几何特征 1．（2024•闵行区校级模拟）已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，△的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为 　 　． 2．（2024•普陀区校级模拟）如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆的上、下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为 　　． 3．（2024•虹口区模拟）已知农历每月的第天的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为，其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有　　 ①农历每月第天和第天的月相外边缘形状相同； ②月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为； ③月相外边缘的离心率第8天时取最大值； ④农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 4．（2024•徐汇区校级模拟）已知，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则的离心率是 　　． 考点二．直线与椭圆的综合 5．（2024•徐汇区模拟）已知椭圆，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点． （1）若为椭圆上（除、外）任意一点，求直线和的斜率之积； （2）若，求直线的方程； （3）若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 6．（2024•浦东新区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右焦点分别为，，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求△的周长； （2）求△面积的取值范围； （3）求的最大值． 7．（2024•嘉定区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，设是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求△的周长； （2）求△面积的取值范围； （3）设、分别为△、△的内切圆半径，求的最大值． 8．（2024•松江区二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上． （1）求线段的长； （2）若线段的中点在轴上，求△的面积； （3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由． 考点三．椭圆与平面向量 9．（2024•浦东新区校级模拟）已知直线与椭圆，点，分别为椭圆的左右焦点，直线，，垂足分别为点，，那么“直线与椭圆相切”是“”的　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 10．（2024•金山区二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点，、，． （1）证明：点到右焦点的距离为； （2）设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； （3）当直线与轴不垂直，且的周长为4时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 11．（2024•黄浦区校级模拟）已知点、分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线，，垂足分别为点、．（1）求证：； （2）求证：为定值，并求出该定值； （3）求的最大值． 12．（2024•虹口区二模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，，且直线，的斜率之积为1． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由． 考点四．抛物线的焦点与准线 13．（2024•嘉定区校级模拟）将抛物线关于直线对称，得到抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为 　　． 14．（2024•普陀区校级模拟）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则　　． 15．（2024•浦东新区校级模拟）已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当时，，则　　． 16．（2024•普陀区模拟）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为 　　． 考点五．直线与抛物线的综合 17．（2024•宝山区三模）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 18．（2024•普陀区校级三模）已知抛物线：，焦点为，，为上的一个动点，是在点处的切线，点在上且与点不重合．直线与交于、两点，且平分直线和直线的夹角． （1）求的方程（用，表示）； （2）若从点发出的光线经过点反射，证明：反射光线平行于轴； （3）若点坐标为，求点坐标． 19．（2024•浦东新区校级模拟）已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，过与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点． （1）若，求点的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设为直线与直线的交点，求面积的最小值． 20．（2024•徐汇区校级模拟）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，直线与有两个不同的交点，． （1）当时，求到的距离； （2）若为原点，直线与的两条渐近线在一、二象限的交点分别为，，证明；当的面积最小时，直线平行于轴； （3）设为轴上一点，是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由． 考点六．双曲线的几何特征 21．（2024•青浦区校级模拟）已知，为双曲线的两个焦点，为虚轴的一个端点，，则的渐近线方程为 　 　． 22．（2024•浦东新区校级模拟）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过左焦点作直线与双曲线交于，两点在第一象限），若线段的中垂线经过点，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为 　 　． 23．（2024•奉贤区三模）若曲线的右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称的两点、使得三角形为等边三角形，则正数的取值范围是 　　． 24．（2024•浦东新区二模）已知双曲线的焦点分别为，，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 　 　． 考点七．直线与双曲线的综合 25．（2024•青浦区二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点． （1）求，的坐标和双曲线的渐近线方程； （2）如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率； （3）是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 26．（2024•闵行区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程； （2）若，双曲线左支上任意点均满足，求的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点、右支上存在点满足，求的离心率的取值范围． 27．（2024•宝山区校级四模）已知点在双曲线的一条渐近线上，、为双曲线的左、右焦点且． （1）求双曲线的方程； （2）过点的直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； （3）过点的直线与双曲线左右两支分别交于点、，求证：． 28．（2024•闵行区校级二模）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，的离心率为2，直线过与交于，两点，当时，△的面积为3． （1）求双曲线的方程； （2）已知，都在的右支上，设的斜率为． ①求实数的取值范围； ②是否存在实数，使得为锐角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点八．双曲线与平面向量 29．（2024•宝山区二模）已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点． （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若，求的取值范围； （3）椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为．记、的面积分别为、．求的最小值，并写出取最小值时点的坐标． 30．（2023•徐汇区校级三模）已知，是焦距为的双曲线上一点，过的一条直线与双曲线的两条渐近线分别交于，，，，且，过作垂直的两条直线和，与轴分别交于，两点，其中与轴交点的横坐标是． （1）求的值； （2）求的最大值，并求此时双曲线的方程； （3）判断以为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由． 31．（2024•闵行区二模）双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则　　． 32．（2024•浦东新区三模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，，、，为双曲线上的点． （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围． 考点九．曲线与方程 33．（2024•嘉定区校级模拟）数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的有　　 （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（3）（4） 34．（2024•闵行区校级模拟）设集合，，，点的坐标为，满足“对任意，都有”的点构成的图形为，满足“存在，使得”的点构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为　　 A．①、②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①、②都不正确 35．（2024•嘉定区校级模拟）若曲线的图象上任意不同的两点，，，，坐标都满足关系，则在①；②；③；④中，不可能是曲线的方程的序号为 　　（填上所有正确答案的序号）． 36．（2024•浦东新区校级三模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． （1）直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； （2）当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； （3）无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 考点十．直线与圆锥曲线的综合 37．（2024•闵行区二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的取值范围． 38．（2024•嘉定区校级模拟）已知曲线． （1）若曲线为双曲线，且渐近线方程为，求曲线的离心率； （2）若曲线为椭圆，且在曲线上．过原点且斜率存在的直线和直线与不重合）与椭圆分别交于，两点和，两点，且点满足到直线和的距离都等于，求直线和的斜率之积． （3）若，过点的直线与直线交于点，与椭圆交于，点关于原点的对称点为，直线交直线交于点，求的最小值． 39．（2024•长宁区校级三模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于、两点．设在点、处的切线分别为，，与轴交于点，与轴交于点，设与的交点为． （1）设点横坐标为，求切线的斜率，并证明； （2）证明：点必在直线上； （3）若、、、四点共圆，求点的坐标． 40．（2024•奉贤区三模）如图1：已知椭圆的方程为和椭圆，其中，分别是椭圆的左右顶点． （1）若，恰好为椭圆的两个焦点，椭圆和椭圆有相同的离心率，求椭圆的方程； （2）如图2，若椭圆的方程为．是椭圆上一点，射线，分别交椭圆于，，连接，，，均在轴上方），求证：，斜率之积为定值，求出这个定值； （3）在（2）的条件下，若，且两条平行线的斜率为，求正数的值． 一．选择题（共4小题） 1．（2024•嘉定区二模）双曲线和双曲线具有相同的　　 A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率 2．（2024•虹口区模拟）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有　　 A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3．（2024•静安区二模）设，则双曲线的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 4．（2024•杨浦区校级三模）在平面直角坐标系中，双曲线、的中心在原点，焦点都在轴上，且与不重合．记、的离心率分别为、，则“”是“与没有公共点”的　　条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二．填空题（共12小题） 5．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线的准线方程为，则其标准方程为 　　． 6．（2024•闵行区三模）若抛物线过点，则该抛物线的焦点为 　　． 7．（2024•黄浦区二模）抛物线的焦点到准线的距离是 　　． 8．（2024•杨浦区校级三模）已知双曲线的左、右焦点为、，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、．若为等边三角形，则的边长为 　　． 9．（2024•松江区校级模拟）已知，2，3，，且，，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则这样的椭圆共有 　　个． 10．（2024•宝山区校级四模）已知椭圆的左、右焦点为，，过作轴垂线交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 　　． 11．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则　　． 12．（2024•浦东新区校级四模）已知焦点在轴上的双曲线的离心率，则的取值范围是 　　． 13．（2024•黄浦区校级三模）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为20，则线段的长为 　　． 14．（2024•宝山区二模）已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点．若，则的离心率为　　． 15．（2024•浦东新区校级四模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 　　． 16．（2024•松江区校级模拟）设点是曲线右支上一动点，为左焦点，点是圆上一动点，则的最小值是 　　． 三．解答题（共1小题） 17．（2024•青浦区校级模拟）已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，△面积的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线与交于点，直线与交于点． ①求直线的方程； ②记，的面积分别为，，求的最大值． 一．选择题（共2小题） 1．（2024•闵行区校级三模）已知是圆柱下底面的一条半径，，，为该圆柱侧面上一动点，垂直下底面于点，若，则对于下述结论：①动点的轨迹为椭圆；②动点的轨迹长度为；以下说法正确的为　　 A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 2．（2024•黄浦区校级三模）设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为，点坐标为且满足，若在双曲线的右支上存在点使得成立，则双曲线的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 3．（2024•普陀区校级三模）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是　　． 4．（2024•浦东新区三模）已知点、位于抛物线上，，点为线段的中点，记点到轴的距离为．若的最小值为7，则当取该最小值时，直线的斜率为 　　． 5．（2024•宝山区三模）已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为　 　． 6．（2024•浦东新区校级三模）过抛物线的焦点的直线交于点，，交的准线于点，，点为垂足．若是的中点，且，则　　． 7．（2024•浦东新区校级模拟）考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中至少有两个顶点为椭圆的顶点．这样的等腰三角形有 　　个． 8．（2024•松江区二模）已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点．若，则双曲线的离心率为　　． 9．（2024•黄浦区校级三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动．当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动．记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为 　　． 三．解答题（共9小题） 10．（2024•闵行区校级三模）我们将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为． （1）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，求常数的值； （2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，过作斜率为的直线与椭圆有且只有一个公共点，求当为何值时，取得最小值，并求其最小值； （3）若椭圆与椭圆在“一簇椭圆系”中，椭圆上的任意一点记为，求证：的垂心必在椭圆上． 11．（2024•浦东新区校级模拟）已知椭圆（常数的左顶点，点，，为坐标原点； （1）若是椭圆上任意一点，，求的值； （2）设是椭圆上任意一点，，求的取值范围； （3）设，，，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由． 12．（2024•普陀区校级模拟）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴椭圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为． （1）求椭圆的方程及其“伴椭圆”方程； （2）若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴椭圆”相交于、两点，求弦的长； （3）在椭圆的“伴椭圆”上任取一点，过点作两条直线，，使得，与椭圆都只有一个公共点，且，分别与椭圆的“伴椭圆”交于，两点．证明：直线过原点． 13．（2024•浦东新区校级四模）已知椭圆的离心率为，且过点．圆的切线与椭圆相交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）直线，的斜率存在为，，直线的斜率存在为，若，求直线的方程； （3）直线，与圆的另一个交点分别为，，求与的面积之和的取值范围． 14．（2024•松江区校级模拟）已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为，点在上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； （3）过的右焦点，且斜率不为零的直线交于、两点，求△面积的最大值． 15．（2024•浦东新区校级四模）已知直线与双曲线相切于点． （1）试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值； （2）设直线过点且其法向量，证明：当时，在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为； （3）已知过点且与直线垂直的直线分别交、轴于、两点，又是线段中点，求点的轨迹方程． 16．（2024•杨浦区校级三模）已知抛物线，为第一象限内上的一点，直线经过点． （1）设，若经过的焦点，求与的准线的交点坐标； （2）设，已知与轴负半轴有交点，与有、两个交点，若将这三个交点从左至右重新命名为、、，有，求出所有满足条件的的方程； （3）设，，已知是在点处的切线，过点作直线使得，是与的另一个交点，求出关于的表达式，并求的最小值． 17．（2024•浦东新区校级三模）已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、． （1）求的方程； （2）证明：； （3）求的取值范围． 18．（2024•杨浦区校级三模）设，是双曲线上的两点．直线与双曲线的交点为，两点． （1）若双曲线的离心率是，且点在双曲线上，求双曲线的方程； （2）设、分别是双曲线的左、右顶点，直线平行于轴．求直线与斜率的乘积，并求直线与的交点的轨迹方程； （3）设双曲线，其中，，点是抛物线上不同于点、的动点，且直线与双曲线相交于另一点，直线与双曲线相交于另一点，问：直线是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 一．选择题（共2小题） 1．（2020•上海）已知椭圆，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，作垂直于轴的垂线交椭圆于、两点，且，两垂线相交于点，则点的轨迹是　　 A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 2．（2023•上海）已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则　　 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 二．填空题（共7小题） 3．（2022•上海）双曲线的实轴长为 　　． 4．（2024•上海）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么到轴的距离为 　　． 5．（2024•上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 　　． 6．（2021•上海）已知抛物线，若第一象限的，在抛物线上，焦点为，，，，求直线的斜率为 　　． 7．（2020•上海）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是　　． 8．（2021•上海）已知椭圆的左、右焦点为、，以为顶点，为焦点作抛物线交椭圆于，且，则抛物线的准线方程是 　　． 9．（2022•上海）已知，，，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 　　． 三．解答题（共10小题） 10．（2021•上海）（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标． （2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米， 11．（2024•上海）已知双曲线，，左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于、两点，且点在第一象限． （1）当离心率时，求的值； （2）当，△为等腰三角形时，求点的坐标； （3）连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 12．（2023•上海）已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为． （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为．若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围． 13．（2023•上海）已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； （3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 14．（2022•上海）设有椭圆方程，直线，下端点为，在上，左、右焦点分别为，、，． （1），中点在轴上，求点的坐标； （2）直线与轴交于，直线经过右焦点，在中有一内角余弦值为，求； （3）在椭圆上存在一点到距离为，使，随的变化，求的最小值． 15．（2022•上海）已知椭圆，、两点分别为的左顶点、下顶点，、两点均在直线上，且在第一象限． （1）设是椭圆的右焦点，且，求的标准方程； （2）若、两点纵坐标分别为2、1，请判断直线与直线的交点是否在椭圆上，并说明理由； （3）设直线、分别交椭圆于点、点，若、关于原点对称，求的最小值． 16．（2024•上海）在平面直角坐标系中，已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点． （1）若点的横坐标为2，求的长； （2）设的上、下顶点分别为、，记△的面积为，△的面积为，若，求的取值范围． （3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，是否存在轴上方的点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2021•上海）已知，，是其左、右焦点，直线过点，，交椭圆于，两点，且，在轴上方，点在线段上． （1）若是上顶点，，求的值； （2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程； （3）证明：对于任意，使得的直线有且仅有一条． 18．（2020•上海）已知抛物线上的动点，，过分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于、两点． （1）若点纵坐标为，求与焦点的距离； （2）若，，，求证：为常数； （3）是否存在，使得且为常数？若存在，求出的所有可能值，若不存在，请说明理由． 19．（2020•上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分． （1）若，求的值； （2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求； （3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$