专题01 集合的8种考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第一册）

专题01 集合的8种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知集合相等求参数 2 类型二、集合与方程的综合问题 3 类型三、由集合间关系确定参数 5 类型四、集合间关系的探索问题 7 类型五、集合运算的参数问题 10 类型六、补集思想应用之正难则反 13 类型七、集合运算的新定义问题 14 类型八、容斥原理 18 压轴能力测评 19 1. 集合中元素的特征： 确定性、互异性、无序性． 2. 集合相等： 如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． 3．子集与真子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 4．子集的个数 子集：2n个；真子集：2n﹣1个．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 5．并集及其运算 ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 6．交集及其运算 ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 7．交、并、补集的混合运算 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 类型一、已知集合相等求参数 已知集合相等求参数的方法 从集合相等的概念入手,寻找两个集合中元素之间的关系.先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等,共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解. 当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否使集合中的元素满足互异性. 例1．（2023秋•迎江区校级期末）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【变式训练1】（2023秋•汉寿县校级期末）设，，集合，，，则　　 A．1 B． C．2 D． 【变式训练2】（2023秋•米东区校级期末）含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，，，则　 　． 类型二、集合与方程的综合问题 集合与方程的综合问题的求解思路 对于方程 ax2+bx+c=0的解集中的元素个数问题,一般思考过程如下： 第一步:判断方程的类型,先考虑a是否为0,若不是,则执行第二步,若是,再看b是否为0,若 b≠0.则方程有唯一解,即解集中的元素个数为1,若b=0,c=0,则方程有无数解，即解集为无限集,若b=0,c≠0,则方程无解,即解集中的元素个数为 0. 第二步:判断一元二次方程解的情况,考虑一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2 - 4ac, 若△>0,则解集中有两个元素; 若△=0,则解集中有一个元素; 若Δ<0,则解集中的元素个数为0. 例2.（2024•宝鸡模拟）若集合中只有一个元素，则实数　　 A．1 B．0 C．2 D．0或1 【变式训练1】（2023•兴宁区校级开学）若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 　 　． 【变式训练2】（2023秋•南安市校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 类型三、由集合间关系确定参数 根据集合间的包含关系求参数范围的方法 已知两个集合之间的包含关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解、一般地,若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 例3.（2024春•山东月考）已知非空集合，若，则实数的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 【变式训练1】（2024春•红谷滩区校级期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【变式训练2】（2023秋•昆明期末）已知集合，，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 类型四、集合间关系的探索问题 集合中存在性问题的解题思路 对于存在性问题，一般是先假设存在,然后依据题目条件求解,若能求出,并检验满足题意,则真的存在;若不能求出或求出后不符合题意,则不存在. 例4．（2023秋•东城区期中）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【变式训练1】（2022秋•涪城区校级月考）在①；②；③是的真子集．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由． 问题：是否存在集合，满足集合，集合且，使得 _____成立？ 【变式训练2】（2022秋•忻州月考）设是正实数集的非空子集，称集合，，且为集合的孪生集． （1）当，5，时，写出集合的孪生集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其孪生集的子集个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其孪生集，8，14，16，21，，并说明理由． 