第十三章 轴对称-【一线优选卷】2023-2024学年八年级上册数学期末冲刺（人教版）

第十三章 轴对称 考点工轴对称 轴对称 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另 一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 如果一个平面图形沿一条直线折 (成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的 叠，直线两旁的部分能够互相重 定义 点是对应点，叫做对称点 合，这个图形就叫做轴对称图 注：折叠问题是轴对称变换，折痕所在的直线是对 形，这条直线就是它的对称轴 称轴 图示 (1)对称轴至少有1条 (1)成轴对称的两个图形全等 (2)对称轴两旁的部分是全等 性质 (2)成轴对称的两个图形只有一条对称轴 图形 (3)对应点所连线段被对称轴垂直平分 (3)对称轴两侧的对应点所连 线段被对称轴垂直平分 (1)轴对称图形是指具有特殊 (1)轴对称是指两个图形之间的相互位置关系 区别 形状的一个图形 (2)对称轴只有一条 (2)对称轴不一定只有一条 如果把轴对称中的两个图形看作一个整体，那么这个整体的图形也是轴对称图 联系 形，反之，如果把轴对称图形沿一条对称轴分开看作两个图形，那么这两个图形 成轴对称 》针对训练 练习1如图，属于轴对称图形的有 :两个图形成轴对称的有 .(填序号) 杂小@回日N2S☆1川装 ①②③ ④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ 08 一线优选卷数学八上RJ 练习2如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上. (1)图中点C的对应点是点 ,∠B的对应角是 (2)若DE=5,BF=2,则CF的长为 (3)若∠BAC=108°，∠BAE=30°，则∠EAF的度数为 考点2线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 2.线段垂直平分线的性质与判定 性质 判定 图示 文字 线段垂直平分线上的 与线段两个端点距离相等的点 语言 点与这条线段两个端 在这条线段的垂直平分线上 描述 点的距离相等 几何 如图，直线⊥AB,垂 如图，已知线段AB,PA= 语言 足为C,AC=CB,点P PB,∴点P在线段AB的垂直 描述 在I上，∴.PA=PB 平分线上 应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上 >针对训练 练习3如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别是 M,N. (1)若BC=10,求△ADE的周长； 第+三°/09 (2)若∠BAC=115°，求∠DAE的度数： (3)设直线DM,EN交于点O,试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由. 考点3尺规作图 1.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C(如图). 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁： (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E: (3)分别以点D和点E为圆心，大于2DE的长为半径作弧，两弧相交于点F; (4)作直线CF.直线CF就是所求作的垂线 2.作线段的垂直平分线 已知：线段AB 求作：线段AB的垂直平分线， 作法：如图.(1)分别以点A和点B为圆心，大于2AB的长为半径作弧，两孤相交于 C,D两点； (2)作直线CD.CD就是所求作的直线， 10 一线优选卷数学八上RJ >针对训练 练习4如图，在△ABC中，∠ACB=90°. (1)用尺规在AC上作点P,连接BP,使得AP=BP:(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若点P到AB和BC的距离相等，求∠A的度数， B 考点4)平面直角坐标系中的轴对称 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,一y):点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 (-x,y). )针对训练 练习5点（一2,1）关于x轴对称的点的坐标为 ;若点A(a,一2)和点B(3,b)关于 y轴对称，则a一b= 考点5等腰三角形 1.性质 (1)等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）： (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”） 【注意】解涉及等腰三角形的内角或边长的问题时，一般要考虑是否需要分类讨论，且分 类讨论后还需检验所得结果是否符合题意， 2.判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）： (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等 边”). 第*三/11 >针对训练 练习6在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是() A.∠A=30°，∠B=60° B.∠A=70°，∠B=50 C.∠A=40°，∠B=70° D.∠A=60°，∠B=80 练习7如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，中线AD与角平分线CE交 于点F,则∠CFD的度数为 () A.25 B.35 C.45 D.55 考点6等边三角形 1.性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 2.判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形（定义）： (2)三个角都相等的三角形是等边三角形： (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. >针对训练 练习8如图，在等边三角形ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点 E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数： (2)求证：DC=CF 12 一线优远卷数学八上RJ 考点7)含30°角的直角三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 》针对训练 练习9如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2,则CB= 考点8最短路径问题 问题及作法 结论 4 连接AB交直 线I于点P 点P使PA十PB的值最小，最小值为线段AB的长 B 作点B关于直线 的对称点B,连 接AB,与直线1 A A.B 交于点P 点P使PA十PB的值最小，最小值为线段AB的长 - 分别作点P关 于OA.OB的 对称点P,P, 点M,N使得△PMN的周长最小，最小值为线段 连接Pp”,分 P'P"的长 别交A,ODB 于点M.N 》针对训练 练习10如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P,A为OM上一动点，B为 ON上一动点，OP=a,当△PAB的周长最小时，∠APB=,△PAB的周长的最小 值是 M 第+三/13练习4解：(1)如图所示，射线BM即为所求 (2)如图所示，射线AN即为所求. D 第十三章轴对称 练习1①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩ ②⑤⑥⑦⑨ 练习2(1)E∠D(2)3(3)39° 练习3解：(1)DM是AB的垂直平分线，EN是AC的垂直平分线，∴.DA=DB,EA =EC.又BC=10,.△ADE的周长为DA十DE+EA=DB+DE+EC=BC=10. (2)∠BAC=115°，.∠B+∠C=180°-∠BAC=65°.，DA=DB,EA=EC,∴.∠B ∠DAB,∠C=∠EAC..∠DAB+∠EAC=∠B+∠C=65°.∴.∠DAE=∠BAC (∠DAB+∠EAC)=50°. (3)点O在BC的垂直平分线上.理由如下：连接OA,OB,OC..OM是AB的垂直平分 线，ON是AC的垂直平分线，∴.OA=OB,OA=OC.∴.OB=OC.·∴.点O在BC的垂直平 分线上. 练习4解：(1)如图所示，点P即为所求作。 (2)由(1)，得PD垂直平分AB,∴.∠PDB=90°.，AP=BP,∴.∠A=∠ABP.点P到 AB和BC的距离相等，∠PDB=∠ACB=90°，.BP平分∠ABC..∠ABP=∠CBP ∴.∠A=∠ABP=∠CBP.,∠ACB=90°，.∠A+∠ABP+∠CBP=90°.∴.∠A=30 练习5（一2，一1）一1练习6C练习7D 练习8(1)解：，△ABC是等边三角形，∴.∠B=60°.，DE∥AB,∴.∠EDF=∠B= 60°.，EF⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°. (2)证明：，△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠B=∠ACB=60°.又DE∥AB,.∠EDC =∠B,∠DEC=∠A.,∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°.·△DEC是等边三角形. 参若咨军/23 .CE=DC.∠ECD=∠F+∠CEF=60°，∠F=30°，.∠CEF=∠F=30°.∴.CE= CF..'DC=CF. 练习94练习10120°a 第十四章整式的乘法与因式分解 练习1D练习2B练习3D 练习4(1)-6.x3y3(2)8ab-2b3(3)4xy 46r2-17xy+5y262a+3ab-20 练习5D练习6(1)39(2)5 练习7(1)4x2-25y2(2)13x2-8.xy+5y 练习8(1)2ab(2-a)(2)(5.x+3y)(5.x-3y) (3)2b(a-2b)2(4)(.x-3)2(.x+3) 第十五章分式 练习1B练习2D练习3C练习4C练习5C 练习6%(2)y (3)4+1 y a-1 练习7x(x一2)练习8 3y2 10.x 12xy 12x2y 练习9D练习10一3 练习11(1)1(2)1(3) x十1 (4)X-2 练习12 解：原式-[3号· a-1 当a=2时，原式=1. 练习13x=一7练习141或3 练习15解：设第一次每本笔记本的单价是x元. 根据题意，得600 600 1+25%0z=30.解得x=4. 经检验，x=4是原分式方程的解，且符合题意. 答：第一次每本笔记本的单价是4元 24 一线优选卷数学八上RJ