第一章 特殊平行四边形（基础卷）-重庆市2024-2025学年九年级数学上学期全程能力测评卷（北师大版）

重庆市2024-2025学年九年级数学上学期 全程能力测评卷（北师大版） 第1章 特殊平行四边形（基础卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．如果矩形两条对角线所成的钝角是，那么对角线与矩形短边长度的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的对角线相等，矩形的对角线互相平分．直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半，先由矩形的性质得，结合三角形内角和得出，最后结合所对的直角边是斜边的一半，即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 依题意， ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴在中， ∴对角线与矩形短边长度的比是 故选：B． 2．一个矩形的两邻边之比为，面积为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的面积等于长乘宽，因为一个矩形的两邻边之比为，所以设一个矩形的两邻边为，代入矩形的面积公式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个矩形的两邻边之比为 ∴设一个矩形的两邻边为 ∴ ∴（负值已舍去） 一个矩形的两邻边为 ∴则它的周长为 故选：B 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，于点E．若，，则的长为（　　） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理， 首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵在菱形中，， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 4．下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，原命题是真命题，符合题意； 故选：D． 5．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：，分别是，的中点，， ， 在中，是的中点，， ， 由勾股定理得：， 故选：C． 6．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线相等，可得，解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 7．如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，先由菱形对角线互相垂直平分得到，，再由旋转的性质可得，则三点共线，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵菱形的对角线交于点O，，， ∴，， ∵将绕点O顺时针方向旋转得到，点D的对应点E恰好落在线段上， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为，，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理．连接交于，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解：连接交于，如图： 由正方形的对称性可知，， 四边形是正方形，，， 四边形是矩形， ， ， ， ； 故选：A. 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明四边形是矩形，再根据菱形的性质得出，先根据勾股定理求出，即，最后再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ∴， 四边形是菱形， ∴，， 为等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解决问题的关键． 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①先证明△ABD为等边三角形,根据“SAS”证明△AED≌△DFB; ②证明∠BGE＝60＝∠BCD,从而得点B、C、D、G四点共圆,因此∠BGC＝∠DGC＝60; ③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N.证明△CBM≌△CDN,所以S四边形BCDG＝S四边形CMGN,易求后者的面积; ④∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,故为定值. 【详解】解：①∵ABCD为菱形, ∴AB＝AD, ∵AB＝BD, ∴△ABD为等边三角形, ∴∠A＝∠BDF＝60 又∵AE＝DF,AD＝BD, ∴△AED≌△DFB（SAS）, 故本选项正确; ②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60＝∠BCD, 即∠BGD+∠BCD＝180, ∴点B、C、D、G四点共圆, ∴∠BGC＝∠BDC＝60,∠DGC＝∠DBC＝60, ∴∠BGC＝∠DGC＝60, 故本选项正确; ③过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N（如图）, 则△CBM≌△CDN（AAS）, ∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN S四边形CMGN＝2S△CMG, ∵∠CGM＝60, ∴GM＝CG,CM＝CG, ∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2, 故本选项正确; ④∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60,为定值, 故本选项正确; 综上所述,正确的结论有①②③④, 故选：D. 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握菱形的性质． 2、 填空题（每小题4分，共8×4=32分） 11．菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查菱形的面积公式，根据菱形的面积公式代值求解即可得到答案，熟记菱形的面积公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵菱形的两条对角线分别是和， ∴这个菱形的面积是， 故答案为：36． 12．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了中心对称、菱形的性质；熟记菱形的性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键． 根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果． 【详解】 解：如图所示：∵菱形的两条对角线的长分别为8和15， ∴菱形的面积 ， ∵O是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形， ∴，四边形四边形，四边形四边形， ∴阴影部分的面积． 故答案为30． 13．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查斜边上的中线，根据斜边上的中线等于斜边的一半，进行求解即可． 【详解】解：∵在中，点D为斜边的中点， ∴． 故答案是：4． 14．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据矩形性质得，根据得为等边三角形，则，由此为等边三角形，则，进而得，然后在中由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，交于点， ， ， 为等边三角形， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案：． 15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为 ． 【答案】 【分析】】根据AG垂直平分EF，求出EG=FG，设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=13-x根据勾股定理得CE2+CG2=EG2，进而求得CE. 