类型五、集合运算的参数问题 求集合运算中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能-一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系 (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解及若有解应满足什么条件的问题， (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围 解题时,需注意两点: ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参数的集合问题时,要注意这一隐含的条件; ②对于涉及AUB=A或A∩B=B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解,注意空集的特殊性. 例5．（2023秋•鄄城县校级月考）设集合，，，，若，则实数　　 A． B． C．或 D．或 【变式训练1】（2023秋•思明区校级月考）已知集合，，若，则实数的取值集合是　　 A． B． C． D． 【变式训练2】（2022秋•青浦区校级期中）已知集合，，，若，则的取值集合为 　 　． 【变式训练3】（2022秋•龙川县校级期末）已知集合，． （1）求． （2）已知，若，求实数的取值集合． 类型六、补集思想应用之正难则反 补集思想及运用补集思想解题的步骤 1.补集思想“正难则反”的策略运用的就是补集思想,如已知全集U,求子集A,若直接求A有困难,可先求A的补集. 2.解题的步骤: 第一步:否定已知条件，考虑反面问题; 第二步:求解反面问题对应的参数范围; 第三步:取反面问题对应的参数范围的补集. 例6．若三个方程，和中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是　 　． 【变式训练1】（2020秋•会宁县校级月考）若三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为　 　． 【变式训练2】已知集合或，，若，求实数的取值范围． 类型七、集合运算的新定义问题 新定义问题 新定义问题是基于教材概念延伸拓展出来的新知识，首先要理解定义概念，然后根据例题过程熟悉逻辑关系并灵活运用新定义. 例7.（2022秋•韶关校级月考）设集合，且，都是集合的子集，如果把，叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 　 　． 【变式训练1】（2024•福清市校级模拟）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集，，，满足以下3个条件：①，，，均非空；②，，，中任意两个集合交集为空集；③．则称，，，为集合的一个阶分拆．若，2，3，，，，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 　 　，最大值等于 　 　． 【变式训练2】（2024春•延庆区期末）设正整数，集合，，，，，，2，，，对应集合中的任意元素，，和，，，及实数，定义：当且仅当，2，，时；，，；，，．若的子集，，满足：当且仅当时，，0，，，则称为的完美子集． （Ⅰ）当时，已知集合，0，，，1，，，0，，，2，，，3，，，5，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； （Ⅱ）当时，已知集合，，，，，，，，．若不是的完美子集，求的值； （Ⅲ）已知集合，，，其中，，，2，．若对任意，2，3都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例． 类型八、容斥原理 容斥原理 如果用card(A)表示有限集合A中元素的个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)= card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 例8.（2023春•大理州期末）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 【变式训练1】（2024•柳州三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 【变式训练2】（2021秋•泉山区校级期中）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为 　 　． 1．若集合满足对任意，，都有，则称为“集”．若，，，为四个集，且，，则正整数的最大可能值为　　 A．66 B．67 C．68 D．69 2．某民族学校有的学生喜欢民歌或民舞，的学生喜欢民歌，的学生喜欢民舞，则该学校既喜欢民歌又喜欢民舞的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 3．（2024•河南模拟）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D．，， 4．（2022秋•金寨县校级期末）设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，没有元素使得与同时成立，求实数的取值范围． 5．（2023秋•海淀区校级月考）已知集合中元素的个数为，且元素均为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，，，，，，，，，若集合，，中的元素满足，，，2，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，2，，，2，3，4，5，，判断集合和集合是不是“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合，，3，4，5，为“完美集合”，求正整数的值． 6．（2021秋•黄浦区校级期中）设集合为非空数集，定义，、，，、． （1）若，，写出集合、； （2）若，，，，，且，求证：； （3）若，且，求集合元素个数的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合的8种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知集合相等求参数 2 类型二、集合与方程的综合问题 3 类型三、由集合间关系确定参数 5 类型四、集合间关系的探索问题 7 类型五、集合运算的参数问题 10 类型六、补集思想应用之正难则反 13 类型七、集合运算的新定义问题 14 类型八、容斥原理 18 压轴能力测评 19 1. 