2024-2025学年苏教版高一数学（必修1）《2.3.1全称量词命题与存在量词》提优训练

2024-2025学年苏教版高一数学（必修1） 《2.3.1全称量词命题与存在量词命题》提优训练 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列语句不是全称量词命题的是(　　) A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 自然数都是正整数 C. 高一(1)班绝大多数同学是团员 D. 每一个实数都有大小　 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．直角三角形的内角有一个是90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使>2 3．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 4．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　　) A．{a|a≥－3}　　　B．{a|a>－3} C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3} 5.下列命题中，真命题的个数为(　　) ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0； ②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x2＋2＝0. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4　 6．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x，2x＋1都是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题　 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 7.若“∃x∈R，kx2－kx－2≥0”是假命题，则实数k的取值范围是(　　) A. (－8，0) B. [－8，0) C. [－8，0] D. (－8，0]　 8.命题“∀x∈[－1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A. a≥4　 B. a≤4　 C. a≥5　 D. a≤5　 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．给出下列命题：其中是存在量词命题的为(　　) A．存在实数x>1，使x2>1 B．全等的三角形必相似 C．有些相似三角形全等 D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数 10．下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 11.下列命题中，是真命题的有(　　) A. ∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2 B. 空集是任何一个非空集合的真子集 C. ∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－1|<2 D. ∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解　 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列存在量词命题是真命题的序号是________． ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x，使x2＋2<0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 13.下列说法中，正确的是________．(填序号)　 ①命题“负数的平方是正数”是存在量词命题； ②∃a∈N，使3a为质数； ③∀k∈R，函数y＝mx＋1都是一次函数； ④∀x∈(2，＋∞)，x2－3x＋2>0.　 14.已知命题p：∀x∈，a≥3x－1，命题q：∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________．　 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（15分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)三角形的内角和为180°. (2)每个二次函数的图象都开口向下． (3)存在一个四边形不是平行四边形． (4)p：∀x∈R，x2＋2>0. (5)p：∃x∈R，x2＋1＝0. 16．（12分）用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 17.（16分）已知命题p：“∃x∈R，使x2－4x＋2m＝0”为假命题． (1) 求实数m的取值集合B； (2) 设A＝{x|2a<x<a＋3}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 18.（17分）已知集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1) 若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围； (2) 若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 19．（17分）命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏教版高一数学（必修1） 《2.3.1全称量词命题与存在量词命题》提优训练 （时间：100分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列语句不是全称量词命题的是(　　) A. 任何一个实数乘以零都等于零 B. 自然数都是正整数 C. 高一(1)班绝大多数同学是团员 D. 每一个实数都有大小　 【答案】C 【解析】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(1)班存在部分同学是团员，故C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C. 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．直角三角形的内角有一个是90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数，使>2 【答案】B 【解析】A是全称量词命题；B既是存在量词命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，所以D是假命题．故选B． 3．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题是(　　) A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 B．∃a<0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 C．∀a>0，b>0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 【答案】D 【解析】全称量词命题含有量词“∀”，故排除A，B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立．故选D． 4．已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的集合M是(　　) A．{a|a≥－3}　　　B．{a|a>－3} C．{a|a≤－3} D．{a|a<－3} 【答案】D 【解析】因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对∀a∈M，都有a∉A，所以a<－3.故选D． 5.下列命题中，真命题的个数为(　　) ①p：∀x∈R，x2－x＋≥0； ②q：所有的正方形都是矩形； ③r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0； ④s：至少有一个实数x，使x2＋2＝0. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4　 【答案】B 【解析】x2－x＋＝≥0，故①是真命题；x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．