【详解】解：如图所示，连接EG， 由旋转可知△ABF≌△ADE， ∴ DE=BF，AE=AF， ∵ AG⊥EF， ∴ H为EF的中点， ∴AG垂直平分EF， ∴ EG=FG， 设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=BF+BG=13-x， ∵∠C=90°， ∴CE2+CG2=EG2 即 x2+32=(13−x)2 解得 x=， ∴CE的长为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程. 16．如图，四边形中，，取中点，连接，，，则为 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据题意结合直角三角形中“斜中半”定理即可推出结论． 【详解】由题均为直角三角形，且都以AB为斜边， ∵E为AB的中点， ∴，即： 为等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查直角三角形中“斜中半”定理，理解并灵活运用定理是解题关键． 17．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．找出B点关于的对称点D，连接交于P，则就是最小值，求出即可． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴，， ∴是等边三角形， 连接交于P，连接， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形，点E为的中点， ∵，(等腰三角形三线合一的性质)． 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 18．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    【答案】2 【分析】本题考查正方形中的动点问题，解题的关键是根据证明，把问题转化为求的最小值．过作于，证明，可得，，即得是等腰直角三角形，，故当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为，由，即可得答案． 【详解】解：过作于，如图：   四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 是等腰直角三角形， ， 当最小时，最小， 当运动到时，最小，最小值即为的长度，此时最小值为， ，， ， 最小值为， 故答案为：2． 3、 解答题(共78分) 19．（8分）如图，长方形中，，点是边的中点，连结，将沿翻折，使点落在点，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的折叠，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键． （1）利用矩形的性质得到即可解题； （2）设，则，然后在中利用勾股定理得到，即可解题． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， 点是边的中点， ， 将沿翻折，使点落在点， ， 在和中， ， ； （2）四边形是长方形，， ，， 设，则 将沿翻折，使点落在点， ． ， 在中，． ，解得， ． 20．（10分）如图，四边形是矩形．    (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为点，连接和，（保留作图痕迹，不要求写作法，不写结论）； (2)求证：四边形是菱形，请完成下列证明过程． 证明：四边形为矩形， 　　　　①， ， 垂直平分线段， 　　　　②， 在和中， ， 　　　　③， 又， 四边形是 　　　　④， 又， 四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)，，，平行四边形 【分析】本题考查了作图基本作图及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键． （1）分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧交于两点，过两点作直线即可得到线段的垂直平分线； （2）利用垂直平分线证得即可证得，进而利用菱形的判定方法得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    （2）证明：四边形为矩形， ∴①， ， 垂直平分线段， ②， 在和中， ， ， ③， 又， 四边形是平行四边形④， 又， 四边形是菱形． 故答案为：，，，平行四边形． 21．（10分）如图，在四边形中，，点是线段的中点．      (1)求证：四边形是菱形； (2)延长至点，使，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形全等的判定与性质得到，再由平行四边形的判定及菱形的判定定理即可得证； （2）由（1）中四边形是菱形，结合菱形性质及等边三角形的判定与性质得到，在中运用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ，， 点O是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题考查四边形综合，涉及平行线的性质、中点定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，熟记相关几何判定与性质是解决问题的关键． 22．（10分）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到，点、点、点共线． (1)求证：； (2)若正方形的周长为，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）由旋转的性质可得，由全等三角形的性质得到，建立方程，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得， ，． ，， ， ， 又，， ． （2）解：∵正方形的周长是， ， ， ，， 设，则． ， ， 在中，， ， 解得， 23．（10分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，直线三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，，且，结合题意可得， ，，根据即可求解； （2）根据菱形的性质及题意可得，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，且， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 24．（10分）如图，四边形是边长为的菱形，，动点分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为秒，点两点间的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点相距个单位长度时的值．（结果保留一位小数） 【答案】(1) (2)图象见解析，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小 (3)秒或秒 【分析】（1）由四边形是菱形，可得，，由题意知，当时， 在上运动，且是等边三角形，则；当时， 在上运动，且是等边三角形，则；进而可得关于的函数表达式； （2）作一次函数图象即可；然后根据图象作答即可； （3）当时，或，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， 由题意知，当时， 在上运动，如图1，且是等边三角形，            图1 ∴； 当时， 在上运动，如图2，且是等边三角形，             图2 ∴； 综上所述，； （2）解：函数图象如下； 由图象可得，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3）解：当时，或， 解得，或， ∴点相距个单位长度时的值为秒或秒． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数的图象与性质等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数的图象与性质是解题的关键． 25．（10分）如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点M在上，，连接，点E是的中点，连接，如图1所示． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点M落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点E是的中点，连接，请你探究线段的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）先证，利用勾股定理解求出，即可求解； （2）设与的交点为，连接，依次证明，，推出是的中位线，是斜边上的中线，可得，即可证明； （3）延长交于点，连接．依次证明，是斜边上的中线，是的中位线，可得，即可得出． 【详解】（1）解： 是正方形的对角线，且， ，． ∵是等腰直角三角形，且， ∴，， ， ． ． 点是的中点， ． （2）证明：如图1，设与的交点为，连接， 由（1）知，是的中点， ． 四边形是正方形， ，． 又 ， ． ． 又 ，， ． ． 是的中点． 是的中位线，是斜边上的中线． ，． ． ． （3）解：． 证明：延长交于点，连接． 由题意知． 点是的中点， ． 又 ，， ， ， ． 是的中点． 是斜边上的中线，是的中位线． ，． ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中线位的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，综合应用上述知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（10分）在中，点E是对角线上一点． (1)如图1，，将沿翻折，使得A点的对应点F落在上，若，，求的长； (2)如图2，，，点G是的中点，交于F点，I是上一点，连接，延长交的延长线于点J，若，求证：； (3)如图3，，，延长至M点使，的角平分线交于点N，交延长线于点G，取中点F，连接，，当E在直线上运动时，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先由勾股定理求得，再由折叠性质得，，设，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到，，再根据直角三角形斜边中线性质得到，进而得到，设，利用三角形的外角性质结合已知得到 ，，证明，得到，在截取，连接，证明得到，，再证明得到，进而可得结论； （3）连接，，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，则，，设，再根据等腰三角形的等边对等角进行角度运算得，进而推导出，设，则，利用直角三角形斜边中线性质得到，利用三角形的三边关系得到，当点F、A、M共线时取等号，进而求得的最大值即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由折叠性质得，， 设， 在中，，， 由勾股定理得，解得， ∴； （2）证明：∵，， ∴，则， ∵点G是的中点， ∴， ∴，设， ∴，又 ∴，，又， ∴，， ∴，则， ∵， ， ∴， ∴， 在截取，连接，    在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，连接，，    ∵，的角平分线交于点N，交延长线于点G， ∴，， ∴垂直平分，则， ∵，， ∴，则， 设， ∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴，则， 设，则， ∵F为的中点，，， ∴， ∵E在直线上运动时， ∴，当点F、A、M共线时取等号， 即点M在点处时，有最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠性质、直角三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质、最短路径问题等知识，综合性极强的压轴题，需要学生有一定的综合能力和分析问题、解决问题的能力，利用数形结合思想进行灵活运用所学相关知识进行解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2024-2025学年九年级数学上学期 全程能力测评卷（北师大版） 第1章 特殊平行四边形（基础卷） 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．如果矩形两条对角线所成的钝角是，那么对角线与矩形短边长度的比是（   ） A． B． C． D． 2．一个矩形的两邻边之比为，面积为，则它的周长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，于点E．若，，则的长为（　　） A． B． C．6 D．8 4．下列命题中，真命题是（　　） A．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 5．如图，在中，，D，E分别是边，的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线交于点O，，，将绕点O顺时针方向旋转得到，连接．若点D的对应点E恰好落在线段上，则的面积是（    ） A．6 B．9 C．18 D．36 8．如图，在正方形中，点是对角线上一点，，，垂足分别为，，连接．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接、、，交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.给出如下几个结论：①△AED≌△DFB：②GC平分∠BGD；③S四边形BCDG＝CG2；④∠BGE的大小为定值．其中正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题（每小题4分，共8×4=32分） 11．菱形的两条对角线长分别是为和，则其面积为 ． 12．如图，四边形是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线的长分别为8和15时，则阴影部分的面积为 ． 13．如图，已知在中，点D为斜边的中点，，则 ． 14．如图，，点在上，四边形是矩形，且，连接交于点，连接．则 ． 15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为 ． 16．如图，四边形中，，取中点，连接，，，则为 三角形． 17．如图，菱形中，，，点E为的中点，点P为对角线上的任意一点，连接，，则的最小值为 ． 18．如图，正方形，是对角线上一动点，，且，连接，，，若，则长度的最小值为 ．    3、 解答题(共78分) 19．（8分）如图，长方形中，，点是边的中点，连结，将沿翻折，使点落在点，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（10分）如图，四边形是矩形．    (1)用尺规完成基本作图：作对角线的垂直平分线，分别交、于点、，垂足为点，连接和，（保留作图痕迹，不要求写作法，不写结论）； (2)求证：四边形是菱形，请完成下列证明过程． 证明：四边形为矩形， 　　　　①， ， 垂直平分线段， 　　　　②， 在和中， ， 　　　　③， 又， 四边形是 　　　　④， 又， 四边形是菱形．   21．（10分）如图，在四边形中，，点是线段的中点．      (1)求证：四边形是菱形； (2)延长至点，使，连接，若，求线段的长． 22．（10分）如图，点，分别在正方形的边，上，且．把绕点顺时针旋转得到，点、点、点共线． (1)求证：； (2)若正方形的周长为，．求的长． 23．（10分）如图，在菱形中，对角线交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长度． 24．（10分）如图，四边形是边长为的菱形，，动点分别以每秒个单位长度的速度同时从点出发，点沿折线方向运动，点沿折线方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动时间为秒，点两点间的距离为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点相距个单位长度时的值．（结果保留一位小数） 25．（10分）如图，已知是正方形的对角线，是等腰直角三角形，点M在上，，连接，点E是的中点，连接，如图1所示． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)当等腰的顶点M落在正方形的边上时，如图2所示，连接，点E是的中点，连接，请你探究线段的数量关系，并证明你的结论． 26．（10分）在中，点E是对角线上一点． (1)如图1，，将沿翻折，使得A点的对应点F落在上，若，，求的长； (2)如图2，，，点G是的中点，交于F点，I是上一点，连接，延长交的延长线于点J，若，求证：； (3)如图3，，，延长至M点使，的角平分线交于点N，交延长线于点G，取中点F，连接，，当E在直线上运动时，直接写出的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$