集合中元素的特征： 确定性、互异性、无序性． 2. 集合相等： 如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． 3．子集与真子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B； 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 4．子集的个数 子集：2n个；真子集：2n﹣1个．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 5．并集及其运算 ①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）． 6．交集及其运算 ①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）． 7．交、并、补集的混合运算 集合交换律 　A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A． 集合结合律 　（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）． 集合分配律 　A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）． 集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB． 集合吸收律 　A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A． 集合求补律 　A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅． 类型一、已知集合相等求参数 已知集合相等求参数的方法 从集合相等的概念入手,寻找两个集合中元素之间的关系.先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等,共有几种情况，然后通过列方程或方程组求解. 当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论.求出参数值后要注意检验是否使集合中的元素满足互异性. 例1．（2023秋•迎江区校级期末）已知集合，1，，，0，，若，则等于　　 A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】 【考点】集合的相等 【分析】根据即可得出，解出，并检验是否满足集合元素的互异性即可． 【解答】解： ， 解得，或3， 不满足集合元素的互异性，应舍去， ． 故选：． 【变式训练1】（2023秋•汉寿县校级期末）设，，集合，，，则　　 A．1 B． C．2 D． 【分析】根据集合的相等求出，的值，从而求出即可． 【解答】解：集合，，， ，， 故，，， 故选：． 【变式训练2】（2023秋•米东区校级期末）含有三个元素的集合既可表示成，又可表示成，，，则　　． 【答案】． 【考点】集合的相等 【分析】由集合相等的定义列出方程组，求出，，由此能求出的值． 【解答】解：含有三个实数的集合既可表示成，，，又可表示成，，， ，解得，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查代数式化简求值，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 类型二、集合与方程的综合问题 集合与方程的综合问题的求解思路 对于方程 ax2+bx+c=0的解集中的元素个数问题,一般思考过程如下： 第一步:判断方程的类型,先考虑a是否为0,若不是,则执行第二步,若是,再看b是否为0,若 b≠0.则方程有唯一解,即解集中的元素个数为1,若b=0,c=0,则方程有无数解，即解集为无限集,若b=0,c≠0,则方程无解,即解集中的元素个数为 0. 第二步:判断一元二次方程解的情况,考虑一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2 - 4ac, 若△>0,则解集中有两个元素; 若△=0,则解集中有一个元素; 若Δ<0,则解集中的元素个数为0. 例2.（2024•宝鸡模拟）若集合中只有一个元素，则实数　　 A．1 B．0 C．2 D．0或1 【答案】 【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值 【分析】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解． 【解答】解：当时，由可得，满足题意； 当时，由只有一个根需满足△， 解得． 综上，实数的取值为0或1． 故选：． 【变式训练1】（2023•兴宁区校级开学）若集合中至多有一个元素，则实数的范围为 　 　． 【答案】或． 【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断 【分析】由题意得，至多一个解，结合方程解的存在条件对的范围进行分类讨论即可求解． 【解答】解：若集合中至多有一个元素， 则至多一个解， 当时，只有一个解，符合题意； 当时，△，解得， 故的范围为或． 故答案为：或． 【变式训练2】（2023秋•南安市校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的值为0或，当时，元素为，当时，元素为； （3）． 【考点】元素与集合关系的判断 【分析】（1）是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）讨论、，分别求出值和集合中的元素； （3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围． 