精品解析：广东省佛山市顺德区普通高中2024届高三下学期5月适应性考试数学试题

2023学年顺德区普通高中高三适应性考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上斯的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再利用求得的范围，判断即得. 【详解】由可得，由可得， 依题意，，故得. 故选：D. 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数化简，再根据模长公式计算. 【详解】因为, 所以. 故选：C. 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性法则即可得解． 【详解】解：由，可得， 则函数的定义域为， 又，在上单调递减， 在上单调递减， 则由复合函数的单调性法则可知，所求函数的单调递增区间为． 故选：A． 4. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式即可得解． 【详解】设公差为，则：， ． 故选：B． 5. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 或5 D. 0或3 【答案】B 【解析】 【分析】由条件及平面向量夹角的坐标运算建立方程可求得的值，再求得的坐标，再由求模公式计算即可． 【详解】因为，且， 所以，解得， ，则，则， 所以的值为5． 故选：B． 6. 已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作轴于点，设点的横坐标为，利用抛物线的定义得到，在中，利用余弦和二倍角的余弦公式即可求解． 【详解】解：过作轴于点，设点的横坐标为， 抛物线，则焦点，准线方程为， 根据抛物线的定义得， 在中， ， ． 故选：D． 7. 已知函数在区间上单调，，且对任意的，都有，则初相的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在区间上单调，得，又，则，又对任意的，都有，则为函数的最小值，然后分，，时讨论，即可得到初相的值. 【详解】因为函数在区间上单调， 所以，所以，又，则， 对任意的，都有， 即为函数的最小值， 当时，， 所以， 因为，则此时不存在； 当时，， 所以， 因为，则此时， ， 则，符合题意； 当时，， 所以， 因为，则此时， ， 则，不符合题意. 故选：D. 8. 如图，在中，AC边上的高为BH，且，矩形DEFG的顶点D，G分别在边BA，BC上，E，F都在边AC上，以AC为轴将旋转一周，则矩形DEFG旋转形成的几何体的最大体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，求出，可得矩形DEFG旋转形成的几何体的体积，利用导数求出最值可得答案. 【详解】由已知得，是等腰直角三角形， 设，则，所以， 因为，所以，可得，所以， 可得， 所以矩形DEFG旋转形成的几何体的体积为 ， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（ ） A. 本次测试及格分数线的估计值为60分 B. 本次测试优秀分数线的估计值为75分 C. 本次测试分数中位数的估计值为70分 D. 本次测试分数的平均数小于中位数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据百分位数的定义可判断AB，根据中位数的定义可判断，根据频率分布直方图左拖尾可判断D． 【详解】A．由频率分布直方图可知，分数小于60分的概率为，分数小于50分的概率为， 所以分数的分位数在区间内，故A错误； B．由频率分布直方图可知，分数大于80分的概率为0.2，分数大于70分的概率为0.5， 所以优秀分数线的估计值在区间内，设其为， 则， 解得，故B错误； C．因为分数大于70分的概率为0.5，所以本次测试分数中位数的估计值为70分，故C正确； D．因为频率分布直方图左拖尾，所以平均数小于中位数，故D正确． 故选：CD． 10. 如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（ ） A. 当运动时，总有 B. 当运动时，点到直线距离的最小值为 C. 存在点，使得平面 D. 当时，直线交于同一点 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，根据条件，得到面，再利用线面平行的性质，即可求解；选项B，根据条件得到为点到直线的距离，从而知当时，点到直线距离最小，再利用等面积，即可求解；选项C，建立空间直角坐标系，根据条件得到与不垂直，即可求解；选项D，根据条件得到必有交点，再利用基本事实3，即可求解. 【详解】对于选项A，因为分别为的中点，所以， 又为上的动点（不含端点），故面，所以面， 又面面，面，故，所以选项A正确， 对于选项B，由题知，所以，得到，即为点到直线的距离， 如图1，连接，因为，又平面平面，平面平面，面， 所以面，又面，所以， 在中，当时，点到直线距离最小， 又，，由，得到，所以选项B正确， 对于选项C，由选项B知，可建立如图2所示的空间直角坐标系， 则， 又分别是的中点，所以，设， 又，，， 由，得到，解得，又， 所以与不垂直，故不存在点，使得平面，所以选项C错误， 对于选项D，如图3，由（1）知，又，且， 又，所以，且，则必有交点， 设，因为面，所以面， 又面，所以面，得到面面， 所以直线交于同一点，故选项D正确， 故选：ABD. 11. 已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 一定不是奇函数 C. 若是偶函数，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】在中，令，求出，再令，，即可判断A；根据即可判断B；假设函数是偶函数，推出即可判断C；利用累加法得到，再表示出，利用放缩法即可证明D． 【详解】对于选项A：在中， 令，则，① 再令，，则，A正确； 对于选项B：由①得：， 故一定不是奇函数，B正确； 对于选项C：若是偶函数，则， 所以， 整理得：，故，C错误； 对于选项D：在中， 令，， 可得， 所以，又， 所以， ， ， ， 以上各式累加，得， 故 ，D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：选项D的关键是通过对的适当赋值、对的放缩，裂项求和来求解． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分（第14题第一空2分，第二空3分），共15分. 12. 在中，，则的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理可得的值，进而求出角的大小，代入三角形的面积公式可得该三角形的面积． 【详解】解：中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以， 所以． 故答案为：． 13. 已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与圆相切，利用点到直线的距离公式得，根据离心率公式求得，等量关系，即可求解． 【详解】解：由题可知双曲线其中一条渐近线方程，即， 因为其与圆相切， 故可得：①， 又，所以， 因为，所以②， ②代入①得， 则． 故答案为：． 14. 函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上___________（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为___________． 【答案】 ①. 不是 ②. 【解析】 【分析】根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义，先检验时，是否恒成立即可，举反例即可判断；再根据函数在上是3阶无穷递降函数可得恒成立，推理得到，结合图象即得a的最大值 【详解】由，，，满足， 由， 若取，则， 即时，，故函数在上不是2阶无穷递降函数； 若在上是3阶无穷递降函数， 则在上恒成立， 即，即，也即， 因时，恒成立，故只需使在上恒成立即可， 结合余弦函数的图象知，，即a的最大值为. 故答案为：不是；. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数新定义问题，属于难题. 解题思路即是，根据新定义规定一一检测，对于判断结论时，一般看能否推理结论成立，或者是否存在反例；对于由满足条件的函数求参问题，常常将其转化成函数不等式恒（能）成立问题解决. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设正项等比数列的前n项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合等比数列的求和公式先求出，，然后结合等比数列的通项公式即可求解； （2）结合等比数列的求和公式及基本不等式即可求解． 【小问1详解】 正项等比数列中，，， 所以，解得，（舍负）， 故； 【小问2详解】 正项数列满足，所以， 设，则，， ，当时，， 两式相除得，， 故，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， ，，，构成以为首项，以2为公比的等比数列， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 即取最小值时，． 16. 如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为四边形是菱形，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的关系，可得直线的平行，再由题意和菱形的性质可证得平面，进而可证得结论； （2）由题意建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出直线的方向向量与平面法向量的坐标，求出这两个向量的夹角的余弦值，进而求出线面所成的角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设交于，以为原点，以为轴，为轴，过作为轴建立空间直角坐标系， 由图可知，，，，，, 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 因为，，， 所以， 设直线与平面所成角为， 则． 因此直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． （1）规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； （2）假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 8 2 【解析】 【分析】（1）将表示出来，利用导数求最值； （2）卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张，对应的的所有可能取值为8，2，，，由此可得分布列及数学期望． 【小问1详解】 设连续三次测试结果为良好的概率为， 依题意得，， ，令得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当 时，取最大值为； 【小问2详解】 某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上， 卡片与原来位置相同的张数可能为4张、2张、1张 0张， 对应的的所有可能取值为8，2，，． 则，， ，， （或， 所以的分布列为： 8 2 数学期望为． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 【答案】（1） （2）①；②有， 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）①由题知直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消得到，再利用弦长公式，即可求解；②设直线，联立椭圆方程，消得到，设直线的斜率分别为，进而可得，又，即可求解. 【小问1详解】 由题知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， ①当直线的倾斜角为时，直线的方程为， 由，消得到， 所以， 所以. ②由（1）知，易知， 设直线，由，消得到， 所以， 设直线的斜率分别为，且， 所以， 得到，又， 当且仅当，即时，的最大值为， 又，所以的最大值为. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线，联立椭圆方程，消得到，由韦达定理知，设直线的斜率分别为，从而得出，又，即可求解. 19. 