故选B. 6．给出四个命题：①末位数字是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，使x＞0；④对于任意实数x，2x＋1都是奇数．下列说法正确的是(　　) A．四个命题都是真命题　 B．①②是全称量词命题 C．②③是存在量词命题 D．四个命题中有两个假命题 【答案】C. 【解析】①④为全称量词命题；②③为存在量词命题；①②③为真命题；④为假命题． 7.若“∃x∈R，kx2－kx－2≥0”是假命题，则实数k的取值范围是(　　) A. (－8，0) B. [－8，0) C. [－8，0] D. (－8，0]　 【答案】D 【解析】由题意，得“∀x∈R，kx2－kx－2<0”是真命题．当k＝0时，－2<0，符合题意；当k≠0时，解得－8<k<0.综上，实数k的取值范围是－8<k≤0.故选D. 8.命题“∀x∈[－1，2]，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　) A. a≥4　 B. a≤4　 C. a≥5　 D. a≤5　 【答案】C 【解析】当该命题为真命题时，a≥(x2)max＝4，所以“a≥5”是“a≥4”的一个充分不必要条件．故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．给出下列命题：其中是存在量词命题的为(　　) A．存在实数x>1，使x2>1 B．全等的三角形必相似 C．有些相似三角形全等 D．至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数 【答案】ACD 【解析】易知ACD为存在量词命题，B为全称量词命题． 10．下列结论中正确的是(　　) A．∀n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B．∀n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．∃n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．∃n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 【答案】CD 【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除， 所以A，B错误，C，D正确． 11.下列命题中，是真命题的有(　　) A. ∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2 B. 空集是任何一个非空集合的真子集 C. ∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－1|<2 D. ∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解　 【答案】BC 【解析】对于A，不等式4x2>2x－1＋3x2化为x2－2x＋1>0，当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故A是假命题；对于B，空集是任何一个非空集合的真子集，故B是真命题；对于C，当x＝0时，|x－1|<2，故C是真命题；对于D，当a＝0，b≠0时，ax＋b＝0无解，故D是假命题．故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．下列存在量词命题是真命题的序号是________． ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在实数x，使x2＋2<0; ③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 【答案】①③④ 【解析】①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④. 答案：①③④ 13.下列说法中，正确的是________．(填序号)　 ①命题“负数的平方是正数”是存在量词命题； ②∃a∈N，使3a为质数； ③∀k∈R，函数y＝mx＋1都是一次函数； ④∀x∈(2，＋∞)，x2－3x＋2>0.　 【答案】②④ 【解析】命题“负数的平方是正数”是全称量词命题，故①错误；当a＝1时，3a＝3为质数，故②正确；当m＝0时，函数y＝1是常数函数，不是一次函数，故③错误；当x＞2时，x－2＞0，x－1＞0，所以x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)＞0，故④正确．故答案为：②④． 14.已知命题p：∀x∈，a≥3x－1，命题q：∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________；若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是________．　 【答案】 (－∞，2)　 [2，4] 【解析】若命题p：∀x∈，a≥3x－1为真命题，则a≥(3x－1)max＝2，所以若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(－∞，2)．若命题q：∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0为真命题，则Δ＝16－4a≥0，即a≤4.若命题p，q均是真命题，则实数a的取值范围是[2，4]．故答案为： (－∞，2)　 [2，4]． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（15分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假． (1)三角形的内角和为180°. (2)每个二次函数的图象都开口向下． (3)存在一个四边形不是平行四边形． (4)p：∀x∈R，x2＋2>0. (5)p：∃x∈R，x2＋1＝0. 解：(1)是全称量词命题且为真命题． (2)是全称量词命题且为假命题． (3)是存在量词命题且为真命题． (4)是全称量词命题且为真命题． (5)是存在量词命题且为假命题． 16．（12分）用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数． (3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． 17.（16分）已知命题p：“∃x∈R，使x2－4x＋2m＝0”为假命题． (1) 求实数m的取值集合B； (2) 设A＝{x|2a<x<a＋3}为非空集合，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1) 因为关于x的方程x2－4x＋2m＝0无实数根，所以Δ＝16－8m<0，解得m>2，即实数m的取值集合为B＝(2，＋∞)． (2) 因为A＝{x|2a<x<a＋3}为非空集合，所以2a<a＋3，即a<3. 因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以A⊆B，则2a≥4，即a≥2. 所以实数a的取值范围是2≤a<3. 18.（17分）已知集合A＝{x|－1≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅． (1) 若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围； (2) 若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 【解析】(1) 因为命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A. 又B≠∅，所以，解得2≤m≤4. (2) 因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题， 所以A∩B≠∅．因为B≠∅，所以m≥2， 所以，解得2≤m≤6. 19．（17分）命题成立；命题成立. (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围； (3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围. 解：（1）若命题为真命题，则，解得， 所以实数的取值范围是； （2）若命题为假命题，则，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由（1）（2）可知命题与命题均为假命题时，则 或，解得， 故命题与命题中至少有一个为真命题，则或 所以实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$