3.1 等量关系和方程 课件 2024-2025学年湘教版七年级数学上册

第3章 一次方程（组） 3.1 等量关系和方程 游 乐 场 太棒了！里面有好多游戏哦. 小猫与小熊是一对好朋友！他们决定本月28号要去离家很远的游乐场旅行…… 想一想? 问题1：设再过x天是28号，可列出 20+x=28 今天是20号，再过几天是28号呢？ 终于盼来了这一天 问题2：设去游乐场的每张车票要x元，可得： 坐出租车到车站花了5元,又买了两张去游乐场的车票,总共花去了13元. 问:去游乐场的每张车票要多少元? 5+2x=13 海报 为庆祝开园半周年，门票特惠！一张门票8折销售的售价为72元！ 　——游乐场 　　　　　2024.8.22 问题3：设门票的原价是x元，可得： 0.8x=72 1.了解什么是方程、一元一次方程、方程的解. 2.体会用字母表示数的好处，画示意图有利于分析问题，找相等关系是列方程的重要一步，从算式到方程（从算式到代数）是数学的一大进步. 3.会将实际问题抽象为数学问题，并建立一元一次方程模型. 4.会检验方程的解. 【思考】（1）为进一步推动全面健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分.某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分，问：其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ （2）如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2m，高为1m，表面积为6.8㎡.其中蕴含怎样的等量关系？如何根据等量关系，列出相应等式？ 【动脑筋】 1.（1）中蕴含以下等量关系： 胜的场数积分+输的场数积分=总积分 （2）中蕴含以下等量关系： （长×宽+宽×高+长×高）×2=表面积 2.在以上两个等量关系中，哪些量是已知的，哪些量是未知的？如何用等式来表示这两个等量关系呢？ 启示：前面学习了用字母表示数，能否先将问题中的未知量用字母表示，再探索解决的办法呢？ 【问题解决】 （1）设该队胜了x场，则该队输了场，胜的场数积分为分 分，输的场数的积分是 分，因此可以得到等式 . （2）设包装盒的宽为ym,根据题意可以得到下列等式： . 整理得： . 2x (14-x) 2x+(14-x)=26 (1.2×y+y×1+1.2×1)×2=6.8 2.4y+2y+2.4=6.8 等式中的x、y叫作未知数. 你知道什么叫方程吗？ 含有未知数的等式——方程 你能举出一些方程的例子吗？ １．判断下列式子是不是方程,是的打“√”,不是的打“×”. (1)1+2=3 ( ) (4) 　　　 ( ) (2)1+2x=4 ( ) (5)x+y=2 ( ) (3)x+1-3 ( ) (6)x2-1=0 ( ) 　 × × × √ √ √ 【跟踪训练】 2．根据下列条件, 列出方程. （1）x的2倍与3的差是5； （2）x的三分之一与y的和等于4. 3．根据下面问题，设未知数，列出方程． 环形跑道一周长400 m ，沿跑道跑多少周， 可以跑3 000 m? 2x-3=5 x+y=4 解：设沿跑道跑x周，由题意得：400x=3 000. 观察得到的两个方程，它们有什么共同点？ 问题1：每个方程中，各含有几个未知数？ 问题2：说一说每个方程中未知数的次数. 问题3：等号两边的式子有什么共同点？ 1个 1次 都是整式 2x+(14-x)=26； 2.4y+2y+2.4=6.8 观察思考 一元一次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,我们把这样的方程叫做一元一次方程. 一元一次方程需满足的条件：①一个未知数；②未知数的次数是1；③未知数的系数不为0. 一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a≠0) 1.判断下面的方程是不是一元一次方程. 【跟踪训练】 2.根据下列问题，设未知数并列出方程. （1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？ 解：设正方形的边长为xcm， 根据题意得：4x=24 变式：用一根长24cm的铁丝围成一个长方形，使它的长是宽的1.5倍，长方形的长，宽各是多少？ 解：设长方形的宽为xcm，则它的长为1.5xcm， 根据题意得：2(x+1.5x)=24 （2）一台计算机已用了1 700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月后这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2 450小时？ 解:设x月后这台计算机的使用时间达到2 450小时， 那么在x月里这台计算机使用了150x 小时， 根据题意得：1 700+150x=2 450 【做一做】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于公元400年前后，传本共有上、中、下三卷.