已知． （1）若，证明：在上单调递增； （2）若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 【答案】（1）由题可知， 令， ， 因为，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，， 所以函数在上单调递增． （2）①当时，由于，， ，所以，所以单调递减； 当时，令，，单调递增，又， ，所以在上存在唯一的实数，使得， 且当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故为函数在区间上的唯一极小值点， 当时，可证当时，单调递增， 即证恒成立，证明如下： 要使恒成立，只需证恒成立， 令，即证恒成立， 由于，结合与的图象可得， 存在使得， 则，所以在上的最小值， 显然，，， 由于，所以， 所以有，， 综上可证成立，故时，函数单调递增， 故为区间内的唯一最小值点． ②证明：由①知，当时，在上单调递增．故有成立， 任取，，其中， 则， 因为，，， 所以，所以， 故当时，， 综上可证，当时，． 【解析】 【分析】（1）根据，得出在上单调递增，再结合，，即可得证； （2）①分别判断函数的单调性，当时，得出所以单调递减；当时，得出存在唯一的实数，使得，且为函数在区间上的唯一极小值点，当时，通过构造函数，即证恒成立，得出时，函数单调递增，进而为区间内的唯一最小值点．②任取，，其中，通过作差法得出，即可得出当时，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】利用导数求解函数的单调区间及最值问题，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究．如本题中，可再次求导判断与0的大小关系，结合导数来研究． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年顺德区普通高中高三适应性考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上斯的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 4．请考生保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则a的值可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3 3. 函数的单调增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列是等差数列，若，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知向量，且，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 或5 D. 0或3 6. 已知M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则点M的横坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上单调，，且对任意的，都有，则初相的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，AC边上的高为BH，且，矩形DEFG的顶点D，G分别在边BA，BC上，E，F都在边AC上，以AC为轴将旋转一周，则矩形DEFG旋转形成的几何体的最大体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某企业是一所大学的社会实践基地，实践结束后学校对学生进行考核评分，其得分的频率分布直方图如图所示，该学校规定，把成绩位于后的学生划定为不及格，把成绩位于前的学生划定为优秀，则下列结论正确的是（ ） A. 本次测试及格分数线的估计值为60分 B. 本次测试优秀分数线的估计值为75分 C. 本次测试分数中位数的估计值为70分 D. 本次测试分数的平均数小于中位数 10. 如图，在三棱锥中，平面平面，且和均是边长为的等边三角形，分别为的中点，为上的动点（不含端点），平面交直线于，则下列说法正确的是（ ） A. 当运动时，总有 B. 当运动时，点到直线距离的最小值为 C. 存在点，使得平面 D. 当时，直线交于同一点 11. 已知定义域为的函数对任意实数x，y，都有成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. 一定不是奇函数 C. 若是偶函数，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分（第14题第一空2分，第二空3分），共15分. 12. 在中，，则的面积为___________． 13. 已知双曲线的离心率，圆与双曲线E的渐近线相切，则_________． 14. 函数定义域为D，若对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数．根据上述定义，已知函数，那么函数在上___________（填“是”或“不是”）2阶无穷递降函数；若函数在上是3阶无穷递降函数，则a的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设正项等比数列的前n项和为，已知． （1）求数列的通项公式； （2）设正项数列满足，其前n项和为，当取最小值时，求的值． 16. 如图，已知多面体的底面ABCD是菱形，侧棱底面，且． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某记忆力测试软件的规则如下：在标号为1、2、3、4的四个位置上分别放置四张相似的图片，观看15秒，收起图片并打乱，1分钟后，测试者根据记忆还原四张卡片的位置，把四张卡片分别放到四个位置上之后完成一次测试，四张卡片中与原来位置相同1张加2分，不同1张则扣1分． （1）规定：连续三次测试全部得8分为优秀，三次测试恰有两次得8分为良好，若某测试者在每次测试得8分的概率均为（），求他连续三次测试结果为良好的概率的最大值； （2）假设某测试者把四张卡片随机地放入四个位置上，他测试1次的得分为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 18. 已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 19. 已知． （1）若，证明：在上单调递增； （2）若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $