第一章 勾股定理（基础卷）-重庆市2024-2025学年八年级数学上学期全程能力测评卷（北师大版）

重庆市2024-2025学年八年级数学上学期 全程能力测评卷（北师大版） 第一章 勾股定理单元检测卷（基础卷) 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母所在的正方形边长为（　　） A．36 B． C．6 D．164 3．如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 6．，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 8．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 9．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 2、 填空题（每小题4分，共8×4=32分） 11．在直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 12．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    13．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高 m？ 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    15．如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为 ． 16．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ． 17．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 18．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 3、 解答题(共78分) 19．（8分）如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 20．（10分）如图，． （1）试判断以点为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 21．（10分）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 22．（10分）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 23．（10分）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点． (1)在直线上画出点P，使得的距离最短，最短是多少? (2)求的面积． 24．（10分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 25．（10分）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 26．（10分）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市2024-2025学年八年级数学上学期 全程能力测评卷（北师大版） 第一章 勾股定理单元检测卷（基础卷) 分数：150分 时间：120分钟 1、 单选题（每小题4分，共10×4=40分） 1．下列各组数中，是“勾股数”的是（     ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理且是正整数的数；利用勾股数的定义进行判断，逐个计算即可． 【详解】解：、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，所以不是勾股数； 、因为，又3，4，5都是正整数，是勾股数． 故选：D． 2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64、100分别为所在正方形的面积，则图中字母所在的正方形边长为（　　） A．36 B． C．6 D．164 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、正方形面积的计算；熟练掌握正方形的性质和勾股定理是解决问题的关键． 根据题意可知，，，由勾股定理求出，得出即可． 【详解】解：如图所示： 根据题意得：，，， ,， 图中字母M所代表的正方形面积为：， ． 故选：C． 3．如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出的长度从而得到的长度，再减去即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴点A表示的实数是， 故选C． 4．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，解题时要注意找出所有符合条件的点．在正方形网格中，根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， 所以是直角三角形，但不是直角三角形， 故选：D． 5．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离为（   ） A．2 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为：， 故选：D． 【点睛】此题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，熟练掌握两点间的距离是解题的关键． 6．，，，高，则的周长为（    ） A．32 B．42 C．32或42 D．38或42 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，存在种情况，是锐角三角形和钝角三角形时，高分别在的内部和外部，结合勾股定理即可求解． 【详解】如下图，是锐角三角形， ∵是高， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴的周长为：； 如下图，是钝角三角形， 则的周长为：； 故选C． 7．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 8．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 9．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是平面展开图（最短路径问题），解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解． 此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示：    在侧面展开图中，的长等于底面圆周长的一半，即， ，， 根据勾股定理得：， 要爬行的最短路程是． 故选：C． 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b，较短直角边为a，则的值是（     ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题以“赵爽弦图”为背景，考查勾股定理，三角形的面积计算，完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题关键． 根据勾股定理求出等于大正方形的面积，求出四个直角三角形的面积，得出的值，求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9． ∴一个小三角形的面积是．三角形的斜边为． ， ， 故选：C． 2、 填空题（每小题4分，共8×4=32分） 11．在直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查两点间的距离公式，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点到原点的距离是， 故答案为：． 12．如图，已知中，，，，将此三角形沿翻折，使得点与重合，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是利用法则不变性，熟练应用勾股定理解决问题，属于基础题，中考常考题型． 根据题意设，在中，利用勾股定理求出． 【详解】解：设， 在中， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少高 m？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理，计算，后根据树高为计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴米， ∴这根旗杆被吹断裂前高为米， ∴这根旗杆被吹断裂前至少有米高． 故答案为：． 14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 15．如图，△ABC的三个顶点均在小方格的格点上，BD⊥AC于点D．若每个小方格的边长为1，则BD的长为 ． 【答案】/1.2 【分析】根据勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，由勾股定理得 AC＝＝5． ∵S△ABC＝AB×3＝AC•BD，即×2×3＝×5BD， ∴BD＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键． 16．如图是我国古代著名的赵爽弦图，其中直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，由图可知四边形是正方形，里面的小四边形也为正方形且边长为，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由图可知四边形是正方形， 里面的小四边形也为正方形且边长为， 那么对角线， ，， 所以， 故答案为：． 17．如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握翻折变换，等腰直角三角形的判定与性质和勾股定理的应用是解题的关键．首先证明是等腰直角三角形，利用面积，然后由勾股定理得，从而求出，再通过勾股定理求得，最后根据，求出的值即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 18．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论． 【详解】如图，取的中点，连接，． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是依据题意作出辅助线． 3、 解答题(共78分) 19．（8分）如图，在中，于D，，，． (1)的长； (2)的长． 【答案】(1)； (2)5． 【分析】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求出的长即可； （2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出的长，进而解答即可． 【详解】（1）解：在中， ； （2）解：在中， ， ． 20．（10分）如图，． （1）试判断以点为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）24m2 【分析】（1）连接，根据勾股定理逆定理判断即可； （2）由（1）得大三角形是直角三角形，用△ABC的面积减去△ADC的面积即可； 【详解】（1）连接， 由勾股定理可知： ， 又， 是直角三角形； （2）这块地的面积的面积的面积． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，准确计算是解题的关键． 21．（10分）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（）方向以的速度向移动，地在距离地的正北方，已知地到的距离． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在点休闲的游客在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ 【答案】(1)8小时 (2)5小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，路程、速度、时间之间的关系等知识，解答本题的关键是利用勾股定理求出的长度． （1）根据勾股定理计算的长，再根据时间路程速度进行计算； （2）根据在范围内都要受到影响，先求出从点B到受影响的距离与结束影响的距离，再根据时间路程速度计算，然后求出时间段即可． 【详解】（1）在中，根据勾股定理， 得， ∴（小时）， 则台风中心经过8小时从B移动到D点； （2）如图，设 ∵距台风中心的圆形区域内都会受到台风破坏的危险， ∴人们要在台风中心到达E点之前撤离， ∵， ∴（小时）， 答：游人在5小时内撤离才可脱离危险． 22．（10分）在中，，D是的中点，以为腰向外作等腰直角连接，交于点F，交于点G． (1)求证：； (2)试判断线段与三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形综合问题以及勾股定理，证是解题关键． （1）证得，结合、可得，即可求证； （2）由得，结合，得，根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（10分）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点． (1)在直线上画出点P，使得的距离最短，最短是多少? (2)求的面积． 【答案】(1)见解析，的最短距离为5 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据最短路线问题作点关于的对称点，连接交于，使得的距离最短，再由勾股定理即可求解； （2）根据网格利用割补法即可求的面积． 【详解】（1）解：作点关于的对称点，连接交于， 则，， ∴， ∴点即为所求， 由勾股定理可得：， 即：的最短距离为5； （2）的面积． 24．（10分）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 25．（10分）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 26．（10分）如图，中，，为中点，点在边上（点不与点，重合），连接，过点作交于点，连接． (1)求证：. (2)若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和勾股定理，中垂线的性质； （1）延长至使，连接，证明，从而得，，由得为中垂线，故，在中根据勾股定理即可的结论； （2）结合（1）中的结论可得，，在中利用勾股定理即可解决． 【详解】（1）证明：作，交延长线于，连接 ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， （2）解：设， ，，， 则， ， ， ， 即：， 由（1）知：，，， ，， ， ， 即：， 解得：， 即：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$