【解答】解：（1）是空集，且△，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，△，，解得，此时集合， 综上所求，的值为0或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于的方程有实数根，则△，得． 综上，若集合中至少有一个元素，则实数的取值范围为． 类型三、由集合间关系确定参数 根据集合间的包含关系求参数范围的方法 已知两个集合之间的包含关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解、一般地,若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性;若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到. 例3.（2024春•山东月考）已知非空集合，若，则实数的取值范围为　　 A． B．， C． D．， 【答案】 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】先确定集合，，由确定的取值范围． 【解答】解：根据题意，， 因为，所以，则， 所以． 故选：． 【变式训练1】（2024春•红谷滩区校级期末）已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2），，． 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】（1）由得，和时，求得结果． （2）若，分成和时，可求得结果． 【解答】解：（1）由得， 当时，则有， 解得； 当时，则有， 解得； 所以实数的取值范围为． （2）若，则有 当时，则有， 解得； 当时，或， 得或， 综上：或， 即取值范围为，，． 【变式训练2】（2023秋•昆明期末）已知集合，，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2），． 【考点】集合的包含关系的应用 【分析】由，为非空数集，得，即，由此结合子集与真子集的概念，算出实数的取值范围． 【解答】解：因为，为非空数集，得，解得， （1）若，则，解得，即实数的取值范围是，； （2）若，则（等号不同时取得），解得，即实数的取值范围是，． 类型四、集合间关系的探索问题 集合中存在性问题的解题思路 对于存在性问题，一般是先假设存在,然后依据题目条件求解,若能求出,并检验满足题意,则真的存在;若不能求出或求出后不符合题意,则不存在. 例4．（2023秋•东城区期中）设是实数集的非空子集，称集合，且为集合的生成集． （1）当，3，时，写出集合的生成集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其生成集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，，并说明理由． 【考点】子集与真子集；元素与集合关系的判断 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，，，，，且，利用生成集的定义即可求解； （3）不存在，理由反证法说明． 【解答】解：（1），3，，，10，； （2）设，，，，，不妨设， 因为，所以中元素个数大于等于7个， 又，，，，，，，，，，，，此时中元素个数大于等于7个， 所以生成集中元素个数的最小值为7； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其生成集，3，5，6，10，， 不妨设，则集合的生成集，，，，，； 则必有，，其4个正实数的乘积； 也有，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，． 【点评】本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题． 【变式训练1】（2022秋•涪城区校级月考）在①；②；③是的真子集．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由． 问题：是否存在集合，满足集合，集合且，使得 _____成立？ 【答案】时，使得①、③成立；时使得②成立． 【考点】集合的包含关系判断及应用 【分析】若选编号①，则可得，，根据元素与集合的关系可解；若选编号②，则的两根为1，2，根据韦达定理可解；若选编号③，由，推得或，从而可解． 【解答】解：，， 选编号①，要使得，则，， 所以且，解得， 选编号②，由，，即的两根为1，2， 由韦达定理可得，解得， 选编号③，，由则或， 当时，， 当时，无解， 所以， 综上可得，时，使得①、③成立；时使得②成立． 【点评】本题主要考了集合的基本运算，属于基础题． 【变式训练2】（2022秋•忻州月考）设是正实数集的非空子集，称集合，，且为集合的孪生集． （1）当，5，时，写出集合的孪生集； （2）若是由5个正实数构成的集合，求其孪生集的子集个数的最小值； （3）判断是否存在4个正实数构成的集合，使其孪生集，8，14，16，21，，并说明理由． 【答案】（1），14，； （2）128； （3）不存在，理由见解析． 【考点】子集与真子集 【分析】（1）由孪生集的定义求解即可； （2）不妨设，，，，，，由不等式的性质可得，即集合中元素个数至少为7，则集合的子集个数的最小值为，得解； （3）假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其孪生集，8，14，16，21，，不妨设，，，，且，结合不等式的性质可得，，，，则，，然后推出矛盾即可． 【解答】解：（1）已知是正实数集的非空子集，称集合，，且为集合的孪生集， 又，5，， 则集合的孪生集，14，； （2）已知是由5个正实数构成的集合， 不妨设，，，，，， 由不等式的性质可得， 即集合中元素个数至少为7， 则集合的子集个数的最小值为， 即孪生集的子集个数的最小值为128； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其孪生集，8，14，16，21，， 不妨设， 则，，，， 则，， 又， 即假设不成立， 即不存在4个正实数构成的集合，使其孪生集，8，14，16，21，． 【点评】本题考查了集合及其子集，重点考查了不等式的性质，属中档题． 类型五、集合运算的参数问题 求集合运算中参数的思路 (1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能-一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系;与不等式有关的集合，则可利用数轴得到不同集合之间的关系 (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)是否有解及若有解应满足什么条件的问题， (3)解方程(组)或解不等式(组)来确定参数的值或范围 解题时,需注意两点: ①由集合间的运算得到的新集合一定要满足集合中元素的互异性,在求解含参数的集合问题时,要注意这一隐含的条件; ②对于涉及AUB=A或A∩B=B的问题，可利用集合的运算性质，转化为相关集合之间的关系求解,注意空集的特殊性. 例5．（2023秋•鄄城县校级月考）设集合，，，，若，则实数　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【考点】交集及其运算 【分析】根据给定条件，利用交集的结果结合集合元素的性质求解作答． 【解答】解：集合，，，，则，且，解得，且， 由，得，或， 解，得或（舍去）；解，得（舍去）或（舍去）， 所以． 故选：． 【变式训练1】（2023秋•思明区校级月考）已知集合，，若，则实数的取值集合是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】并集及其运算 【分析】由可得，由的可能结果，分类讨论求实数的取值范围． 【解答】解：方程的根为或，即，， 若，则， 当时，有△，解得； 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当，时，有，方程组无解； 综上可得，实数的取值集合为． 故选：． 【变式训练2】（2022秋•青浦区校级期中）已知集合，，，若，则的取值集合为 　，0，　． 【答案】，0，． 【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用 【分析】由题意可知，分、两种情况讨论，分析出方程的解的情况，综合可求得实数的值． 【解答】解：因为， 则， ①若，则，符合题意； ②若，则，则或，解得或1； 综上所述，实数的取值集合为，0，． 故答案为：，0，． 【变式训练3】（2022秋•龙川县校级期末）已知集合，． （1）求． （2）已知，若，求实数的取值集合． 【考点】18：集合的包含关系判断及应用；：交、并、补集的混合运算 【分析】（1）由集合，，先求出，由此能求出． （2）由，，，列出不等式组，能求出实数的取值集合． 【解答】解：（1）集合，． ， 或． （2），，， ，解得． 实数的取值集合为，． 【点评】本题考查交集、补集、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集、子集的定义的合理运用． 类型六、补集思想应用之正难则反 补集思想及运用补集思想解题的步骤 1.补集思想“正难则反”的策略运用的就是补集思想,如已知全集U,求子集A,若直接求A有困难,可先求A的补集. 2.解题的步骤: 第一步:否定已知条件，考虑反面问题; 第二步:求解反面问题对应的参数范围; 第三步:取反面问题对应的参数范围的补集. 例6．若三个方程，和中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围是　 　． 【考点】函数的零点与方程根的关系 【分析】从反面思考，当三个方程均无实根求出的取值范围，再取补集即可． 【解答】解：当三个方程均无实根时，有， ， ， 故三个方程均无实根时，的取值范围为， 三个方程中至少有一个方程有实根时，实数的取值范围为，，． 故答案为：，，． 【变式训练1】（2020秋•会宁县校级月考）若三个关于的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为　　． 【分析】先求出当三个方程均无实根时，实数满足的范围，再取补集即可． 【解答】解：当三个方程均无实根时，有， 解得， ， 要使三个方程至少一个有实根，则或， 故答案为：． 【变式训练2】已知集合或，，若，求实数的取值范围． 【考点】交集及其运算 【分析】运用取补法，由，，求出与交集即为空集时的范围，即可得出与交集不为空集时的范围即可． 【解答】解：或，， 若，则有，， 解得：或， 则时，的范围为或． 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 类型七、集合运算的新定义问题 新定义问题 新定义问题是基于教材概念延伸拓展出来的新知识，首先要理解定义概念，然后根据例题过程熟悉逻辑关系并灵活运用新定义. 例7.（2022秋•韶关校级月考）设集合，且，都是集合的子集，如果把，叫作集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是 　　． 【答案】． 【考点】子集与真子集；交集及其运算 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 【解答】解：由题意可知，的长度为，的长度为，，都是集合的子集， 当的长度的最小值时，与应分别在区间，的左右两端，即，， 故，， 则的长度的最小值为． 故答案为：． 【变式训练1】（2024•福清市校级模拟）设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集，，，满足以下3个条件：①，，，均非空；②，，，中任意两个集合交集为空集；③．则称，，，为集合的一个阶分拆．若，2，3，，，，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于 　0　，最大值等于 　　． 【答案】0；1012． 【考点】子集与真子集 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，，从而可得的最值． 【解答】解：由题意：取，4，5，8，9，12，，2021，，，3，6，7，，2022，， 因为：，，，，所以， 则为最小值；取，3，4，5，，2023，，， 为最大值． 故答案为：0；1012． 【变式训练2】（2024春•延庆区期末）设正整数，集合，，，，，，2，，，对应集合中的任意元素，，和，，，及实数，定义：当且仅当，2，，时；，，；，，．若的子集，，满足：当且仅当时，，0，，，则称为的完美子集． （Ⅰ）当时，已知集合，0，，，1，，，0，，，2，，，3，，，5，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由； （Ⅱ）当时，已知集合，，，，，，，，．若不是的完美子集，求的值； （Ⅲ）已知集合，，，其中，，，2，．若对任意，2，3都成立，判断是否一定为的完美子集．若是，请说明理由；若不是，请给出反例． 【答案】（Ⅰ）是的完美子集，不是完美子集； （Ⅱ）； （Ⅲ）是的完美子集． 【考点】交、并、补集的混合运算；子集与真子集；集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用；集合交并补混合关系的应用 【分析】（Ⅰ）根据完美子集的定义，设，0，，列方程组求得，，的值即可判断； （Ⅱ）由题意可得：存在，，，0，，使得，0，， ，列出方程组，解方程组求出的值即可求解； （Ⅲ）假设存在不全为0的实数，，满足，0，，不妨设 ，则，由结合已知条件得出矛盾即可求解． 【解答】解（Ⅰ）设，0，，即，所以是完美子集，设，0，，可得， 解得：，，所以不是完美子集； （Ⅱ）因为集合，，，，，，，，不是的完美子集， 所以存在，，，0，，使得，0，， 即， 由集合的互异性可得：且且，所以且， 所以，可得，，，， 所以， 即， 所以， 所以或， 当时，，解得：， 所以存在使得，0，， 当时，因为，所以，，不符合题意， 所以； （Ⅲ）一定是的完美子集， 假设存在不全为0的实数、、满足，0，， 不妨设，则，否则与假设矛盾， 由，可得， 所以与即矛盾，所以假设不成立， 所以，所以， 所以一定是的完美子集． 【点评】此题属于新概念题，主要是要理解所给的定义，属于难题． 类型八、容斥原理 容斥原理 如果用card(A)表示有限集合A中元素的个数,则有如下结论: (1)card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B); (2)card(A∪B∪C)= card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C). 例8.（2023春•大理州期末）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表示交并补混合运算 【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可． 【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图： 所求比例为：． 故选：． 【变式训练1】（2024•柳州三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】分层随机抽样 【分析】设有的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有只喜欢足球，有只喜欢游泳，列方程能求出结果． 【解答】解：设有的学生既喜欢足球又喜欢游泳，则有只喜欢足球，有只喜欢游泳， 由题意得：， 解得． 该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是． 故选：． 【变式训练2】（2021秋•泉山区校级期中）某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为 　28　． 【答案】28． 【考点】图表达集合的关系及运算 【分析】设喜欢篮球运动、乒乓球运动的学生构成的集合分别为，，全集为，设这两项运动都喜欢的有人，根据题意画出图，利用图即可求解． 【解答】解：设喜欢篮球运动、乒乓球运动的学生构成的集合分别为，，全集为， 设这两项运动都喜欢的有人， 由题意可得图，如图所示， 故，解得， 故喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为． 1．若集合满足对任意，，都有，则称为“集”．若，，，为四个集，且，，则正整数的最大可能值为　　 A．66 B．67 C．68 D．69 【答案】 【考点】子集与交集、并集运算的转换；元素与集合关系的判断 【分析】首先观察本题中集合中只考虑整数，故首先考虑集合中所含最小正整数1，其次考虑第二个整数2．则第三个整数应为4，以此类推得到后续整数满足规律．同理当集合中所含第一个整数1，第二个整数3，发现后续整数为所有正奇数．从而发现规律． 【解答】解：考虑到最后与取交集，则集合中只考虑整数． ①假设集合中所含第一个整数为1，第二个整数为2， 则以此类推后续整数为1，2，4，7，10， 故观察规律发现从第三个数开始满足，， ②假设集合中所含地一个整数为1，第二个整数为3， 则后续整数为1，3，5，7，9， 故观察规律发现从第一个数字开始满足，， 则最大整数可能值既满足又满足， 令， 则可发现我们需要寻找的最大整数为， 其中即是2的倍数，又是3的倍数， 故为6的倍数， 由此可得最大整数，， 代入选项发现选项满足题意． 故选：． 【点评】此题主要考考查集合的交并关系并结合整数解及数列相关知识，属于较难题． 2．某民族学校有的学生喜欢民歌或民舞，的学生喜欢民歌，的学生喜欢民舞，则该学校既喜欢民歌又喜欢民舞的学生数占该校学生总数的比例是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】图表达集合的关系及运算 【分析】利用集合的运算可解． 【解答】解：根据题意，该学校既喜欢民歌又喜欢民舞的学生数占该校学生总数的比例是， 故选：． 3．（2024•河南模拟）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为　　 A．， B． C． D．，， 【答案】 【考点】子集与真子集 【分析】根据真子集的定义，推断出集合含有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数解，由此进行分类讨论，列式算出实数的取值范围． 【解答】解：若集合有15个真子集，则中含有4个元素， 结合，可知，即，且区间，中含有4个整数， ①当时，，的区间长度，此时，中不可能含有4个整数； ②当时，，，，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； ③当时，，的区间长度大于3， 若，的区间长度，即． 若是整数，则区间，中含有4个整数，根据，可知，， 此时，，，其中含有5、6、7、8共4个整数，符合题意． 若不是整数，则区间，中含有5、6、7、8这4个整数，则必须且，解得； 若时，，，，其中含有5、6、7、8、9共5个整数，不符合题意； 当时，，的区间长度，此时，中只能含有6、7、8、9这4个整数， 故，即，结合可得． 综上所述，或或，即实数的取值范围是，，． 故选：． 【点评】本题主要考查真子集的定义与性质、不等式的整数解的个数问题等知识，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于中档题． 4．（2022秋•金寨县校级期末）设集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）当时，没有元素使得与同时成立，求实数的取值范围． 【考点】集合交并补混合关系的应用 【分析】（1）若，则，即说明是的子集，分与讨论，即可求得实数的取值范围； （2）当时，没有元素使与同时成立，则说明与交集为空集，再分与讨论，即可求得实数的取值范围． 【解答】解：（1）， 当，即时，，满足． 当，即时，要使成立， 需，可得， 综上，时有． （2）因为，且，，又没有元素使与同时成立， 与交集为空集． ①若，即，得时满足条件； ②若，则要满足的条件是 或， 解得． 综上，有或． 【点评】利用集合的关系，建立不等关系，求解参数问题，注意集合能否是空集，必要时要进行讨论是解决这类问题的关键． 5．（2023秋•海淀区校级月考）已知集合中元素的个数为，且元素均为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合，，，即，，，，其中，，，，，，，，，，，若集合，，中的元素满足，，，2，，，则称集合为“完美集合”． （1）若集合，2，，，2，3，4，5，，判断集合和集合是不是“完美集合”，并说明理由； （2）已知集合，，3，4，5，为“完美集合”，求正整数的值． 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【分析】（1）取，，，根据完美集合的定义，可知集合是“完美集合”；将分成3个，每个中有两个元素，根据完美集合的定义进一步判断即可； （2）由（1）可得，根据定义可知为中的最大元素，故，从而可求得中的另一个元素为，它是1，3，4，5，6中的某个数，然后分类讨论即可求解的值． 【解答】解：（1）对于集合，2，，取，，， 满足，，，，且， 所以集合是“完美集合”． 若，2，3，4，5，为“完美集合”， 则存在，，，使得，，，． 设中各元素的和为，中各元素的和为，中各元素的和为， 则有，且， 所以，它不是整数，故不是“完美集合”． （2）因为，，3，4，5，为“完美集合”， 由（1）可知，根据定义可知为中的最大元素，故， 又中各元素的和为， 所以中的另一个元素为，它是1，3，4，5，6中的某个数， 因为，中各元素之和为，它必是1，3，4，5，6中去掉某个元素后余下4个元素的和， 共有5种情形：13，14，15，16，18，对应的的值为7，9，11，13，17． 当时，，，，，，，满足； 当时，，，，，，，满足； 当时，，，，，，，满足； 当或时，，或，，余下任何两个元素的和不超过11，不满足要求． 综上所述，，9，11． 【点评】本题主要考查了新定义“完美集合”概念，注意紧扣新的定义，列出所有可能情况，考查了分类讨论思想和转化能力，属于难题． 6．（2021秋•黄浦区校级期中）设集合为非空数集，定义，、，，、． （1）若，，写出集合、； （2）若，，，，，且，求证：； （3）若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】（1），0，，，， （2）证明过程见解答， （3）中元素的个数为1347个． 【考点】集合交并补混合关系的应用 【分析】（1）根据定义，、，，、，直接求解即可， （2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明， （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值． 【解答】解：（1）由题意，得，0，，，， （2）证明：因为，，，，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为， 又因为，所以且， 所以集合中其他元素为，，， 即，，，，剩下的， 因为，所以， 即，即，所以 （3）设，，，，，满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以， 实际当，675，676，，时满足题意，证明如下： 设，，，，，， 则，，，，，，1，，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即，675，676，，时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为（个． 【点评】本题考查子集间的转化与运算性质，考查了分类讨论思想和转化思想，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$