下卷有许多著名数学题，如图就是有趣的“鸡兔同笼”问题：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？ （1）找出上述趣题中的等量关系； （2）设适当未知数，列出一元一次方程. 【问题解决】 1.等量关系： （1）兔的只数+鸡的只数=35 （2）兔的脚数+鸡的脚数=94 2.列方程： 设兔有x只，则鸡有 只， 得到的方程是 . (35-x) 4x+2(35-x)=94 根据哪个等量关系得到的？ 根据哪个等量关系得到的？ 【议一议】 将方程4x+2(35-x)=94左边整理可得2x+70=94 ① 如何找到一个数，使方程①左、右两边多项式的值相等？ 对于方程①，就是要找一个数，使得它的2倍与70的和等于94. 这个数一定是什么数呢？ 试一试 一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代入方程，看方程左、右两边的值是否相等． 估计x的值 方程①左边的值 与方程①右边的值94比较 第1次估算 10 第2次估算 15 第3次估算 13 第4次估算 12 第5次估算 11 90 100 96 94 92 大了 大了 小了 小了 相等 对于含有一个未知数x的方程，若x用一个数c代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.习惯上记作x=c. 分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318＝1068的解. 解：(1)把x=300代入原方程得， 左边=2.5×300+318=1068， 左边=右边. 所以x＝300是方程2.5x+318＝1068的解. （1）x＝300 （2）x＝330 请同学们自己完成（2） 【例题】 检验一个数值是不是方程的解的步骤： １.将数值代入方程左边进行计算， ２.将数值代入方程右边进行计算， ３.比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解.反之，则不是． 归纳： 请你判断下列给定的t的值中,哪个是方程2t＋1＝ 7-t的解？ 根据方程的解的定义，我们得到t＝2是方程2t＋1＝7－t的解. （1）t＝-2 （2） t＝2 (3)t=1 【跟踪训练】 2. x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80的解？ 解：当x=1000时， 方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40，右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当x=2000时， 方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80，右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解. 2.根据实际问题中的等量关系，用方程表示问题中的数量关系. 注:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法. 1.方程、方程的解、一元一次方程的概念. 本节课学习了： 3.检验一个数值是不是方程的解. 1.方程x=3是下列哪个方程的解？（ ） (A)3x+9=0 (B)x=10-4x (C)x(x-2)=3 (D)2x-7=12 2.方程 的解是（ ） (A)-3 (B)12 (C)-12 (D) C C 3.小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价为x元，则依题意可列出的一元一次方程是（ ） (A) 15(2x20)=900 (B) 15x202=900 (C) 15(x202)=900 (D) 15x220=900 【解析】选C.每份礼物的价格是（x＋20×2）元，15份礼物的价格是15(x202)元,由此可得15（x+20×2）=900. ４．已知数x-5与2x-4互为相反数，列出关于x的方程. 解：由题意得（x-5）＋（2x-4）＝０. 5.甲种铅笔每支0.3元,乙种铅笔每支0.6元,用9元钱买了两种铅笔共20支,两种铅笔各买了多少支? 6.一个梯形的下底比上底多2 cm,高是5 cm,面积是40 cm2,求上底. 解：设甲种铅笔买了x支，由题意得： 0.3x+0.6（20-x）=9.得x=10，各买了10支. 解：设上底为x cm，由题意得：5(x+x+2)÷2=40.得x=7，故上底为7 cm. 7.小雨、小思的年龄和是25，小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？ 解：设小雨的年龄为x岁，由题意得： 2x=（25-x)+8. 得x=11， 25-x=14， 小雨的年龄是11岁，小思的年龄是14岁. 尊重比赏识更重要，尊严比生命更重要！快乐比美丽更重要，健康比钱财更重要！ $$